Álgebra de Boole

Diremos que este conjunto y las operaciones así definidas: ${\displaystyle ({\mathfrak {B}},\sim ,\oplus ,\odot )}$ son un álgebra de boole, si cumple los siguientes axiomas:

Partiendo de los cinco axiomas anteriores, se pueden deducir y demostrar los siguientes teoremas fundamentales:

• 11: Ley de involución:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;\sim (\sim a)=a}$

• 12: Ley del complemento:

${\displaystyle \sim U=\varnothing \;,\quad \sim \varnothing =U}$

Sea: ${\displaystyle ({\mathfrak {B}},\sim ,\oplus ,\odot )}$ un álgebra de Boole, sean a, b dos elementos del conjunto, podremos decir entonces que a antecede a b y lo denotamos:

${\displaystyle a\preceq b}$

si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

1. ${\displaystyle a\oplus b=b}$
2. ${\displaystyle a\odot b=a}$
3. ${\displaystyle \sim a\oplus b=U}$
4. ${\displaystyle a\odot \sim b=\varnothing }$

Estas cuatro condiciones se consideran equivalentes y el cumplimiento de una de ellas implica necesariamente el cumplimiento de las demás. Definiendo un conjunto parcialmente ordenado.

Si se cumple que:

${\displaystyle a,b\in {\mathfrak {B}}\;:\quad a\preceq b\;\lor \;b\preceq a\quad \longrightarrow \quad a,b\rightarrow {\mathit {comparables}}}$

Para los valores a, b de ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, que cumplen que a antecede a b, o que b antecede a a, se dice que a y b son comparables.

Si se cumple que:

${\displaystyle a,b\in {\mathfrak {B}}\;:\quad a\npreceq b\;\land \;b\npreceq a\quad \longrightarrow \quad a,b\rightarrow {\mathit {no\;comparables}}}$

Para los valores a, b de ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, que cumplen que a no antecede a b, y que b no antecede a a, se dice que a y b son no comparables.

El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores suma con los de producto, y de ${\displaystyle U\;}$ con ${\displaystyle \varnothing }$.

	Adición	Producto
1	${\displaystyle a\oplus \sim {a}=U\,}$	${\displaystyle a\odot \sim {a}=\varnothing }$
2	${\displaystyle a\oplus \varnothing =a\,}$	${\displaystyle a\odot U=a\,}$
3	${\displaystyle a\oplus U=U\,}$	${\displaystyle a\odot \varnothing =\varnothing \,}$
4	${\displaystyle a\oplus a=a\,}$	${\displaystyle a\odot a=a\,}$
5	${\displaystyle a\oplus b=b\oplus a\,}$	${\displaystyle a\odot b=b\odot a\,}$
6	${\displaystyle a\oplus (b\oplus c)=(a\oplus b)\oplus c\,}$	${\displaystyle a\odot (b\odot c)=(a\odot b)\odot c\,}$
7	${\displaystyle a\oplus (b\odot c)=(a\oplus b)\odot (a\oplus c)\,}$	${\displaystyle a\odot (b\oplus c)=(a\odot b)\oplus (a\odot c\,)}$
8	${\displaystyle a\oplus a\odot b=a\,}$	${\displaystyle a\odot (a\oplus b)=a\,}$
9	${\displaystyle \sim {(a\oplus b)}=\sim {a}\odot \sim {b}}$	${\displaystyle \sim {(a\odot b)}=\sim {a}\oplus \sim {b}\,}$

Una serie de temas, aparentemente tan distintos, tiene dos cosas en común, la lógica binaria basada en los ceros y los unos y el álgebra de Boole, posiblemente la forma más conocida de esta álgebra, que en ocasiones da lugar a la interpretación que el álgebra de Boole es la lógica binaria exclusivamente, así el conjunto ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ en este caso está formado por dos elementos {0,1}, o {F, V}, o {no, sí}, dos valores contrapuestos, que son las dos posibles alternativas entre dos situaciones posibles, aquí, sin pérdida de la generalidad, tomaremos el conjunto: {0,1} como ya hemos dicho:

${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{0,1\}}$

Donde:

${\displaystyle \varnothing =0}$

${\displaystyle U=1\;}$

• La operación unaria interna, que llamaremos negación:

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}a&{\bar {a}}\\\hline 0&1\\1&0\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}{\bar {}}:&{\mathfrak {B}}&\to &{\mathfrak {B}}\\&a&\to &b={\bar {a}}\end{array}}}$

La operación unaria interna negación, definimos una aplicación que a cada elemento a de {0,1}, le asigna un b de {0,1}.

