تشابه ذاتي

شكل كسيري متقارب ذاتيًا مع بعد هاوسدروف=1.8272.

يعتبر التقارب الذاتي في الرياضيات من إحدى سمات الهندسة الكسيرية التي يتم قياس قطعها بكميات مختلفة في الاتجاهين x و y، ولتقدير التشابه الذاتي لهذه الأشكال الكسيرية، يجب إعادة قياسها باستخدام تحويل تآلفي متباين الخواص.

يكون الفضاء الطوبولوجي المتراص X متشابه ذاتيًا، إذا تواجدت مجموعة منتهية S تُرَمِّز دالات غير شمولية هوميومرفية ${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$ بحيث يكون:

${\displaystyle X=\bigcup _{s\in S}f_{s}(X)}$

إذا كان ${\displaystyle X\subset Y}$ نقول عن X أنها متشابهة ذاتيًا إذا كانت المجموعة الجزئية الوحيدة وغير الخالية من Y كما في المعادلة أعلاه${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$، ونقول أن

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}:s\in S\})}$

يمكن تكرار الأشكال المتشابهة طوبولوجيًا مما يؤدي إلى نظام دالة متكرر، يشكل تركيب الدالات بنية جبرية تدعى مونويد، وفي حال احتوت المجموعة S على عنصرين فقط تدعى ثنائية المونويد، ويمكن تصوير هذه الأخيرة على أنها شجرة ثنائية لانهائية، وبشكل عام إذا كانت المجموعة S تحتوي على عناصر p فقد يتم تمثيل المونويد كشجرة بنظام p-adic.

التماثلات الذاتية لثنائية المونويد هي المجموعة القياسية، ويمكن أن يتم تصويرها على أنها دوران قطعي زائدي للشجرة الثنائية، والفكرة الأكثر عمومية من التشابه الذاتي هي التقارب الذاتي.

يظهر التشابه الذاتي في مجموعة ماندلبرو بالتكبير على نقطة فيغنباوم عند (−1.401155189..., 0).

مجموعة ماندلبرو هي أيضًا متشابهة ذاتيًا حول نقاط ميسيورفيتش (Misiurewicz points).

للتشابه الذاتي نتائج مهمة بالنسبة لتصميم شبكات الكمبيوتر، حيث تتميز حركة الشبكة النموذجية بخصائص متشابهة، وعلى سبيل المثال؛ يبدو في هندسة الاتصالات عن بعد أن أنماط حركة بيانات تحويل الرزم متشابهة ذاتيًا من الناحية الإحصائية، وتعني هذه الخاصية أن النماذج البسيطة التي تستخدم توزيع بواسون غير دقيقة، وأن الشبكات المصممة دون مراعاة التشابه الذاتي من المحتمل أن تعمل بطرق غير متوقعة.

وبالمثل، توصف حركات سوق الأوراق المالية بأنها تظهر تقاربًا ذاتيًا، أي أنها تبدو متقاربة ذاتيًا عندما يتم تحويلها عن طريق تحويل تآلفي مناسب لمستوى يظهر التفاصيل.، ويصف أندرو لو التشابه الذاتي لعائدات سجل سوق الأسهم في الاقتصاد القياسي.[6]

قواعد التقسيمات المحددة هي تقنية قوية لبناء مجموعات مماثلة لذاتها، بما في ذلك مجموعة كانتور ومثلث سيربنسكي.[7]

• بوابة هندسة
• بوابة هندسة رياضية