Área

En el siglo V a. C., Hipócrates de Quíos fue el primero en mostrar que el área de un círculo (la región encerrada por una circunferencia) es proporcional al cuadrado de su diámetro, como parte de su cuadratura de la lúnula,[6] pero no identificó la constante de proporcionalidad. Eudoxo de Cnido, también en el s. V a. C., encontró también que el área de un círculo es proporcional a su radio al cuadrado.[7]

Posteriormente, el Libro I de los Elementos de Euclides se ocupó de la igualdad de áreas entre figuras bidimensionales. El matemático Arquímedes usó las herramientas de la geometría euclidiana para mostrar que el área dentro de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuya base tiene la longitud de la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio del círculo, en su libro Sobre la medida del círculo. (La circunferencia es 2πr, y el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, lo que da como resultado el área πr² del disco). Arquímedes aproximó el valor de π (y por lo tanto el área de un círculo de radio unitario) con su método, en el que inscribió un triángulo regular en un círculo y anotó su área, luego duplicó el número de lados para dar un hexágono regular, luego duplicó repetidamente el número de lados a medida que el área del polígono se acercaba más y más a la del círculo (e hizo lo mismo con polígonos circunscritos).[5]

El científico suizo Johann Heinrich Lambert en 1761 demostró que π, la relación entre el área de un círculo y su radio al cuadrado, es irracional, lo que significa que no es igual al cociente de dos números enteros.[8] En 1794, el matemático francés Adrien-Marie Legendre demostró que π² es irracional; esto también prueba que π es irracional.[9] En 1882, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que π es trascendental (no es la solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales), lo que confirma una conjetura de Legendre y Euler.[8]^{: p. 196}

Herón de Alejandría encontró lo que se conoce como la fórmula de Herón para el área de un triángulo en términos de sus lados, y se puede encontrar una prueba en su libro Métrica, escrito alrededor del 60 d. C. Se ha sugerido que Arquímedes conocía la fórmula más de dos siglos antes,[10] y dado que Métrica es una colección del conocimiento matemático disponible en el mundo antiguo, es posible que la fórmula sea anterior a la referencia dada en ese trabajo.[11]

En 499 Aryabhata, un matemático-astrónomo de la época clásica de las matemáticas y la astronomía indias, expresó el área de un triángulo como la mitad de la base por la altura en el Aryabhatiya (sección 2.6).

Los chinos descubrieron una fórmula equivalente a la de Herón independientemente de los griegos. Fue publicado en 1247 en Shushu Jiuzhang («Tratado matemático en nueve secciones»), escrito por Qin Jiushao.

Para un polígono (simple) del que se conocen las coordenadas cartesianas ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ (i = 0, 1, ..., n − 1) de sus n vértices, el área viene dada por la fórmula del área de Gauss:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\Biggl \vert }\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}){\Biggr \vert }}$

cuando i = n − 1, entonces i + 1 se expresa como módulo n y por tanto se refiere a 0.

El área de este rectángulo es ${\displaystyle l\times a}$.

La fórmula más básica del área es la fórmula del área de un rectángulo. Dado un rectángulo con largo ${\displaystyle l}$ y anchura ${\displaystyle a}$, la fórmula del área es:

${\displaystyle A=l\times a}$ (rectángulo).

El área del rectángulo es la longitud multiplicada por la anchura. Como caso particular, ya que ${\displaystyle l=a}$ en el caso de un cuadrado, el área de un cuadrado con longitud de lado ${\displaystyle c}$ viene dada por la fórmula:

${\displaystyle A=c^{2}}$ (cuadrado).

La fórmula del área de un rectángulo se deduce directamente de las propiedades básicas del área y a veces se toma como definición o axioma. Por otra parte, si la geometría se desarrolla antes que la aritmética, esta fórmula puede utilizarse para definir la multiplicación de los números reales.

La mayoría de las fórmulas sencillas para calcular el área siguen el método de la disección. Consisten en cortar una forma en trozos cuyas áreas deben sumar el área de la forma original.

Un diagrama que muestra cómo un paralelogramo puede convertirse en un rectángulo.

Por ejemplo, cualquier paralelogramo puede subdividirse en un trapecio y un triángulo rectángulo, como se muestra en la figura. Si el triángulo se traslada al otro lado del trapecio, la figura resultante es un rectángulo. Se deduce que el área del paralelogramo es la misma que la del rectángulo:

${\displaystyle A=b\times h}$ (paralelogramo).

Un paralelogramo dividido en dos triángulos iguales.

