ظاهرة كومبتون

إذا افترضنا فوتوناً ${\displaystyle \gamma }$ بطول موجي ${\displaystyle \lambda }$ يصطدم ب إلكترون ${\displaystyle e}$ في الذرة، حيث يتم معاملة الإلكترون على أنه ساكن. يؤدي هذا التصادم إلى ارتداد الإلكترون، وينشأ فوتون جديد ${\displaystyle \gamma '}$ بطول موجة ${\displaystyle {\lambda }'}$ يظهر بزاوية ${\displaystyle \theta }$ عن الفوتون الساقط، وباستخدام ${\displaystyle e'}$ للدلالة على الإلكترون بعد التصادم. وقد افترض كومبتون أنه في بعض الحالات يمكن أن يتسبب التصادم إلى تسريع الإلكترون إلى ما يقارب سرعة الضوء، وهذه الحالة تستوجب تطبيق معادلة آينشتاين في النسبية لتفسير الطاقة والزخم بصورة صحيحة.

وفي اختتام ورقته عام 1923، ذكر كومبتون نتائج التجارب التي تؤكد معادلته للتشتت، وبالتالي دعم افتراض أن الفوتونات تحمل زخماً فضلاً عن الطاقة المكممة. وفي بداية اشتقاقه، عبر كومبتون عن زخم الفوتون من خلال مساواة معادلة آينشتاين للعلاقة بين الكتلة والطاقة ${\displaystyle E=mc^{2}}$ مع معادلة الطاقة للفوتون ${\displaystyle hf}$ التي كان آينشتاين قد افترضها من قبل. فإذا كانت ${\displaystyle mc^{2}=hf}$، فإن الكتلة المكافئة لطاقة الفوتون يجب أن تكون ${\displaystyle hf/c^{2}}$. ومن هنا يصبح زخم الفوتون هو حاصل ضرب هذه الكتلة بسرعة الضوء ${\displaystyle c}$. فيصبح زخم الفوتون مساوياً ل ${\displaystyle p=hf/c}$. ويعتبر الاشتقاق الموجود في ورقة كومبتون موجز أكثر من هذا ولكنه يتبع نفس النظام في تسلل الاشتقاق.

من مبدأ حفظ الطاقة، فإن مجموع الطاقات قبل التشتت تساوي مجموع الطاقات بعد التشتت.

${\displaystyle E_{\gamma }+E_{e}=E_{\gamma '}+E_{e'}.\!}$

وقد أشار كومبتون إلى أن الفوتون يحمل زخماً؛ إذاً ومن مبدأ حفظ الزخم، فإن زخم الجسيمات يجب أن يكون متساوياً ضمن العلاقة

${\displaystyle \mathbf {p} _{\gamma }=\mathbf {p} _{\gamma '}+\mathbf {p} _{e'},}$

حيث أن (${\displaystyle {p_{e}}}$) يتم إهمالها بافتراض أن قيمتها تساوي صفراً.

ترتبط طاقة الفوتون بالتردد ضمن العلاقة

${\displaystyle E_{\gamma }=hf\!}$

${\displaystyle E_{\gamma '}=hf'\!}$

حيث ${\displaystyle h}$ هو ثابت بلانك

قبل حدوث التشتت، تتم معاملة الإلكترون على أنه ساكن، وبالتالي فإن الطاقة الكلية للإلكترون تتألف بشكل كامل من طاقته المكافأة لكتلته السكونية ${\displaystyle m_{e}}$:

${\displaystyle E_{e}=m_{e}c^{2}.\!}$

بعد التشتت، احتمال أن يتسارع الإلكترون إلى سرعة قريبة من سرعة الضوء، يتطلب أن يتم تمثيل طاقة الإلكترون الكلية باستخدام العلاقة النسبية للطاقة والزخم:

