توزيع هندسي

التوزيع الهندسي هو عدد التكرارات للتجربة للحصول على نجاح واحد فقط من تلك التجربة. فإذا كان المتغير X يشير إلى عدد مرات تكرار التجربة و P يشير إلى احتمال نجاح التجربة و q هو احتمال فشل التجربة وبالتالي فإن الدالة الاحتمالية لهذا التوزيع ستكون:

${\displaystyle f(x)=p{(1-p)^{x-1}}}$

حيث أن ...,1,2,3=x

حيث أن ${\displaystyle x\geq {1}}$ , ${\displaystyle 0\leq {p}\leq {1}}$ , ${\displaystyle f(x)\geq {0}}$ لجميع قيم x

${\displaystyle \sum _{x=1}^{\infty }p{(1-p)^{x-1}}=p\sum _{x=1}^{\infty }{(1-p)^{x-1}}=p{\frac {1}{1-(1-p)}}=1}$

وهذا يؤكد أن (f(x دالة احتمالية وقد سميت بالتوزيع الهندسي لان احتمالات قيم X المختلفة تناظر حدود متوالية هندسية.

يستخدم هذا التوزيع إذا كان هناك محاولات أو تجارب وتمثل X عدد هذه المحاولات حتى الحصول على أول نجاح. علما بأن احتمال النجاح P واحتمال الفشل في أي محاولة q=1-p فمثلا في فحص الإنتاج ربما تكون X عدد السلع المفحوصة حتى الحصول على أول تالفة . وكذلك في تجربة القاء قطعة النقود فربما تكون X عدد مرات القاء قطعة النقود حتى الحصول على صورة وكذلك عدد الولادات التي تضعها سيدة قبل أن ترزق بذكر .

ليكن لدينا نرد متجانس (1,2,3,4,5,6,) ما هو احتمال ظهور الرقم 6 بعد 7 محاولات لالقاء النرد؟

الحل:

الاحتمالات الصحيحة (ظهور رقم 6): P = 1/6

الاحتمالات الخاطئة (عدم ظهور رقم 6): q=1-P = 5/6

يكون ظهور الحدث المطلوب بعد 7 محاولات، أي في المحاولة الثامنة وبالتالي: n=8

${\displaystyle P(W)=p(1-p)^{n-1}=pq^{n-1}}$

بتعويض المعطيات

${\displaystyle p(w)=(1/6)*(5/6)^{(}8-1)}$

${\displaystyle p(w)=0.04651}$

أي أنه من كل 100 محاولة لرمي النرد توجد 8 مرات فقط، سيظهر الرقم 1 في المرة الثامنة (وليس قبل الثامنة) في 4.651 مرة من أصل المحاولات المائة.

${\displaystyle F(x)=\sum _{s=1}^{x}f(s)=\sum _{s=1}^{x}pq^{s-1}}$

${\displaystyle =p{\frac {(1-q)^{x}}{(1-q)}}=1-q^{x}}$

حيث أن ...,x=1,2,3

نلاحظ أن

${\displaystyle {\frac {f(x+1)}{f(x)}}={\frac {pq^{x}}{pq^{(}x-1)}}=q<1}$

أي أن الحدود المتتالية متناقصة . وهذا يعني أن أعلى احتمال هو عند X=1 وعلى ذلك فإن المنوال هو X=1

${\displaystyle \mu =E(x)=\sum _{x=1}^{}xpq^{x-1}}$

${\displaystyle =p[1+2q+3q^{2}+4q^{3}+...]}$

${\displaystyle =p(1-q)^{-2}={\frac {1}{p}}}$

نعلم أن

${\displaystyle \sum _{x=1}^{\infty }xq^{x}=q+2q^{2}+3q^{3}+\ldots }$

${\displaystyle =q(1+2q+3q+...)}$

${\displaystyle ={\frac {q}{(1-q)^{2}}}}$

بتفاضل الطرفين بالنسبة إلى q نحصل على

${\displaystyle \sum _{x=1}^{\infty }x^{2}q^{x-1}={\frac {1+q}{(1-q)^{3}}}}$

${\displaystyle \therefore \sum _{x=1}^{\infty }x^{2}pq^{x-1}=p{\frac {(1+q)}{p^{3}}}}$

${\displaystyle E(x^{2})={\frac {1+q}{(p)^{2}}}}$

وبذلك يكون التباين

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1+q}{p^{2}}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {q}{p^{2}}}}$

${\displaystyle M(t)=\sum _{x=1}^{\infty }e^{xt}pq^{x-1}}$

${\displaystyle =pe^{t}\sum _{x=1}^{\infty }(qe^{t})^{x-1}}$

${\displaystyle ={\frac {pe^{t}}{1-qe^{t}}}}$

و حيث أن

${\displaystyle M'(x)={\frac {pe^{t}}{(1-qe^{t})^{2}}}\,}$

${\displaystyle M''(t)={\frac {pe^{t}(1+qe^{t})}{(1-qe^{t})^{3}}}\,}$

${\displaystyle \therefore \mu =\mu '_{1}=M'(0)={\frac {p}{(1-q)^{2}}}={\frac {1}{p}}\,}$

${\displaystyle \mu '_{2}=M''(0)={\frac {p(1+q)}{(1-q)^{3}}}={\frac {1+q}{p^{2}}}\,}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\mu '_{2}-\mu ^{2}={\frac {1+q}{p^{2}}}-({\frac {1}{p}})^{2}={\frac {q}{p^{2}}}\,}$

مثال:

احتمال إصابة هدف هو(0.4) ما احتمال إصابة هذا الهدف في المحاولة الرابعة.

الحل:

${\displaystyle p=0.4\Longrightarrow q=0.6}$

احتمال إصابة الهدف في المحاولة الرابعة معنى ذلك الفشل في الحاولات الثلاثة السابقة وعليه يكون الاحتمال :

${\displaystyle p=(0.4)(0.6)^{3}=0.0864}$

مثال:

إذا كان احتمال ولادة ذكر في أي ولادة تمر بها سيده هو 1/3 أوجد

1- التوزيع الاحتمالي لعدد مرات الوضع قبل أن ترزق هذه السيده بذكر .

2- أوجد متوسط عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر.

3- ما احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ولادتين .

4- ما احنمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ثلاث ولادات على الأكثر.

الحل :

احتمال ولادة ذكر p= 1/3

X عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر

1- X تتبع توزيعا هندسيا بمعلمه P=1/3 وبذلك تكون دالته الاحتمالية هي

...,1,2,3=x

,.${\displaystyle f(x)={\frac {1}{3}}({\frac {2}{3}})^{x-1}}$

2-متوسط عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر هو μ حيث

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{p}}={\frac {1}{({\frac {1}{3}})}}=3}$

3-احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ولادتين هو (p(x=2 حيث

${\displaystyle p(x=2)=f(2)=({\frac {1}{3}})({\frac {2}{3}})={\frac {2}{9}}}$

4-احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ثلاث ولادات على الأكثر هو

${\displaystyle p(x\leq 3)=F(3)=1-q^{3}=1-({\frac {2}{3}})^{3}={\frac {19}{27}}=0.7}$

1. "معلومات عن توزيع هندسي على موقع mathworld.wolfram.com"، mathworld.wolfram.com، مؤرشف من الأصل في 23 ديسمبر 2021.

• الأستاذ الدكتور جلال مصطفى الصياد، نظرية الاحتمالات
• المحاضرة ياسمينه أبو زيد الفقيه، مقدمة في نظرية الاحتمال

• بوابة رياضيات
• بوابة إحصاء