0,999…

Una razón por la que los decimales infinitos son una ampliación necesaria de los decimales finitos, es que permite la representación de fracciones. Utilizando el algoritmo de la división, una simple división de enteros como 1/9, se convierte en el decimal periódico 0,111..., en el que los dígitos se repiten sin fin. Este ejemplo se utiliza para dar una rápida demostración de que 0,999... = 1.

La multiplicación de 9 por 1 da 9 en cada dígito, así 9 × 0,111... = 0,999..., y 9 × 1/9 = 1, lo que implica que 0,999... = 1:[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{9}}&=0,111\dots \\9\times {\frac {1}{9}}&=9\times 0,111\dots \\1&=0,999\dots \end{aligned}}}$

Una alternativa, también muy frecuente, es utilizar 1/3 = 0,333... y multiplicar por 3.

Cuando un número escrito en notación decimal se multiplica por 10, los dígitos no cambian pero el separador decimal se mueve un lugar a la derecha. Así, 10 × 0,999... = 9,999..., que es 9 unidades mayor que el número original. Para comprobarlo, basta restar 0,999... de 9,999..., los dígitos a la derecha del separador decimal se cancelan uno a uno, y el resultado es 9 − 9 = 0 para cada uno de estos dígitos:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0,999\ldots \\10x&=9,999\ldots \\10x-x&=9,999\ldots -0,999\ldots \\9x&=9\\x&=1\end{aligned}}}$

Aunque estas pruebas demuestran que 0,999... = 1, el pretender que «explican» la ecuación, depende de las expectativas de la audiencia atendida. En aritmética elemental, estas pruebas ayudan a explicar por qué 0,999... = 1, o por qué 0,333... < 0,34. En álgebra elemental, estas demostraciones explican por qué el método general de conversión entre fracciones y números decimales funciona. Pero las pruebas no aclaran la relación fundamental entre los decimales y los números a los cuales representan, donde subyace la pregunta de cómo dos decimales distintos pueden ser, de hecho, iguales.[3] William Byers argumenta que el estudiante que acepta que 0,999... = 1 basado en estas pruebas, pero que no ha resuelto la ambigüedad, no ha entendido realmente la ecuación.[4] Según Fred Richman, el primer argumento «toma su fuerza del hecho de que la mayor parte de la gente ha sido adoctrinada para aceptar la primera ecuación sin pensarlo».[5]

Una vez que se ha definido un esquema representativo, se puede utilizar para justificar las reglas de la aritmética decimal utilizada en estas demostraciones. Más aún, se puede demostrar directamente que los decimales 0,999... y 1,000... representan el mismo número real; esta construcción por definición se explica más abajo.

El desarrollo quizá más común de las expansiones decimales, es definirlas en términos de series infinitas. En general:

${\displaystyle b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots =b_{0}+b_{1}\left({\tfrac {1}{10}}\right)+b_{2}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+b_{3}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+b_{4}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{4}+\cdots .}$

Para 0,999... se puede aplicar el teorema de convergencia de las series geométricas:[6]

Si ${\displaystyle |r|<1\,\!}$ entonces ${\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}.}$

Dado que 0,999... es una suma de este tipo, con ${\displaystyle \scriptstyle r=1/10}$, el teorema resuelve rápidamente la cuestión:

${\displaystyle 0,999\ldots =9\left({\tfrac {1}{10}}\right)+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {9\left({\tfrac {1}{10}}\right)}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.\,}$

Esta demostración (de hecho, que 10 es igual a 9,999...) aparece ya en 1770 en Elementos de álgebra de Leonhard Euler.[7]

Límites: el intervalo unidad, incluyendo la sucesión de fracciones (en base 4): ${\displaystyle \scriptstyle 0,3~;~0,33~;~0,333~;~\ldots }$ que converge a 1.