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}\,:\quad \exists !b\in {\mathfrak {B}}\;/\quad b={\bar {a}}}$

Para todo elemento a en {0,1}, se cumple que existe un único b en {0,1}, tal que b es la negación de a. Como se ve en la tabla.

• La operación binaria interna, que llamaremos suma:

${\displaystyle {\begin{array}{cc|c}a&b&a+b\\\hline 1&1&1\\1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\\\end{array}}\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{array}{c|cc}0&1&0\\1&1&1\\\hline +&1&0\\\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}+:&{\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}&\to &{\mathfrak {B}}\\&(a,b)&\to &c=a+b\end{array}}}$

Con la operación suma definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

${\displaystyle \forall (a,b)\in {\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}\,:\quad \exists !c\in {\mathfrak {B}}\;/\quad c=a+b}$

Para todo par ordenado (a,b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de sumar a con b.

• la operación binaria interna, que llamaremos producto:

${\displaystyle {\begin{array}{cc|c}a&b&a\cdot b\\\hline 1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{array}}\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline \cdot &1&0\\\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\cdot$ :&{\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}&\to &{\mathfrak {B}}\\&(a,b)&\to &c=a\cdot b\end{array}}}

Con la operación producto definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

${\displaystyle \forall (a,b)\in {\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}\,:\quad \exists !c\in {\mathfrak {B}}\;/\quad c=a\cdot b}$

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado del producto a y b. Como se puede ver en la tabla.

Así ${\displaystyle (\{0,1\},{\bar {}},+,\cdot )}$ es un álgebra de Boole al cumplir los siguientes axiomas:

• 1a: La ley asociativa de la suma:

${\displaystyle \forall a,b,c\in \{0,1\}:\;(a+b)+c=a+(b+c)}$

• 1b: La ley asociativa del producto:

${\displaystyle \forall a,b,c\in \{0,1\}:\;(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

• 2a: Existencia del elemento neutro para la suma:

${\displaystyle \forall a\in \{0,1\}:\;a+0=a}$

• 2b: Existencia del elemento neutro para el producto:

${\displaystyle \forall a\in \{0,1\}:\;a\cdot 1=a}$

• 3a: La ley conmutativa de la suma:

${\displaystyle \forall a,b\in \{0,1\}:\;a+b=b+a}$

• 3b: La ley conmutativa del producto:

${\displaystyle \forall a,b\in \{0,1\}:\;a\cdot b=b\cdot a}$

• 4a: Ley distributiva de la suma respecto al producto:

${\displaystyle \forall a,b,c\in \{0,1\}:\;a+(b\cdot c)=(a+b)\cdot (a+c)}$

• 4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:

${\displaystyle \forall a,b,c\in \{0,1\}:\;a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$

• 5a: Existe elemento complementario para la suma:

${\displaystyle \forall a\in \{0,1\};\;\exists {\bar {a}}\in \{0,1\}:\;a+{\bar {a}}=1}$

• 5b: Existe elemento complementario para el producto:

${\displaystyle \forall a\in \{0,1\};\;\exists {\bar {a}}\in \{0,1\}:\;a\cdot {\bar {a}}=0}$

Luego ${\displaystyle (\{0,1\},{\bar {}},+,\cdot )}$ es álgebra de Boole.

Partiendo de estos axiomas se puede demostrar los siguientes teoremas:

• 6a: Ley de idempotencia para la suma:

${\displaystyle \forall a\in \{0,1\}:\;a+a=a}$

• 6b: Ley de idempotencia para el producto:

${\displaystyle \forall a\in \{0,1\}:\;a\cdot a=a}$

• 7a: Ley de dominación para la suma:

${\displaystyle \forall a\in \{0,1\}:\;a+1=1}$

• 7b: Ley de dominación para el producto:

${\displaystyle \forall a\in \{0,1\}:\;a\cdot 0=0}$

• 8a: Ley de identidad para la suma:

${\displaystyle \forall a\in \{0,1\}:\;a+0=a}$

• 8b: Ley de identidad para el producto:

