توزيع بيتا

في نظرية الاحتمالات والإحصاء، توزيع بيتا توزيع احتمالي مستمر والاسم مشتق من اسم الدالة الرياضية بيتا التي تظهر في معادلاتها.[1][2][3] ودالة بيتا هي نوع من التوزيعات الاحتمالية المستمرة المعرفة على الفترة [0، 1] من قبل اثنين من المعلمات بشكل إيجابي، والرموز α و β، التي تظهر الأسس بالنسبة إلى المتغير العشوائي والتحكم في شكل التوزيع.

**توزيع بيتا**
دالة الكثافة الاحتمالية
دالة التوزيع التراكمي
المؤشرات	$\alpha >0$ (حقيقي) $\beta >0$ (حقيقي)
الدعم	$x\in (0;1)\!$
د۔ك۔ح۔	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!$
د۔ت۔ت	$I_{x}(\alpha ,\beta )\!$
المتوسط الحسابي	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!$
الوسيط الحسابي	$I_{0.5}^{-1}(\alpha ,\beta )$ بلا صيغة مغلقة.
المنوال	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\!$ إذا $\alpha >1,\beta >1$
التباين	${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!$
التجانف	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}$
التفرطح	$6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}\!$
الاعتلاج	$\log(\gamma )\,+\,\log(4\,\pi )\!$
د۔م۔ع	$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}$
الدالة المميزة	${\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha$
معلومات فيشر	{{{معلومات فيشر}}}

الخواص

دالة الكثافة

دالة الكثافة الاحتمالية الخاصة بتوزيع بيتا تعطى بالشكل التالي:

f(x;\alpha ,\beta )={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}\!

={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\!

={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\!

حيث $\Gamma$ هي دالة غاما. فيما B دالة بيتا للاستنظام حتى يصبح تكاملها على الفترة يساوي واحد.

دالة التوزيع

دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي يتبع توزيع بيتا تعطى بالشكل التالي:

F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} _{x}(\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta )\!

مراجع

Malcolm, D. G.؛ Roseboom, J. H.؛ Clark, C. E.؛ Fazar, W. (سبتمبر–أكتوبر 1958)، "Application of a Technique for Research and Development Program Evaluation"، Operations Research، 7 (5): 646–669، doi:10.1287/opre.7.5.646، ISSN 0030-364X.
Pearson, Karl (1916)، "Mathematical contributions to the theory of evolution, XIX: Second supplement to a memoir on skew variation"، Philosophical Transactions of the Royal Society A، 216 (538–548): 429–457، Bibcode:1916RSPTA.216..429P، doi:10.1098/rsta.1916.0009، JSTOR 91092.
PDF نسخة محفوظة 10 مايو 2013 على موقع واي باك مشين.

بوابة رياضيات
بوابة إحصاء

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Malcolm, D. G.؛ Roseboom, J. H.؛ Clark, C. E.؛ Fazar, W. (سبتمبر–أكتوبر 1958)، "Application of a Technique for Research and Development Program Evaluation"، Operations Research، 7 (5): 646–669، doi:10.1287/opre.7.5.646، ISSN 0030-364X.

[2] Pearson, Karl (1916)، "Mathematical contributions to the theory of evolution, XIX: Second supplement to a memoir on skew variation"، Philosophical Transactions of the Royal Society A، 216 (538–548): 429–457، Bibcode:1916RSPTA.216..429P، doi:10.1098/rsta.1916.0009، JSTOR 91092.

[3] PDF نسخة محفوظة 10 مايو 2013 على موقع واي باك مشين.

بعض التوزيعات الاحتمالية الشائعة بمتغير واحد
مستمرة	بيتا كوشي خي تربيع أسي توزيع أف غاما لابلاس طبيعي الجدع طبيعي باريتو ستيودنت منتظم وايبول
متقطعة	برنولي ثنائي منتظم هندسي هندسي مفرط ثنائي سالب بواسون