تحليل الانحدار

مثال لانحدار خطي.

في الانحدار الخطي، تكون مواصفات هذا النموذج بشرط أن المتغير المستقل،${\displaystyle y_{i}}$ هو توافيق خطية للوسيط. مثلاً، في الانحدار الخطي البسيط ولعمل نموذج ${\displaystyle n}$ من النقاط البيانية يوجد متغير: ${\displaystyle x_{i}}$، ووسيطين، ${\displaystyle \beta _{0}}$ و${\displaystyle \beta _{1}}$:

الخط المستقيم: ${\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i},\quad i=1,\dots ,n.\!}$

في الانحدار الخطي المتعدد، توجد عدة متغيرات مستقلة أو دوال من المتغيرات المستقلة. مثال ذلك، إضافة عنصر في x_i² للانحدار السابق يعطي:

قطع مكافئ: ${\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\beta _{2}x_{i}^{2}+\varepsilon _{i},\ i=1,\dots ,n.\!}$

ما زال هذا انحداراً خطياً، بالرغم من أن التعبير على الطرف الأيمن هو دالة تربيعية في المتغير المستقل${\displaystyle x_{i}}$، لكنه لايزال خطياً في الوسائط ${\displaystyle \beta _{0}}$, ${\displaystyle \beta _{1}}$ و${\displaystyle \beta _{2}.}$

في كلا الحالتين، ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ليست حد خطأ و${\displaystyle i}$ تدل على ملاحظة معينة. لو كان لدينا عينة عشوائية من التعداد السكاني، يمكننا تقدير وسائط السكان وإيجاد نموذج الانحدار الخطي للعينة:

${\displaystyle y_{i}={\widehat {\beta }}_{0}+{\widehat {\beta }}_{1}x_{i}+e_{i}.}$

الحد ${\displaystyle e_{i}}$ يمثل الراسب، ${\displaystyle e_{i}=y_{i}-{\widehat {y}}_{i}}$. أحد طرق التقدير تتمثل في أقل التربيعات الاعتيادية، SSE:

${\displaystyle SSE=\sum _{i=1}^{N}e_{i}^{2}.\,}$

تبسيط هذه الدالة ينجم عنه مجموعة من معادلات اعتيادية، يتم حلها لإيجاد تقديرات الوسيط، ${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{0},{\widehat {\beta }}_{1}}$.

في حالة الانحدار الخطي البسيط، تكون صيغ تقديرات أقل التربيعات:

${\displaystyle {\widehat {\beta _{1}}}={\frac {\sum (x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}{\text{ and }}{\hat {\beta _{0}}}={\bar {y}}-{\widehat {\beta _{1}}}{\bar {x}}}$

حيث ${\displaystyle {\bar {x}}}$ المتوسط الحسابي (لقيم ${\displaystyle x}$ و${\displaystyle {\bar {y}}}$ متوسط قيم ${\displaystyle y}$.

على افتراض أن حد الخطأ السكاني ذو تباين ثابت، تعطى تقديرات التباين بالعلاقة: ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\varepsilon }^{2}={\frac {SSE}{N-2}}.\,}$

ويطلق عليها خطأ مربع المتوسط (MSE) للانحدار. تعطى الأخطاء المعيارية لتقديرات الوسيط بالعلاقة:${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\beta _{0}}={\hat {\sigma }}_{\varepsilon }{\sqrt {{\frac {1}{N}}+{\frac {{\bar {x}}^{2}}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\beta _{1}}={\hat {\sigma }}_{\varepsilon }{\sqrt {\frac {1}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}.}$

• تحليل النموذج الإحصائي الأمثل
• تحليل التباين
• توفيق المنحنيات
• نظرية التقدير
• تنبؤ
• النموذج الخطي المعمم

• تحليل الانحدار، دراسة البواقي

• بوابة رياضيات
• بوابة الاقتصاد
• بوابة إحصاء
• بوابة تعلم الآلة