La suma de series geométricas en sí, son un resultado anterior a Euler. Una demostración típica del siglo XVIII utiliza una manipulación término-a-término similar a la demostración algebraica antes expuesta; en 1811, el libro de texto de Bonnycastle Una Introducción al Álgebra utiliza una serie geométrica de este tipo para justificar la misma maniobra sobre 0,999....[8] Una reacción del siglo XIX contra tales métodos de adición liberales resultó en la definición que aún domina hoy: la suma de una serie se define como el límite de la sucesión de sus sumas parciales. Una demostración correspondiente del teorema calcula explícitamente esta sucesión; se puede encontrar en cualquier introducción al cálculo o el análisis basado en la demostración.[9]

Una sucesión (x₀, x₁, x₂, ...) tiene por límite x si la distancia |x − x_n| se vuelve arbitrariamente pequeña a medida que n aumenta. La afirmación misma 0,999... = 1 puede ser interpretada y demostrada como límite:[10]

${\displaystyle 0,999\ldots =\lim _{n\to \infty }0,\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1.\,}$

El último paso, que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=0}$, suele justificarse por el axioma de la propiedad arquimediana de los números reales. Esta actitud hacia ${\displaystyle \scriptstyle 0,999\ldots }$ basada en límites es por cierto más evocadora, aunque mucho menos precisa. Por ejemplo, en el libro de texto de 1846 The University Arithmetic se explica: «0,999 +, continuando al infinito = 1, porque cada 9 anexado acerca el valor aún más a 1»; el texto de 1895 Arithmetic for Schools dice «...cuando se toma una gran cantidad de 9s, la diferencia entre 1 y 0,99999... se vuelve inconcebiblemente pequeña».[11] Tales enfoques heurísticos suelen ser interpretados por los estudiantes como que 0,999... en sí es menor que 1.

Intervalos encajados: en base 3, 1 = 1,000... = 0,222...

La definición de series expuesta más arriba es una manera sencilla de definir un número real denotado por una expansión decimal. El proceso opuesto proporciona una visión complementaria: para un número real dado, definir la expansión decimal que lo denota.

Si un número real x pertenece al intervalo cerrado [0 ; 10] (i.e, es mayor o igual a cero y menor o igual a diez), se puede dividir este intervalo en diez partes que se superpongan únicamente en las extremidades: [0 ; 1], [1 ; 2], [2 ; 3], y así hasta [9 ; 10]. El número x debe pertenecer a alguno de ellos; si pertenece a [2 ;3], se anota el dígito «2» y se subdivide ese intervalo en [2 ; 2,1], [2,1 ; 2,2], ..., [2,8 ; 2,9], [2,9 ; 3]. Continuando este proceso se obtiene una sucesión infinita de intervalos encajados, rotulados por una sucesión infinita de dígitos b₀, b₁, b₂, b₃, ..., que se escriben

${\displaystyle x=b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}\dots }$

Con este formalismo, las identidades 1 = 0,999... y 1 = 1,000... reflejan, respectivamente, el hecho de que el 1 esté tanto en el intervalo [0 ; 1] como en [1 ; 2], por lo que se puede elegir cualquiera de los dos intervalos al escribir los dígitos. Para asegurarse de que esta notación no abuse del signo «=», se requiere de un método que permita reconstruir un único número real para cada decimal, como por ejemplo los límites; otras construcciones abordan el tema del ordenamiento.[12]

Una opción directa es el teorema de los intervalos encajados, que garantiza que, dada una sucesión de intervalos cerrados encajados, cuya longitud se puede hacer arbitrariamente pequeña, los intervalos contienen exactamente un número real en su intersección. Así, b₀,b₁b₂b₃... queda definido como el único número contenido en todos los intervalos [b₀ ; b₀ + 1], [b₀,b₁ ; b₀,b₁ + 0,1], y así sucesivamente. De este modo, 0,999... es el único número real que está en todos los intervalos [0 ; 1], [0,9 ; 1], [0,99 ; 1], y [0,99...9 ; 1] para cada cola finita de 9s. Puesto que el 1 es un elemento de cada uno de estos intervalos, 0,999... = 1.[13]

El teorema de los intervalos surge por lo general como una característica aún más fundamental de los números reales: la existencia de la mínima cota superior o supremo. Para explotar directamente estos objetos, se define b₀,b₁b₂b₃... como la mínima cota superior del conjunto de aproximantes {b₀ ; b₀,b₁ ; b₀,b₁b₂ ; ...}.[14] Se puede demostrar que esta definición (o la definición de los intervalos encajados) es consistente con el proceso de subdivisión, lo cual implica 0,999... = 1 nuevamente. Tom Apostol concluye,

