صيغة فاولهابر

${\displaystyle 1+2+3+\cdots +n={n(n+1) \over 2}={n^{2}+n \over 2}}$

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}={2n^{3}+3n^{2}+n \over 6}}$

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left({n^{2}+n \over 2}\right)^{2}={n^{4}+2n^{3}+n^{2} \over 4}}$

${\displaystyle 1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +n^{4}={6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n \over 30}}$

${\displaystyle 1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}={2n^{6}+6n^{5}+5n^{4}-n^{2} \over 12}}$

${\displaystyle 1^{6}+2^{6}+3^{6}+\cdots +n^{6}={6n^{7}+21n^{6}+21n^{5}-7n^{3}+n \over 42}}$

يمكن أيضا كتابة

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{p}={\frac {\varphi _{p+1}(n+1)-\varphi _{p+1}(0)}{p+1}},}$

حيثφ_j هي متعدد حدود بيرنولي حتى الحد j.

في التفاضل الظلالي التقليدي يتم معاملة 'j العوامل في تعاقب أو سلسلة Bj على أنها قوى، حتى نستطيع في هذه الحال تطبيق نظرية ذات الحدين ونقول:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B^{j}n^{p+1-j}}$

${\displaystyle ={(B+n)^{p+1}-B^{p+1} \over p+1}.}$

في الشكل الحديث للتفاضل الظلالي، يتم اعتبار الشكل الخطي T على الفضاء الشعاعي لمتعدادت حدود (كثيرات حدود) في متغير b معطى بالعلاقة

${\displaystyle T(b^{j})=B_{j}.\,}$

ويمكن القول حينئذ

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}T(b^{j})n^{p+1-j}}$

${\displaystyle ={1 \over p+1}T\left(\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}b^{j}n^{p+1-j}\right)=T\left({(b+n)^{p+1}-b^{p+1} \over p+1}\right).}$

يستخدم المصطلح «كثيرات حدود فاولابر» من قبل بعض المؤلفين للإشارة إلى شيء غير متسلسلة كثيرة الحدود المعطاة سابقا. لاحظ فاولابر أنه إذا كانت p فردية، فإن

${\displaystyle 1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}\,}$

هي دالة متعدد حدود في

${\displaystyle a=1+2+3+\cdots +n.\,}$

وبشكل خاص

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=a^{2}\,}$

${\displaystyle 1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}={4a^{3}-a^{2} \over 3}}$

${\displaystyle 1^{7}+2^{7}+3^{7}+\cdots +n^{7}={12a^{4}-8a^{3}+2a^{2} \over 6}}$

${\displaystyle 1^{9}+2^{9}+3^{9}+\cdots +n^{9}={16a^{5}-20a^{4}+12a^{3}-3a^{2} \over 5}}$

${\displaystyle 1^{11}+2^{11}+3^{11}+\cdots +n^{11}={32a^{6}-64a^{5}+68a^{4}-40a^{3}+5a^{2} \over 6}.}$

أولى هذه المتطابقات، للحالة p = 3, تعرف بنظرية ىيكوماتشو. ويطلق بعض المؤلفين على كثيرات الحدود في الجانب الأيمن من هذه المطابقات اسم «كثيرات حدود فاولابر في a». كثيرات الحدود على الشق الأيمن تقبل القسمة على a ² لأنه في حالة كانت j > 1 فردية، يكون عدد برنولي،B_j هو 0.

باستعمال ${\displaystyle B_{k}=-k\zeta (1-k)}$، قد يكتب

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}-\sum \limits _{j=0}^{p-1}{p \choose j}\zeta (-j)n^{p-j}.}$

If we consider the generating function ${\displaystyle G(z,n)}$ in the large ${\displaystyle n}$ limit for ${\displaystyle \Re (z)<0}$, then we find

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }G(z,n)={\frac {1}{e^{-z}-1}}=\sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j-1}B_{j}{\frac {z^{j-1}}{j!}}}$

Heuristically, this suggests that

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }k^{p}={\frac {(-1)^{p}B_{p+1}}{p+1}}.}$

هذه النتيجة لا تتعارض مع قيم دالة زيتا لريمان ${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$ for negative integers ${\displaystyle s=-p<0}$ on appropriately analytically continuing ${\displaystyle \zeta (s)}$.

• CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, إيريك ويستاين، Chapman & Hall/CRC, 2003, ISBN 1-58488-347-2, page 2331
• إيريك ويستاين، Faulhaber's formula، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

• "Darinnen die miraculosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden", Academia Algebrae, Johann Faulhaber, Augpurg, bey Johann Ulrich Schöigs, 1631.

• بوابة رياضيات
• بوابة نظرية الأعداد