توزيع احتمالي طبيعي

تُعرف أبسط حالة من التوزيع الطبيعي باسم التوزيع الطبيعي الموسّط المختزل. إنه حالة خاصة حيث ${\displaystyle \mu =0}$ و ${\displaystyle \sigma =1}$ . نسمي التوزيع الطبيعي (أو غاوسي) موسّط مختزل التوزيع المعرّف بدالة الكثافة ${\displaystyle \varphi }$.

الرسم البياني لهذه الكثافة يمثل شكل جرس.

الدالّة ${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}} بحيث ${\displaystyle \varphi (t)={\frac {1}{\sqrt {2\;\pi }}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {t^{2}}{2}}}}$

هي دالة كثافة احتمالية: هي متواصلة وتكاملها على ${\displaystyle \ \mathbb {R} }$ يساوي 1.

نعلم أن ${\displaystyle \ \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\ dt={\sqrt {2\,\pi }}}$ تكامل غاوسي.

ونبين أن (انظر التالي) التوزيع الذي يقع تحديده انطلاقاً من دالة الكثافة هذه له قيمة متوقعة تساوى 0 وتباينا يساوي 0.

لتوزيع طبيعي ${\displaystyle f(x)}$ متوسطه ${\displaystyle \mu }$ وانحرافه ${\displaystyle \sigma }$ الخصائص التالية:

• الكثافة ${\displaystyle \varphi }$ متناظرة حول النقطة ${\displaystyle x=\mu }$ والتي تمثل في نفس الوقت، منوال التوزيع ووسيطه وقيمته المتوقعة.
• أحادي المنوال.
• يمكن اشتقاق هذه الدالة عدداً لا متناهياً من المرّات وتحقق مهما كان ${\displaystyle \ t\in \mathbb {R} }$ المعادلة التالية ${\displaystyle \varphi '(t)=-t\,\varphi (t)}$.
• القيم الأكثر تكراراً تقع في مركز التوزيع
• كل من المتوسط، الوسيط، والمنوال يقع في مركز التوزيع
• القيم البعيدة عن المتوسط ذات تكرار أقل
• مجموع تكرارات القيم التي هي أكبر من المتوسط يساوي مجموع تكرارات القيم التي تحته
• توجد علاقة معروفة بين نسبة المشاهدات (p) التي تقع ضمن مجال يبعد عن المتوسط بمقدار (z) من الانحرافات المعيارية

تحويل فورييه لتوزيع طبيعي متوسطه ${\displaystyle \mu }$ وانحرافه ${\displaystyle \sigma }$ يعطي بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\hat {\phi }}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\!f(x)e^{itx}dx=e^{i\mu t}e^{-{\frac {1}{2}}(\sigma t)^{2}}}$

حيث ${\displaystyle i}$ هو الوحدة التخيلية.