قيمة متوقعة

تحسب القيمة المتوقعة لمتغيرات عشوائية (حقيقية أو مركبة) بالشكل التالي:

• إذا كان المتغير العشوائي X متغيرا منفصلا:
  • إذا كانت قيمة X تنتمي إلى مجموعة منتهية { x₁, x₂,..., x_n } وكل عنصر x_i احتماله p_i إذن: ${\displaystyle E(X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,x_{i}}$
  • إذا كانت قيمة X تنتمي إلى مجموعة عدودة {...,x₁, x₂,..., x_i } فإنّ ${\displaystyle E(X)=\sum _{i\in \mathbb {N} }p_{i}\,x_{i}}$ (إذا كانت المتسلسلة تنتهي مطلقا: النهاية المطلقة للمتسلسلة تضمن استقلال مجوعها عن طريقة ترقيم أطرافها)
• إذا كان المتغير العشوائي X متغيرا متصلا:
  • إذا كانت ل X الدالة الكثافة الاحتمالية f إذن ${\displaystyle E(X)=\int _{\mathbb {R} }x\,f(x)\,dx}$ بشرط أن تكون الدالة قابلة للتكامل.
  • إذا كانت X دالة قابلة للقياس في (Ω, B, p) في مجموعة الأعداد الحقيقية، موجبة وP-قابلة للقياس: ${\displaystyle E(X)=\int _{\Omega }X\,dP=\int _{\mathbb {R} }x\,dP_{X}}$ (حيث ${\displaystyle \ P_{X}}$ الاحتمال الصورة)

تمتلك القيمة المتوقعة بعض الخصائص المهمة رياضياً ومنها:

تمتلك القيمة المتوقعة خاصية الخطية، حيث أنه يمكن أن ينطبق مع أي متغيرين عشوائيين ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ التالي:

${\displaystyle E(X_{1}+X_{2})=E(X_{1})+E(X_{2})}$

وكحالات خاصة ينطبق مع أي متغيرين حقيقيين ${\displaystyle c}$ أو ${\displaystyle d}$ ومتغيّر عشوائي ${\displaystyle X}$ التالي:

${\displaystyle E(cX+d)=cE(X)+d}$

${\displaystyle E(cX)=cE(X)}$

وأيضاً:

${\displaystyle E(d)=d}$

تنطبق خاصية الخطية في القيمة المتوقعة أيضاً على المتسلسلات:

${\displaystyle E{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}X_{k}{\Bigr )}=\sum _{k=1}^{n}E(X_{k})}$

إن خاصية الخطية للقيمة المتوقعة تأتي كنتيجة لخطية تكامل القيمة المتوقعة.

يقول قانون الأعداد الكبيرة أن المعدل التجريبي لـ N (مع ملاحظة أن N كبير) للمتغير العشوائي X تقدير جيّد للقيمة المتوقعة لـ X.

غالبا، نعتبر القيمة المتوقعة أن تكون مثل «وسط المتغير العشوائي»، أي القيمة التي تتوزع حولها القيم الأخرى. مثلا إذا كان لـX و2a - X نفس التوزيع الاحتمالي أي أنّ التوزيع هذا متناظر بالنسبة إلى a، إذن E (X).

ولكن هذه الفكرة تفقد صحتها إذا لم يكن التوزيع متناظرا. لندرس مثالا التوزيع الهندسي، وهو توزيع غير متناظر. إذا X يمثل عدد رميات زهر نرد، يمكن أن نبرهن أنّ 6 =(E(X يعني أن لنحصل على "1" يكفي، معدلا، أن نرمي الزهر 6 مرّات. ولكن احتمال أنّ 5 رميات أو أقل تكفي للحصول على "1" تساوي 0.6 والاحتمال أن 7 رميات أو أكثر تساوي 0.33. قيمات X تتوزع بطريقة غير متساوية حول القيمة المتوقعة.