${\displaystyle \forall a\in \{0,1\}:\;a\cdot 1=a}$

• 9a: Ley de absorción para la suma

${\displaystyle \forall a,b\in \{0,1\}:\;a+(a\cdot b)=a}$

• 9b: Ley de absorción para el producto

${\displaystyle \forall a,b\in \{0,1\}:\;a\cdot (a+b)=a}$

• 10a: Ley de De Morgan para la suma:

${\displaystyle \forall a,b\in \{0,1\}:\;a+b={\overline {{\bar {a}}\cdot {\bar {b}}}}}$

• 10a: Ley de De Morgan para el producto:

${\displaystyle \forall a,b\in \{0,1\}:\;a\cdot b={\overline {{\bar {a}}+{\bar {b}}}}}$

• 11: Ley de involución:

${\displaystyle \forall a\in \{0,1\}:\;{\bar {\bar {a}}}=a}$

• 12: Ley del complemento:

${\displaystyle {\bar {1}}=0}$

${\displaystyle {\bar {0}}=1}$

  \left .
     \begin{array}{l} \}
  \longrightarrow \quad
  a \le b

Estas cuatro condiciones son equivalentes y el cumplimiento de una de ellas supone el cumplimiento de las otras, en este caso es sencillo comprobarlas todas. Luego podemos decir que 0 antecede a 1 y lo denotamos:

${\displaystyle 0\leq 1}$

Si además sabemos que 0 y 1 son valores distintos:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}0\leq 1\\0\neq 1\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad 0<1}$

El valor binario 0 es menor que el valor binario 1.

Dado cualquier conjunto U, se llama conjunto potencia de U, al conjunto de todos los subconjuntos posibles de U y lo denotamos ${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}$.

A título de ejemplo podemos considerar:

${\displaystyle U=\{a,b,c,d,e,f\}\,}$

Que tiene como conjunto potencia:

${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)={\Big \{}\{\},\{a\},\{b\},\dots ,\{a,b\},\{a,c\},\dots ,\{a,b,c,d,e\},\dots ,U{\Big \}}}$

El conjunto vacio es el que no tiene elementos y se representa:

${\displaystyle \{\}\quad \equiv \quad \emptyset \quad \equiv \quad \varnothing }$

Podemos definir:

${\displaystyle {\mathfrak {B}}={\mathcal {P}}(U)}$

Y como es obvio:

${\displaystyle \varnothing =\varnothing }$

${\displaystyle U=U\;}$

• La operación unaria interna, que llamaremos complemento:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}{}^{C}:&{\mathcal {P}}(U)&\to &{\mathcal {P}}(U)\\&A&\to &B=A^{C}\end{array}}}$

En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento A de P(U), le asigna un B de P(U).

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {P}}(U)\,:\quad \exists !B\in {\mathcal {P}}(U)\;/\quad B=A^{C}}$

Para todo elemento A en P(U), se cumple que existe un único B en P(U), tal que B es el complemento de A.

Definiendo el complemento de un conjunto así:

${\displaystyle B=A^{C}\longrightarrow \quad \forall x\in B:\quad x\in U\;\land \;x\notin A}$

B es el complemento de A, si se cumple que para todo x que pertenezca a B, x pertenece a U y x no pertenece a A.

• La primera operación binaria la llamaremos unión:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\cup$ :&{\mathcal {P}}(U)\times {\mathcal {P}}(U)&\to &{\mathcal {P}}(U)\\&(A,B)&\to &C=A\cup B\end{array}}}

Con esta operación binaria interna definimos una aplicación que, a cada par ordenado (A, B) de P(U) por P(U), le asigna un C de P(U).

${\displaystyle \forall (A,B)\in {\mathcal {P}}(U)\times {\mathcal {P}}(U)\,:\quad \exists !C\in {\mathcal {P}}(U)\;/\quad C=A\cup B}$

Para todo par ordenado (A,B) en P(U) por P(U), se cumple que existe un único C en P(U), tal que C es la unión A y B.

Definiendo la unión de dos conjuntos como:

${\displaystyle C=A\cup B\longrightarrow \quad \forall x\in C:\quad x\in A\;\lor \;x\in B}$

El conjunto C es la unión de A y B, si para todo elemento x de C, se cumple que x es elemento de A o de B

• La segunda operación binaria la llamaremos intersección:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\cap$ :&{\mathcal {P}}(U)\times {\mathcal {P}}(U)&\to &{\mathcal {P}}(U)\\&(A,B)&\to &C=A\cap B\end{array}}}

Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (A, B) de P(U) por P(U), le asigna un C de P(U).