Sin embargo, el mismo paralelogramo también puede cortarse a lo largo de una diagonal en dos triángulos congruentes, como se muestra en la figura. Se deduce que el área de cada triángulo es la mitad del área del paralelogramo:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$ (triángulo).

Se pueden utilizar argumentos similares para encontrar fórmulas de área para el trapecio y polígonos más complicados.

La fórmula del área de un círculo (más propiamente llamada área encerrada por un círculo o área de un disco) se basa en un método similar. Dado un círculo de radio ${\displaystyle r}$, es posible dividirlo en sectores, como se muestra en la figura. Cada sector es aproximadamente triangular, y los sectores pueden reorganizarse para formar un paralelogramo aproximado. La altura de este paralelogramo es ${\displaystyle r}$, y la anchura es la mitad de la circunferencia del círculo o ${\displaystyle \pi r}$. Por tanto, el área total del círculo es ${\displaystyle \pi r^{2}}$:

Un círculo puede dividirse en sectores reordenados para formar un paralelogramo aproximado.

${\displaystyle A=\pi r^{2}}$ (círculo).

Aunque la disección utilizada en esta fórmula es sólo aproximada, el error es cada vez menor a medida que el círculo se divide en más y más sectores. El límite de las áreas de los paralelogramos aproximados es exactamente ${\displaystyle \pi r^{2}}$, que es el área del círculo.

Este argumento es una simple aplicación de las ideas del cálculo. En la antigüedad, el método por agotamiento se utilizaba de forma similar para encontrar el área del círculo, y este método se reconoce ahora como un precursor del cálculo integral. Utilizando métodos modernos, el área de un círculo puede calcularse mediante una integral definida:

${\displaystyle A\;=\;2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}}$

La fórmula del área encerrada por una elipse está relacionada con la fórmula de un círculo; para una elipse con semieje mayor y semieje menor ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ la fórmula es:

${\displaystyle A=\pi xy}$

Arquímedes demostró que la área superficial de una esfera es exactamente cuatro veces el área de un disco plano del mismo radio, y el volumen encerrado por la esfera es exactamente 2/3 del volumen de un cilindro de la misma altura y radio.

Área del triángulo ${\displaystyle ={b\times h \over 2}}$

La mayoría de las fórmulas básicas para el área superficial se pueden obtener cortando las superficies y aplanándolas. Por ejemplo, si la superficie lateral del cilindro (o de cualquier prisma) se corta longitudinalmente, la superficie puede aplanarse hasta formar un rectángulo. Del mismo modo, si se hace un corte a lo largo de un cono, la superficie lateral se puede aplanar hasta convertirla en un sector de un círculo y calcular el área resultante.

La fórmula de la superficie de una esfera es más difícil de obtener: como una esfera tiene una curvatura gaussiana distinta de cero, no puede aplanarse. Arquímedes obtuvo por primera vez la fórmula del área superficial de una esfera en su obra Sobre la esfera y el cilindro. La fórmula es:

${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$ (esfera).

donde ${\displaystyle r}$ es el radio de la esfera. Al igual que con la fórmula del área de un círculo, cualquier derivación de esta fórmula utiliza intrínsecamente métodos similares al cálculo.

• Un triángulo: ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}Bh}$ (donde ${\displaystyle B}$ es un lado cualquiera, y ${\displaystyle h}$ es la distancia desde la línea en la que se encuentra ${\displaystyle B}$ hasta el otro vértice del triángulo). Esta fórmula puede utilizarse si se conoce la altura ${\displaystyle h}$. Si se conocen las longitudes de los tres lados, se puede utilizar lafórmula de Herón: ${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$ donde ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ son los lados del triángulo y ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ es el semiperimetro. Si se da un ángulo y dos lados incluidos, el área es ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\operatorname {sen}(C)}$ donde ${\displaystyle C}$ es el ángulo dado, y ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son sus lados incluidos. Si el triángulo se representa gráficamente en un plano de coordenadas, se puede utilizar una matriz y simplificar el valor absoluto de ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3})}$. Esta fórmula también se conoce como la fórmula de la lazada y es una forma fácil de resolver el área de un triángulo de coordenadas sustituyendo los 3 puntos ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$ y ${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$. La fórmula de la lazada también se puede utilizar para encontrar las áreas de otros polígonos cuando se conocen sus vértices. Otro enfoque para un triángulo de coordenadas es utilizar el cálculo para encontrar el área.

