متباينة تشيبيشيف

سُميت هذه المتراجحة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشيف، رغم أن أول من أشار إليها هو صديقه زميله أيريني جول بيانيمي. قدم بيانيمي هذه المبرهنة بدون برهان في عام 1853 وبرهن عليها في عام 1867. أعطى تلميذه آندريه ماركوف برهانا آخر لها في أطروحته للدكتوراه. كان ذلك عام 1884.

إذا كان X متغيرا عشوائيا وسطه μ وتباينه σ² فإنه لأي عدد موجب k تكون

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$

إذا كان أطوال طلاب الجامعة يتبع توزيعاً طبيعياً وسطه170سم مع انحراف معياري 8سم استخدم متباينة شيبيشف لإيجاد حد أعلى لاحتمال أن يكون أحد الطلاب أطول أو أقصر بـ 12سم من المتوسط

الحل:

من المتباينة نعلم أن

(P(| X-μ | )≥cσ) = P( |X-170| ≥ 8c ) ≤ 1/ (c^2)

باختيار c=1.5 فإن المعادلة السابقة تصبح

2^(1.5)/P(|X-170|≥12)≤1

0.44=1/2.25=

إن القيمة المضبوطة لهذا الاحتمال يمكن حسابها من جدول التوزيع الطبيعي وسنجد أنها تساوي 0.13 وواضح أن هناك فرقاً كبيراً بين القيمة التقريبية والقيمة المضبوطة . ولكن في كثير من الظروف العملية عندما يكون التوزيع الاحتمالي مجهولا يكون الحد الاعلى المحسوب من متباينة شيبيشف (وربما يكون غير دقيق) مفيداً جداً.[1]

• قانون الأعداد الكبيرة
• متراجحة ماركوف

• بوابة رياضيات
• بوابة إحصاء