${\displaystyle \forall (A,B)\in {\mathcal {P}}(U)\times {\mathcal {P}}(U)\,:\quad \exists !C\in {\mathcal {P}}(U)\;/\quad C=A\cap B}$

Para todo par ordenado (A,B) en P(U) por P(U), se cumple que existe un único C en P(U), tal que C es la intersección A y B.

Definiendo la intersección de dos conjuntos como:

${\displaystyle C=A\cap B\longrightarrow \quad \forall x\in C:\quad x\in A\;\land \;x\in B}$

El conjunto C es la intersección de A y B, si para todo elemento x de C, se cumple que x es elemento de A y de B.

Con lo que podemos plantear: ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(U),{}^{C},\cup ,\cap )}$, para un U conocido, como álgebra de Boole si cumple las siguientes axiomas:

• 1a: La ley asociativa de la unión:

${\displaystyle \forall A,B,C\in {\mathcal {P}}(U):\;(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}$

• 1b: La ley asociativa de la intersección:

${\displaystyle \forall A,B,C\in {\mathcal {P}}(U):\;(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$

• 2a: Existencia del elemento neutro para la unión:

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {P}}(U):\;A\cup \varnothing =A}$

• 2b: Existencia del elemento neutro para la intersección:

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {P}}(U):\;A\cap U=A}$

• 3a: La ley conmutativa de la unión:

${\displaystyle \forall A,B\in {\mathcal {P}}(U):\;A\cup B=B\cup A}$

• 3b: La ley conmutativa de la intersección:

${\displaystyle \forall A,B\in {\mathcal {P}}(U):\;A\cap B=B\cap A}$

• 4a: Ley distributiva de la unión respecto de la intersección:

${\displaystyle \forall A,B,C\in {\mathcal {P}}(U):\;A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$

• 4b: Ley distributiva de la intersección respecto a la unión:

${\displaystyle \forall A,B,C\in {\mathcal {P}}(U):\;A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$

• 5a: Existe elemento complementario para la unión:

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {P}}(U);\;\exists A^{C}\in {\mathcal {P}}(U):\;A\cup A^{C}=U}$

• 5b: Existe elemento complementario para la intersección:

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {P}}(U);\;\exists A^{C}\in {\mathcal {P}}(U):\;A\cap A^{C}=\varnothing }$

Concluyendo que ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(U),{}^{C},\cup ,\cap )}$ es un álgebra de boole.

Partiendo de estos axiomas se puede demostrar los siguientes teoremas:

• 6a: Ley de idempotencia para la unión:

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {P}}(U):\;A\cup A=A}$

• 6b: Ley de idempotencia para la intersección:

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {P}}(U):\;A\cap A=A}$

• 7a: Ley de dominación para la unión:

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {P}}(U):\;A\cup U=U}$

• 7b: Ley de dominación para la intersección:

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {P}}(U):\;A\cap \varnothing =\varnothing }$

• 8a: Ley de identidad para la unión:

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {P}}(U):\;A\cup \varnothing =A}$

• 8b: Ley de identidad para la intersección:

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {P}}(U):\;A\cap U=A}$

• 9a: ley de absorción para la unión:

${\displaystyle \forall A,B\in {\mathcal {P}}(U):\;A\cup (A\cap B)=A}$

• 9a: ley de absorción para la intersección:

${\displaystyle \forall A,B\in {\mathcal {P}}(U):\;A\cap (A\cup B)=A}$

• 10a: Ley de De Morgan para la unión:

${\displaystyle \forall A,B\in {\mathcal {P}}(U):\;A\cup B={({A}^{C}\cap {B}^{C})}^{C}}$

• 10b: Ley de De Morgan para la inersección:

${\displaystyle \forall a,b\in {\mathcal {P}}(U):\;A\cap B={({A}^{C}\cup {B}^{C})}^{C}}$

• 11: Ley de involución:

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {P}}(U):\;{{A}^{C}}^{C}=A}$

• 12: Ley del complemento:

${\displaystyle {U}^{C}=\varnothing }$

${\displaystyle {\varnothing }^{C}=U}$

Dado ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(U),{}^{C},\cup ,\cap )}$ álgebra de Boole, podemos comprobar:

1. ${\displaystyle A\cup B=B}$
2. ${\displaystyle A\cap B=A}$
3. ${\displaystyle {A}^{C}\cup B=U}$
4. ${\displaystyle A\cap {B}^{C}=\varnothing }$

Para los conjuntos A y B que cumplen estas propiedades, podemos decir que A antecede a B, que en el caso de conjuntos se diría A es igual o un subconjunto de B y lo denotamos:

${\displaystyle A\subseteq B}$

Entendiéndose que A es igual o un subconjunto de B cuando:

${\displaystyle A\subseteq B\longrightarrow \quad \forall x\in A:\;x\in B}$

El conjunto A es igual o un subconjunto de B, si para todo elemento x que pertenezca a A, x pertenece a B.

También se puede comprobar:

${\displaystyle \forall B\in {\mathcal {P}}(U):\;{\begin{array}{|l}B\cup U=U\\B\cap U=B\\{B}^{C}\cup U=U\\B\cap {U}^{C}=\varnothing \end{array}}\longrightarrow \quad B\subseteq U}$

Para todo B de las partes de U, si se cumple que: la unión de B y U es U, la intersección de B y U es B, la unión del complemento de B y U es U, la intersección de B y el complemento de U es el conjunto vacío, entonces B es igual o un subconjunto de U.

Esta conclusión forma parte de la definición de las partes de U, pero se puede llegar a ella por el cumplimiento de una de las cuatro condiciones expuestas, como ya se mencionó, las cuatro condiciones son equivalentes y el cumplimiento de una de ellas implica el cumplimiento de las demás.

Aplicando el mismo razonamiento podemos ver:

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {P}}(U):\;{\begin{array}{|l}\varnothing \cup A=A\\\varnothing \cap A=\varnothing \\{\varnothing }^{C}\cup A=U\\\varnothing \cap {A}^{C}=\varnothing \end{array}}\longrightarrow \quad \varnothing \subseteq A}$

Siendo A un conjunto de las partes de U, llegando a la conclusión de que el conjunto vacío es igual o un subconjunto de A.

Una proposición, o un predicado, es un valor de verdad que puede expresarse de forma verbal o con expresiones o relaciones matemática o lógica, por ejemplo:

• 'Hoy es miércoles.'
• 'El edificio es alto.'
• 'El perro está ladrando.'

Son proposiciones expresadas verbalmente, y también lo son:

• 'x = 3'
• 'mcd(a, b) = 2n + 1'

Dado que cada una de ellas puede ser verdadera o falsa, las proposiciones suelen designarse con letra:

• p= 'Llueve'
• q= 'Llueve mucho'
• r= 'Llevo paraguas'
• s= 'La calle está mojada'

Las afirmaciones verdadero y falso también son proposiciones, designaremos con: ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ al conjunto de proposiciones, a fin de ver que la lógica de proposiciones es un álgebra de Boole, además consideraremos:

${\displaystyle \varnothing \longrightarrow \quad \bot =F=falso}$

${\displaystyle U\longrightarrow \quad \top =V=verdadero}$

• La operación unaria interna, que llamaremos negación:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\lnot$ :&{\mathfrak {B}}&\to &{\mathfrak {B}}\\&a&\to &b=\lnot a\end{array}}}

La operación unaria interna negación, definimos una aplicación que a cada proposición a, le asigna otra poposición b.

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}\,:\quad \exists !b\in {\mathfrak {B}}\;/\quad b=\lnot {a}}$

Para toda proposición a, se cumple que existe una única proposición b, tal que b es la negación de a.

• La primera operación binaria interna, que llamaremos disyunción:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\lor$ :&{\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}&\to &{\mathfrak {B}}\\&(a,b)&\to &c=a\lor b\end{array}}}

Con la operación disyunción, definimos una aplicación que a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

${\displaystyle \forall (a,b)\in {\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}\,:\quad \exists !c\in {\mathfrak {B}}\;/\quad c=a\lor b}$

Para todo par ordenado (a,b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de la disyunción de a y b.

• La segunda operación binaria interna, que llamaremos conjunción:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\land$ :&{\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}&\to &{\mathfrak {B}}\\&(a,b)&\to &c=a\land b\end{array}}}

Con la operación conjunción definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

${\displaystyle \forall (a,b)\in {\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}\,:\quad \exists !c\in {\mathfrak {B}}\;/\quad c=a\land b}$

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de la conjunción de a y b.

