مبرهنة ذي الحدين

عُرفت حالات خاصة من مبرهنة ذات الحدين على الأقل منذ القرن الرابع قبل الميلاد حيث أشار عالم الرياضيات الإغريقي إقليدس إلى الحالة الخاصة التي يكون فيها الأس مساويا لاثنين. أما ذات الحدين من الدرجة الثالثة، فهناك أدلة على أنها كانت معروفة خلال القرن السادس الميلادي في الهند.

أول صيغة لمبرهنة ذات الحدين مع لائحة المعاملات يمكن أن توجد في عمل لأبي بكر الكرجي، عالم رياضيات فارسي توفي في 1020 ميلادية، كما جاء بذلك السموأل بن يحيى المغربي في كتابه الباهر في الجبر.

في عام 1544، اقترح العالم ميكائيل شتيفل مصطلح معامل ذو الحدين مبرهنا على كيفية الحصول على ${\displaystyle (1+a)^{n}}$ من خلال ${\displaystyle (1+a)^{n-1}}$.

عالم الرياضيات أندرياس فون ايتينغ هاوسن هو أول من اقترح الرمز ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$. كان ذلك عام 1826.

عموما، يشار إلى إسحاق نيوتن على أنه أول من عمم مبرهنة ذي الحدين على جميع الأعداد الجذرية.

ليكن العنصران x وy معرفين على مجموعة حيث xy=yx، وعدد صحيح طبيعي n،

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}$

حيث الأعداد ${\displaystyle {n \choose k}}$ (و التي تكتب أحيانا ${\displaystyle C_{k}^{n}}$) هي المعاملات الثنائية.

هذا المجموع يعتمد على معاملات ذوي الحدين (التوافيق) الموجودة على أحد سطور مثلث باسكال.

تغيير y ب y - داخل الصيغة، يعطي الصيغة :

${\displaystyle (x-y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}$

مثال :

${\displaystyle n=2~,\qquad (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,}$

${\displaystyle n=3~,\qquad (x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}\,}$

${\displaystyle n=4~,\qquad (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,}$

لتكن y، x عناصر من مجموعة حيث xy=yx و n عددا طبيعيا صحيحا.

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}$

لنبين هذه الصيغة بالـ «الاستدلال بالاستقراء»:

• بوابة جبر
• بوابة رياضيات