• Un polígono simple se construye sobre una cuadrícula de puntos de igual distancia (es decir, puntos con coordenadas enteras). Todos los vértices del polígono son puntos de la cuadrícula: ${\displaystyle i+{\frac {b}{2}}-1}$, donde ${\displaystyle i}$ es el número de puntos de la cuadrícula dentro del polígono y ${\displaystyle b}$ es el número de puntos del límite. Este resultado se conoce como teorema de Pick.

La integración puede medir el área bajo una curva, definida por ${\displaystyle f(x)}$, entre dos puntos (aquí ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$).

• El área entre una curva de valor positivo y el eje horizontal, medida entre dos valores ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ (${\displaystyle b}$ se define como el mayor de los dos valores) en el eje horizontal, viene dada por la integral de ${\displaystyle a}$ hasta ${\displaystyle b}$ de la función que representa la curva:

${\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

• El área entre las gráficas de dos funciones es igual a la integral de una función, f(x), menos la integral de la otra función, g(x):

${\displaystyle A=\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx,}$ donde ${\displaystyle f(x)}$ es la curva con el mayor valor de y.

• Un área delimitada por una función ${\displaystyle r=r(\theta )}$ expresada en coordenadas polares es:

${\displaystyle A={1 \over 2}\int r^{2}\,d\theta }$

• El área encerrada por una curva paramétrica ${\displaystyle {\vec {u}}(t)=(x(t),y(t))}$ con puntos extremos ${\displaystyle {\vec {u}}(t_{0})={\vec {u}}(t_{1})}$ está dada por las integrales de línea:
  

  El área entre dos gráficas se puede evaluar calculando la diferencia entre las integrales de las dos funciones.

${\displaystyle \oint _{t_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\oint _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}\,dt={1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\,dt}$

o el componente z de

${\displaystyle {1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {u}}\times {\dot {\vec {u}}}\,dt.}$

(Para más detalles, véase el teorema de Green § Área de una región con el teorema de Green.) Este es el principio del dispositivo mecánico del planímetro.

Para encontrar el área acotada entre dos funciones cuadráticas, restamos una de la otra para escribir la diferencia como:

${\displaystyle f(x)-g(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )}$

donde f(x) es el límite superior cuadrático y g(x) es el límite inferior cuadrático. Definir el discriminante de f(x)−g(x) como:

${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}$

Simplificando la fórmula de la integral entre las gráficas de dos funciones (como se indica en el apartado anterior) y utilizando la fórmula de Vieta, podemos obtener:

${\displaystyle A={\frac {\Delta {\sqrt {\Delta }}}{6a^{2}}}={\frac {a}{6}}(\beta -\alpha )^{3},\qquad a\neq 0.}$

Lo anterior sigue siendo válido si una de las funciones delimitadoras es lineal en lugar de cuadrática.

• Cono:[17] ${\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$, donde ${\displaystyle r}$ es el radio de la base circular y ${\displaystyle h}$ es la altura. Esto también se puede reescribir como ${\displaystyle \pi r^{2}+\pi rl}$[17] or ${\displaystyle \pi r(r+l)\,\!}$ donde ${\displaystyle r}$ es el radio y ${\displaystyle l}$ es la altura oblicua del cono. ${\displaystyle \pi r^{2}}$ es la superficie base mientras que ${\displaystyle \pi rl}$ es la superficie lateral del cono.
• cubo: ${\displaystyle 6a^{2}}$, donde ${\displaystyle a}$ es la longitud de una arista.
• cilindro: ${\displaystyle 2\pi r(r+h)}$, donde ${\displaystyle r}$ es el radio de una base y ${\displaystyle h}$ es la altura. ${\displaystyle 2\pi r}$ también se puede reescribir como ${\displaystyle \pi d}$, donde ${\displaystyle d}$ es el diámetro.
• prisma: ${\displaystyle 2B+Ph}$, donde ${\displaystyle B}$ es el área de una base, ${\displaystyle P}$ es el perímetro de una base y ${\displaystyle h}$ es la altura del prisma.
• pirámide: ${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}}$, donde ${\displaystyle B}$ es el área de la base, ${\displaystyle P}$ es el perímetro de la base y ${\displaystyle L}$ es la longitud de la inclinación..
• prisma rectangular: ${\displaystyle 2(\ell a+\ell h+ah)}$, donde ${\displaystyle l}$ es la longitud, ${\displaystyle a}$ es la anchura y ${\displaystyle h}$ es la altura.

