متعددات الحدود متعامدة

في بعض الأحيان يكون عندنا:

${\displaystyle \displaystyle d\alpha (x)=W(x)dx}$

حيث

${\displaystyle W:[x_{1},x_{2}]\to \mathbb {R} }$

هي دالة غير سلبية مع الدعم على الفاصل ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$ في الخط الحقيقي (حيث ${\displaystyle x_{1}=-\infty }$ and ${\displaystyle x_{2}=\infty }$ مسموح به). حيث تكون الW دالة ترجيح.

عندها يكون حاصل الجداء الداخل كالتالي:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)g(x)W(x)\;dx.}$

ولكن هناك العديد من الأمثلة على متعددو الحدود المتعامدة حيث القياس dα(x) عنده نقاط غير صفرية القيمة حيث الدالة α تكون متقطعة، لذلك لا يمكن أن تعطى بدالة ترجيح W كما هو مبين أعلاه.

متعددو الحدود المتعامدة P_n يمكن أن يعبر عنها بواسطة العزم

${\displaystyle m_{n}=\int x^{n}d\alpha (x)}$

كما يلي:

${\displaystyle P_{n}(x)=c_{n}\,\det {\begin{bmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\&&\cdots &&\\m_{n-1}&m_{n}&m_{n+1}&\cdots &m_{2n-1}\\1&x&x^{2}&\cdots &x^{n}\end{bmatrix}}~,}$

حيث الثوابت c_n تكون اعتباطية (تعتمد على تطبييع P_n).