مبرهنة ليندمان-فايرشتراس

في الرياضيات، مبرهنة ليندمان-فايرشتراس (بالإنجليزية: Lindemann–Weierstrass theorem)‏ هي نتيجة كثيرة النفع في إثبات تسامي عدد ما من عدمه.[1]

سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات فيردينوند فون ليندمان و كارل فايرشتراس.

البرهان

ظهر أول برهان على تسامي العدد e سنة 1873. سنتبع هنا طريقة ديفيد هيلبرت (1862 - 1943) والذي بسط البرهان الأصلي لتشارلز هيرمت. الفكرة هي كالتالي:

نفترض أن العدد E هو عدد جبري، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد مجموعة منتهية من المعاملات الصحيحة التي تحقق المعادلة:

بحيث يكون كلا العددان و مخالفين للصفر.

نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n.

نضرب طرفي المعادلة بـ ، في حين سنستعمل الترميز التالي كاختصار للتكامل:

.

سنصل إلى المعادلة:

والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:

حيث

الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن : هو عدد صحيح يخالف الصفر، في حين العدد ليس كذلك.

والسبب في أن عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:

وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق مكاملة بالأجزاء.

ولكي نبرهن على أن:

من أجل k كبير بما يكفي

نشير أولا إلى أن هو جداء الدوال و. وباستعمال المحد العلوي لـ و على المجال وبما أن:

لكل عدد حقيقي G.

وهذا كاف لإكمال البرهان.

يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.

مراجع

  • بوابة رياضيات
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.