معامل سبيرمان للارتباط

حساب المعامل ينطلق من تعويض البيانات برتبها داخل العينة. باعتبار عينة مكونة من ${\displaystyle n}$ فردا إحصائيا وفق متغيرين ${\displaystyle X}$ و${\displaystyle Y}$، عوض اعتبار البيانات ${\displaystyle (x_{i})}$ و (${\displaystyle y_{i}}$)، نعتبر سلسلتي الرتب ${\displaystyle rg(x_{i})}$ و ${\displaystyle rg(y_{i})}$ بحيث يمثل ${\displaystyle rg(x_{i})}$ رتبة القيمة الملاحظة ${\displaystyle x_{i}}$ داخل العينة حسب الترتيب التصاعدي. هذه الرتب تأخذ قيمها بين ${\displaystyle 1}$ و${\displaystyle n}$.

معامل الارتباط لسبيرمان هو معامل ارتباط بيرسون للمتغيرين الجديدين المعرفين حسب الرتب:

${\displaystyle r_{s}=\rho _{\operatorname {rg} _{X},\operatorname {rg} _{Y}}={\frac {\operatorname {cov} (\operatorname {rg} _{X},\operatorname {rg} _{Y})}{\sigma _{\operatorname {rg} _{X}}\sigma _{\operatorname {rg} _{Y}}}}}$ مع:

• ${\displaystyle \operatorname {cov} (\operatorname {rg} _{X},\operatorname {rg} _{Y})}$ هو التغاير بين متغيري الرتب ${\displaystyle rg_{X}}$ و ${\displaystyle rg_{Y}}$.
• ${\displaystyle \sigma _{\operatorname {rg} _{X}}}$ و ${\displaystyle \sigma _{\operatorname {rg} _{Y}}}$ هما الانحرافان المعياريان لمتغيري الرتب ${\displaystyle rg_{X}}$ و ${\displaystyle rg_{Y}}$.

• على العموم، يجب قراءة معامل سبيرمان بالموازاة مع معامل بيرسون، وذلك دون إغفال بأنه معامل غير معلمي، بمعنى أنه لا يمكن تقييمه واختبار مغزاه الإحصائي اعتمادا على فرضية التوزيع الطبيعي الثنائي للمتغيرين المدروسين.[2]
• مقارنة بمعامل بيرسون، معامل سبيرمان يوائم بشكل أفضل الحالات التي يكون فيها أحد المتغيرين ${\displaystyle X}$ و${\displaystyle Y}$ (أو كلاهما) من الصنف النوعي الترتيبي (مثلا، رتب وصفية لحدة ظاهرة ما أو قياسات على سلم إحصائي على شاكلة سلالم ليكرت). في هذه الحالة، يستحسن أن تكون فقرات (items) المقياس كبيرة العدد نسبيا: إذا كانت قليلة، تكون مقاربة قياس الارتباط حسب معاملات كمية غير ناجعة وغير ذات جدوى ويستحسن الجوء إلى تقنية اختبار خي تربيع لقياس مستوى الارتباط الإحصائي بين المتغيرين.
• حالة الاستخدام الأكثر شيوعا لمعامل سبيرمان هي التي يشتبه خلالها في وجود ارتباط غير خطي بين ${\displaystyle X}$ و${\displaystyle Y}$، وخصوصا إذا كان على شكل علاقة رتيبة (تزايدية أو تناقصية) كالدوال الأسية مثلا. [1]

• معامل سبيرمان، على غرار معامل بيرسون، يأخذ قيمه بين ${\displaystyle -1}$ و${\displaystyle 1}$.
  • معامل بقيمة مطلقة ${\displaystyle 1}$ يشير إلى وجود حالة ارتباط كامل بين المتغيرين، بدون أن يكون خطيا بالضرورة. الارتباط التام من منظور سبيرمان يعني وجود علاقة رتيبة تامة بين المتغيرين.
  • معامل بقيمة منعدمة يعني عدم وجود علاقة ارتباط إحصائي بين المتغيرين.[2]
• رغم طبيعته غير المعلمية، في حالة تحقق توزيع طبيعي ثنائي للمتغيرين ${\displaystyle X}$ و ${\displaystyle Y}$، يكون معامل سبيرمان ذا قيمة قريبة من معامل بيرسون.
• إذا كانت قيمتا معاملي سبيرمان وبيرسون متباعدتين، فإن ذلك يعني وجود علاقة غير خطية بين المتغيرين المدروسين ويجب أن يؤدي ذلك إلى تطبيق تحويلات مناسبة عليهما بهدف ضبط العلاقة المثلى بينهما، قبل استعمالهما في نمذجة إحصائية مثلا.[2]

لاختبار المغزى الإحصائي للمقدر ${\displaystyle {\widehat {\rho }}}$، أي الفرضية المنعدمة التي تفترض بأنه يساوي صفرا، تستعمل، في الغالب، إحصائيتان في الاختبارات الإحصائية، حسب حجم العينة ${\displaystyle n}$:

في حالة وجود حالات كثيرة لتساوي رتب القيم الملاحظة، يتم استبدال الرتب بأخرى متوسطة، وهو ما يستوجب تقويم صيغة مقدر معامل سبيرمان بإدماج معاملي تصحيح ${\displaystyle T_{x}}$ و${\displaystyle T_{y}}$، لتصبح صيغة مقدر معامل سبيرمان:[2]

${\displaystyle {\widehat {\rho }}={\frac {(n^{3}-n)-6\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}-{\frac {T_{x}+T_{y}}{2}}}{\sqrt {(n^{3}-n)^{2}-(T_{x}+T_{y})(n^{3}-n)+T_{x}T_{y}}}}}$.

لحساب معامل التصحيح (مثلا لقيم المتغير ${\displaystyle X}$)، يجب أولا تحديد رتب متوسطة للقيم التي لها نفس الرتبة. مثلا، إذا كانت لملاحظتين نفس الرتبة وهما مرتبتان بين الرتبتين 5 و6، تعطى لكل واحدة منهما الرتبة ${\displaystyle 5.5}$.

بعد ذلك يجب تحديد العدد ${\displaystyle G}$ الذي يمثل عدد الرتب المختلفة (بين الرتب المتوسطة). لكل رتبة يتم حساب مرات تكرارها ${\displaystyle t_{g}}$، لنحصل على صيغة معامل التصحيح التالية:

${\displaystyle T_{x}=\sum _{g=1}^{G}(t_{g}^{3}-t_{g})}$

مثال عددي

نعتبر ملاحظات لمتغير ${\displaystyle X}$ في عينة مكونة من 12 فردا إحصائيا:

الفرد	القيمة الملاحظة ${\displaystyle (x_{i})}$	الرتب الخام	الرتب المتوسطة
1	0	1	1.5
2	0	2	1.5
3	1	3	3
4	2	4	5
5	2	5	5
6	2	6	5
7	5	7	7
8	6	8	8
9	7	9	9
10	8	10	10.5
11	8	11	10.5
12	12	12	12

في هذا المثال[2] ${\displaystyle n=12}$ و${\displaystyle G=8}$ (لوجود 8 رتب مختلفة فقط ضمن الرتب المتوسطة):

${\displaystyle T_{x}=\sum _{g=1}^{G}(t_{g}^{3}-t_{g})=6+0+24+0+0+0+6+0=36}$

• الارتباط في الإحصاء
• معامل الارتباط لبيرسون
• معامل ارتباط كندال حسب الرتب

• بوابة رياضيات
• بوابة إحصاء