${\displaystyle E_{e'}={\sqrt {(p_{e'}c)^{2}+(m_{e}c^{2})^{2}}}.}$

وبتعويض هذه القيمة في معادلة حفظ الطاقة، نحصل على

${\displaystyle hf+m_{e}c^{2}=hf'+{\sqrt {(p_{e'}c)^{2}+(m_{e}c^{2})^{2}}}.}$

ويمكن استخدام هذه العلاقة لإيجاد قيمة الزخم للإلكترون المتشتت

${\displaystyle p_{e'}^{\,2}c^{2}=(hf-hf'+m_{e}c^{2})^{2}-m_{e}^{2}c^{4}.\qquad \qquad (1)\!}$

لاحظ أن الزخم الذي اكتسبه الإلكترون يتجاوز قيمة الزخم الذي فقده الفوتون

${\displaystyle {\frac {1}{c}}{\sqrt {(hf-hf'+m_{e}c^{2})^{2}-m_{e}^{2}c^{4}}}>{\frac {hf-hf'}{c}}.}$

المعادلة رقم واحد تعطي العلاقة بين الطاقات المختلفة المصحوبة بالتصادم. ويشمل التغير في زخم الإلكترون على تغير نسبي في كتلة الإلكترون، لذا لا يوصف التغير في الزخم من خلال التغير في الطاقة على النحو الذي تصفه الفيزياء الكلاسيكية. ولا يوصف التغير في زخم الفوتون من خلال التغير في الطاقة، ولكنه يشمل على تغير في الاتجاه أيضاً.

ويعطي التعبير عن حفظ الزخم لزخم الإلكترون المتشتت العلاقة التالية:

${\displaystyle \mathbf {p} _{e'}=\mathbf {p} _{\gamma }-\mathbf {p} _{\gamma '}.}$

ثم ومن خلال استخدام الضرب النقطي

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{e'}^{\,2}&=\mathbf {p} _{e'}\cdot \mathbf {p} _{e'}=(\mathbf {p} _{\gamma }-\mathbf {p} _{\gamma '})\cdot (\mathbf {p} _{\gamma }-\mathbf {p} _{\gamma '})\\&=p_{\gamma }^{\,2}+p_{\gamma '}^{\,2}-2p_{\gamma }\,p_{\gamma '}\cos \theta .\end{aligned}}}$

وباستبدال ${\displaystyle p_{\gamma }c}$ ب ${\displaystyle hf}$ وضرب الطرفين ب ${\displaystyle c^{2}}$:

${\displaystyle p_{e'}^{\,2}c^{2}=p_{\gamma }^{\,2}c^{2}+p_{\gamma '}^{\,2}c^{2}-2c^{2}p_{\gamma }\,p_{\gamma '}\cos \theta .}$

وبعد استبدال قيمة زخم الفوتون ب ${\displaystyle hf/c}$، نحصل على تعبير آخر لقيمة الزخم للإلكترون المتشتت:

${\displaystyle p_{e'}^{\,2}c^{2}=(hf)^{2}+(hf')^{2}-2(hf)(hf')\cos {\theta }.\qquad \qquad (2)}$

وبمساواة التعبيرين عن زخم الإلكترون نحصل على

${\displaystyle (hf-hf'+m_{e}c^{2})^{2}-m_{e}^{\,2}c^{4}=\left(hf\right)^{2}+\left(hf'\right)^{2}-2h^{2}ff'\cos {\theta }.,}$

والتي بعد فك الأقواس ثم حذف وترتيب الأطراف تعطينا

${\displaystyle 2hfm_{e}c^{2}-2hf'm_{e}c^{2}=2h^{2}ff'\left(1-\cos \theta \right).\,}$

وبعدها قسمة الطرفين على ${\displaystyle 2hff'm_{e}c}$ فينتج

${\displaystyle {\frac {c}{f'}}-{\frac {c}{f}}={\frac {h}{m_{e}c}}\left(1-\cos \theta \right).\,}$

وأخيراً بما أن ${\displaystyle f\lambda =f^{\prime }\lambda ^{\prime }=c,}$

${\displaystyle \lambda '-\lambda ={\frac {h}{m_{e}c}}(1-\cos {\theta }).\,}$