Así ${\displaystyle ({\mathfrak {B}},\lnot {},\lor ,\land )}$ es un álgebra de Boole al cumple los siguientes axiomas:

• 1a: La ley asociativa de la disyunción:

${\displaystyle \forall a,b,c\in {\mathfrak {B}}:\;(a\lor b)\lor c=a\lor (b\lor c)}$

• 1b: La ley asociativa de la conjunción:

${\displaystyle \forall a,b,c\in {\mathfrak {B}}:\;(a\land b)\land c=a\land (b\land c)}$

• 2a: Existencia del elemento neutro para la disyunción:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\lor F=a}$

• 2b: Existencia del elemento neutro para la conjunción:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\land V=a}$

• 3a: La ley conmutativa de la disyunción:

${\displaystyle \forall a,b\in {\mathfrak {B}}:\;a\lor b=b\lor a}$

• 3b: La ley conmutativa de la conjunción:

${\displaystyle \forall a,b\in {\mathfrak {B}}:\;a\land b=b\land a}$

• 4a: Ley distributiva de la disyunción respecto a la conjunción:

${\displaystyle \forall a,b,c\in {\mathfrak {B}}:\;a\lor (b\land c)=(a\lor b)\land (a\lor c)}$

• 4b: Ley distributiva de la conjunción respecto a la disyunción:

${\displaystyle \forall a,b,c\in {\mathfrak {B}}:\;a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)}$

• 5a: Existe elemento complementario para la disyunción:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}};\;\exists \lnot {a}\in {\mathfrak {B}}:\;a\lor \lnot {a}=V}$

• 5b: Existe elemento complementario para la conjunción:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}};\;\exists \lnot {a}\in {\mathfrak {B}}:\;a\land \lnot {a}=F}$

Luego ${\displaystyle ({\mathfrak {B}},\lnot {},\lor ,\land )}$ es álgebra de boole.

Partiendo de estos axiomas se puede demostrar los siguientes teoremas:

• 6a: Ley de idempotencia para la disyunción:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\lor a=a}$

• 6b: Ley de idempotencia para la conjunción:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\land a=a}$

• 7a: Ley de dominación para la disyunción:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\lor V=V}$

• 7b: Ley de dominación para la conjunción:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\land F=F}$

• 8a: Ley de identidad para la disyunción:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\lor F=a}$

• 8b: Ley de identidad para la conjunción:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\land V=a}$

• 9a: Ley de absorción para la disyunción:

${\displaystyle \forall a,b\in {\mathfrak {B}}:\;a\lor (a\land b)=a}$

• 9b: Ley de absorción para la conjunción:

${\displaystyle \forall a,b\in {\mathfrak {B}}:\;a\land (a\lor b)=a}$

• 10a: Ley de De Morgan para la disyunción:

${\displaystyle \forall a,b\in {\mathfrak {B}}:\;a\lor b=\lnot {(\lnot {a}\land \lnot {b})}}$

• 10b: Ley de De Morgan para la conjunción:

${\displaystyle \forall a,b\in {\mathfrak {B}}:\;a\land b=\lnot ({\lnot {a}\lor \lnot {b})}}$

• 11: Ley de involución:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;\lnot \lnot a=a}$

• 12: Ley de complemento:

${\displaystyle \lnot V=F}$

${\displaystyle \lnot F=V}$

Sabiendo que ${\displaystyle ({\mathfrak {B}},\lnot {},\lor ,\land )}$ es álgebra de Boole, se puede comprobar que:

1. ${\displaystyle a\lor b=b}$
2. ${\displaystyle a\land b=a}$
3. ${\displaystyle \lnot a\lor b=V}$
4. ${\displaystyle a\land \lnot b=F}$

Para las proposiciones: a, b que cumplen alguna de estas condiciones se puede afirmar que a antecede a b. Que en el caso de proposiciones o predicados se dice que a es tanto o más fuerte que b, o que b es más débil que a, y lo representamos:

${\displaystyle a\preccurlyeq b}$

Así por ejemplo dadas las proposiciones:

• a= Llueve mucho
• b= Llueve

podemos ver:

• ${\displaystyle a\lor b=b}$

Si: llueve mucho o llueve entonces llueve.

