لوغاريتم عقدي

في التحليل المركب، لوغاريتم مركب أو لوغاريتم عقدي هي دالة عكسية للدالة الأسية العقدية، تماما كما هو الحال بالنسبة إلى اللوغاريتم الطبيعي الذي هو الدالة العكسية للدالة الأسية الحقيقية e^x. إذن، اللوغاريتم العقدي لعدد مركب z هو عدد مركب w حيث e^w = z. يرمز إلى العدد w هذا بالرمز ln z أو log z. بما أن لكل عدد عقدي مختلف عن الصفر عدد لا نهائي من اللوغارتمات، فإنه من الواجب الحذر عند كتابة هذه الصيغة من أجل إعطائها معنى واضحا لا لبس فيه.

تمثيل دالة اللوغاريتم العقدي على المستوي العقدي (تلوين المناطق).

معضلة كيفية عكس دالة الأس العقدية

رسم بياني يبين الجزء التخيلي متعدد القيم لدالة اللوغاريتم العقدي.

لكي تكون دالة ما تقابلا، ينبغي أن تربط أعدادا مختلفة عن بعضها البعض بقيم مختلفة عن بعضها البعض. هذا يعني أنه ينبغي أن تكون تباينية. لكن دالة الأس العقدية ليست تباينية. سبب ذلك هو أنه مهما كانت قيمة العدد w، إضافة iθ إلى w في الصيغة e^w+2kπi = e^w يكافئ دوران e^w في عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية تساوي θ راديان. لائحة الأعداد غير المنتهية التالية

\ldots ,\;w-4\pi i,\;w-2\pi i,\;w,\;w+2\pi i,\;w+4\pi i,\;\ldots ,

تمثل على خط مستقيم نقاطا متساوية التباعد، الواحدة منهن عن التي تليها. ولكن، دالة الأس العقدية تربطهن جميعهن بنفس الصورة. نتيجة لذلك، ليس لدالة الأس العقدية من دالة عكسية بالمعنى الاعتيادي للكلمة.

هناك حلان لهذه المعضلة.

يتمثل الحل الأول في جعل مجموعة انطلاق دالة الأس العقدية، تقتصر على مجال ضيق محدد، لا يحتوي على قيمتين مختلفتين تبتعدان عن بعضها البعض بمضاعف للعدد 2πi. هذه التقنية هي التقنية المستعملة من أجل تعريف الدوال المثلثية العكسية الثلاث الأساسية : الجيب العكسية والجيب التمام العكسية والظل العكسية.

يتمثل الحل الثاني في النظر إلى دالة اللوغاتيتم العقدي دالةً مجموعة انطلاقها، ليست جزءا من المستوى العقدي وإنما مساحة لريمان تغطي المستوى العقدي بشكل معين.

تعريف للقيمة الأساسية

بالنسبة لكل عدد عقدي z = x + yi، اللوغاريتم العقدي هو عدد عقدي جزؤه التخيلي ينتمي إلى المجال $]-\pi ,\pi ]$ .

\operatorname {Log} z:={\text{ln }}r+i\theta =\ln |z|+i\operatorname {Arg} z=\operatorname {ln} {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\operatorname {atan2} (y,x).

على سبيل المثال، Log(−3i) = ln 3 − πi/2، بينما Log(−3) = ln 3 +πi.

اللوغاريتم العقدي للصفر يبقى غير معرف لأنه لا وجود لعدد w حيث e^w = 0.

ليس كل الصيغ الصالحة للوغاريتم الطبيعي مطبقا على الأعداد الحقيقية تبقى صالحة عندما يتعلق الأمر بالأعداد العقدية. الصيغة e^Log z = z صحيحة مهما كان z. تعريف اللوغاريتم العقدي هو الذي يضمن هذه الخاصية. ولكن، الصيغة Log e^z = z ليست صحيحة كلما خرج z عن الشريط S. لهذا السبب، لا يمكن دائما تطبيق دالة اللوغاريتم العقدي على طرفي متطابقة ما من قبيل e^z = e^w من أجل استنتاج z = w.

\operatorname {Log} ((-1)i)=\operatorname {Log} (-i)=\ln(1)-{\frac {\pi i}{2}}=-{\frac {\pi i}{2}},

لكن

\operatorname {Log} (-1)+\operatorname {Log} (i)=\left(\ln(1)+\pi i\right)+\left(\ln(1)+{\frac {\pi i}{2}}\right)={\frac {3\pi i}{2}}\neq -{\frac {\pi i}{2}}.

انظر أيضا

مراجع

بوابة تحليل رياضي

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.