Dada una curva simple cerrada en el plano euclídeo puede probarse que su longitud o perímetro del área encerrada y la propia área encerrada satisfacen la relación:

${\displaystyle {\frac {A}{L^{2}}}\leq {\frac {1}{4\pi }}}$

La igualdad se alcanza sólo para un círculo el resto de figuras y formas posibles cumplen la desigualdad estrictas

Otras fórmulas comunes para el área:

Forma	Fórmula	Variables
Rectángulo	${\displaystyle A=ab}$
Triángulo	${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh\,\!}$
Triángulo	${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\operatorname {sen}(\gamma )\,\!}$
Triángulo (fórmula de Herón)	${\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!}$	${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$
Triángulo isósceles	${\displaystyle A={\frac {b}{4}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}}$
Triángulo equilátero	${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\,\!}$
Rombo/deltoide	${\displaystyle A={\frac {1}{2}}de}$
Paralelogramo	${\displaystyle A=ah_{a}\,\!}$
Trapecio	${\displaystyle A={\frac {(a+c)h}{2}}\,\!}$
Hexágono regular	${\displaystyle A={\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}a^{2}\,\!}$
Octágono regular	${\displaystyle A=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\,\!}$
Polígono regular (de lados ${\displaystyle n}$ )	${\displaystyle A=n{\frac {ar}{2}}={\frac {pr}{2}}}$ ${\displaystyle \quad ={\tfrac {1}{4}}na^{2}\cot({\tfrac {\pi }{n}})}$ ${\displaystyle \quad =nr^{2}\tan({\tfrac {\pi }{n}})}$ ${\displaystyle \quad ={\tfrac {1}{4n}}p^{2}\cot({\tfrac {\pi }{n}})}$ ${\displaystyle \quad ={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\operatorname {sen}({\tfrac {2\pi }{n}})\,\!}$	${\displaystyle p=na\ }$ (perímetro) ${\displaystyle r={\tfrac {a}{2}}\cot({\tfrac {\pi }{n}}),}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{2}}=r\tan({\tfrac {\pi }{n}})=R\operatorname {sen}({\tfrac {\pi }{n}})}$ ${\displaystyle r:}$ radio de la circunferencia inscrita ${\displaystyle R:}$ radio de la circunferencia circunscrita
Círculo	${\displaystyle A=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}}$ (${\displaystyle d=2r:}$ diámetro)
Sector circular	${\displaystyle A={\frac {\theta }{2}}r^{2}={\frac {L\cdot r}{2}}\,\!}$
Elipse	${\displaystyle A=\pi ab\,\!}$
Integral	${\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\ f(x)\geq 0}$
	Área superficial
Esfera	${\displaystyle p=4\pi r^{2}=\pi d^{2}}$
Ortoedro	${\displaystyle p=2(ab+ac+bc)}$
Cilindro (incl. parte inferior y superior)	${\displaystyle A=2\pi r(r+h)}$
Cono (incl. la parte inferior)	${\displaystyle A=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})}$
Toro	${\displaystyle A=4\pi ^{2}\cdot R\cdot r}$
Superficie de revolución	${\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}\!f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\mathrm {d} x}$ (rotación alrededor del eje x)

Los cálculos anteriores muestran cómo encontrar las áreas de muchas formas comunes.

Las áreas de los polígonos irregulares (y, por tanto, arbitrarios) pueden calcularse mediante la «fórmula del área de Gauss» (fórmula de la lazada).

Según el Sistema Internacional de Unidades, las unidades cuadradas son las que se listan a continuación:[18]

Múltiplos

• Kilómetro cuadrado: 10⁶ metros cuadrados
• Hectómetro cuadrado o hectárea: 10⁴ metros cuadrados
• Decámetro cuadrado o área: 10² metros cuadrados

Unidad básica

• metro cuadrado: unidad derivada del SI
• Elenio: litro/centímetro
• Piornio: (candela·estereorradián)/lux

Submúltiplos

• Decímetro cuadrado: 10⁻² m² (una centésima de metro cuadrado)
• Centímetro cuadrado: 10⁻⁴ m² (una diezmilésima de metro cuadrado)
• Milímetro cuadrado: 10⁻⁶ m² (una millonésima de metro cuadrado)
• barn: 10⁻²⁸ m² (metro cuadrado)

En la escala atómica, el área se mide en unidades de barn.[19] Se usa comúnmente para describir el área transversal de interacción en física nuclear.[19]

Las unidades más usadas del sistema anglosajón son:[20]

• pulgada cuadrada
• pie cuadrado
• yarda cuadrada
• El acre también se usa comúnmente para medir áreas de tierra, donde 1 acre = 4840 yardas cuadradas = 43 560 pies cuadrados.[21]