Si se da la circunstancia de cualesquiera de dos, que llueve mucho o llueve, claramente llueve en cualquier caso.

• ${\displaystyle a\land b=a}$

Si: llueve mucho y llueve entonces llueve mucho.

Si afirmamos que llueve mucho y que llueve, y se cumplen las dos circunstancias entonces es que llueve mucho.

• ${\displaystyle \lnot a\lor b=V}$

Si: no llueve mucho o llueve es verdadero.

No llueve mucho indica que puede que llueva poco o que no llueva, si no llueve mucho o llueve abarca todas las posibilidades, desde tiempo seco a muy lluvioso, luego la afirmación es verdadera en todo caso.

• ${\displaystyle a\land \lnot b=F}$

Si: llueve mucho y no llueve es falso.

Si afirmamos que llueve mucho y simultáneamente que no llueve, la afirmación es claramente falsa.

La afirmación más restrictiva es la más fuerte y la menos restrictiva la más débil, en este caso:

${\displaystyle llueve\;mucho\preccurlyeq llueve}$

La proposición llueve mucho es tanto o más fuerte que llueve, la afirmación llueve mucho es un caso particular o el mismo caso de llueve.

Si vemos las distintas operaciones por su número de argumentos podemos distinguir:

Las operaciones lógicas sin argumentos son:

Operación nularia
Positiva		Negativa
${\displaystyle \top }$	Tautología	${\displaystyle \bot }$	Contradicción

Las operaciones con solo un argumento son:

Operación unaria
Positiva		Negativa
${\displaystyle a\,}$	Afirmación lógica	${\displaystyle \neg a}$	Negación lógica

Las operaciones que necesitan dos argumentos son:

Operación binaria
Positiva		Negativa
${\displaystyle a\lor b}$	Disyunción lógica	${\displaystyle a\downarrow b}$	Disyunción opuesta
${\displaystyle a\land b}$	Conjunción lógica	${\displaystyle a\uparrow b}$	Conjunción opuesta
${\displaystyle a\to b}$	Implicación lógica	${\displaystyle a\not \rightarrow b}$	Adjunción lógica
${\displaystyle a\leftarrow b}$	Implicación opuesta	${\displaystyle a\not \leftarrow b}$	Adjunción opuesta
${\displaystyle a\leftrightarrow b}$	Bicondicional	${\displaystyle a\not \leftrightarrow b}$	Disyunción exclusiva

Una operación nularia es la que devuelve un valor sin necesidad de argumentos, podemos ver tautología y contradicción.

${\displaystyle {\begin{array}{|c||c|}\hline &\top \\\hline \hline &V\\\hline \end{array}}}$

La tautología presenta el valor verdadero sin necesidad de argumentos o independientemente de las variables sobre la que se calcule. En teoría de conjuntos corresponde al conjunto universal.

En lógica proposicional corresponde al valor: verdadero:

${\displaystyle {\begin{array}{ccll}\top$ :&\varnothing &\longrightarrow &\mathbb {U} \\&()&\longrightarrow &a=\top ()\equiv a=V\end{array}}}

En un circuito de conmutación corresponde a una conexión fija o puente cerrado.

${\displaystyle {\begin{array}{|c||c|}\hline &\bot \\\hline \hline &F\\\hline \end{array}}}$

La contradicción, por el contrario, presenta siempre el valor falso, sin necesitar argumentos o independientemente de los argumentos presentados. En teoría de conjuntos corresponde al conjunto vacío.

En lógica proposicional corresponde al valor: falso:

${\displaystyle {\begin{array}{ccll}\bot$ :&\varnothing &\longrightarrow &\mathbb {U} \\&()&\longrightarrow &a=\bot ()\equiv a=F\end{array}}}

En un circuito de conmutación, corresponde a la no conexión o puente abierto.

Una operación unaria es la que solo necesita un argumento para presentar un resultado, podemos ver dos operaciones unarias: identidad y negación.

${\displaystyle {\begin{array}{|c||c|}\hline a&a\\\hline \hline V&V\\F&F\\\hline \end{array}}}$

La operación identidad de una afirmación presenta el valor de la variable.

${\displaystyle {\begin{array}{ccll}id:&\mathbb {U} &\longrightarrow &\mathbb {U} \\&a&\longrightarrow &b=id(a)\equiv b=a\end{array}}}$