El hecho de que un número real pueda tener dos representaciones decimales diferentes es meramente un reflejo del hecho de que dos conjuntos diferentes de números reales pueden tener el mismo supremo.[15]

En el método de las cortaduras de Dedekind, cada número real x se define como el conjunto infinito de todos los números racionales que son menores que x.[17] En particular, el número real 1 es el conjunto de todos los números racionales menores a 1.[18] Toda expansión decimal positiva determina fácilmente una cortadura de Dedekind: el conjunto de números racionales que son menores que alguna etapa de la expansión. Luego el número real 0,999... es el conjunto de números racionales r tales que r < 0, o r < 0,9, o r < 0,99, o r es menor que algún otro número de la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}1-\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{n}\end{aligned}}}$.[19]

Todo elemento de 0,999... es menor que 1, luego es un elemento del número real 1. Inversamente, un elemento de 1 es un número racional

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {a}{b}}<1\end{aligned}},}$

lo cual implica

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {a}{b}}<1-\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{b}\end{aligned}}.}$

Dado que 0,999... y 1 contienen los mismos números racionales, son el mismo conjunto: 0,999... = 1.

Esta definición de los números reales como cortaduras de Dedekind fue publicada por primera vez por Richard Dedekind en 1872.[20] El método descrito anteriormente para asignar un número real a cada expansión decimal es debido a una publicación de carácter explicativo intitulada: "Is 0.999 ... = 1?" de Fred Richman en Mathematics Magazine, dirigida a enseñantes de matemática de nivel intermedio y sus estudiantes.[21] Richman nota que al tomar las cortaduras de Dedekind en cualquier subconjunto denso de los números racionales se obtiene el mismo resultado; en particular, utiliza fracciones decimales, para las cuales la demostración es más inmediata. También nota que, típicamente, las definiciones permiten que { x : x < 1 } sea una cortadura pero no { x : x ≤ 1 } (o viceversa).

"¿Para qué hacer esto? Precisamente para eliminar la posibilidad de que existan números distintos 0,9* y 1. [...] Entonces vemos que en la definición tradicional de los números reales, la ecuación 0,9* = 1 está incorporada desde el comienzo."[22] Una modificación suplementaria del proceso lleva a una estructura diferente en donde no son iguales. Aunque consistente, muchas de las operaciones aritméticas usuales fallan, por ejemplo la fracción 1/3 no tiene representación; véase sistemas de numeración alternativos más abajo.

Otro método de construcción de los números reales utiliza el ordenamiento de los racionales de manera menos directa. Se define primero la distancia entre x e y como el valor absoluto |x − y|, donde el valor absoluto |z| se define como el máximo entre z y −z, por lo que nunca es negativo. Se define entonces a los números reales como la sucesión de racionales que cumplen la propiedad de las sucesiones de Cauchy con esta distancia, esto es: en la sucesión (x₀, x₁, x₂, ...), una aplicación de los números naturales en los racionales, para todo racional positivo δ existe N tal que |x_m − x_n| ≤ δ para todo m, n > N (la distancia entre los términos se vuelve menor que cualquier número racional positivo).[23]

Si (x_n) y (y_n) son dos sucesiones de Cauchy, entonces se definen como números reales iguales si la sucesión (x_n − y_n) tiene por límite 0. Truncamientos del número decimal b₀,b₁b₂b₃... generan una sucesión de racionales que es de Cauchy; de esta manera se define el valor real del número.[24] Luego, según este formalismo, la tarea es mostrar que la sucesión de números racionales

${\displaystyle \left(1-0,1-{9 \over 10},1-{99 \over 100},\dots \right)=\left(1,{1 \over 10},{1 \over 100},\dots \right)}$

tiene por límite 0. Considerando el n-ésimo término de la sucesión, para n=0,1,2,..., se debe mostrar entonces que

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=0.}$

Este límite se calcula fácilmente;[25] una demostración posible es la siguiente: para ε = a/b > 0 se puede tomar N = b en la definición de límite de una sucesión. Así, nuevamente 0,999... = 1.

La definición de los números reales como sucesiones de Cauchy fue publicada por primera vez de manera independiente por Eduard Heine y Georg Cantor, también en 1872.[20] El método de las expansiones decimales descrito anteriormente, incluyendo la prueba de que 0,999... = 1, sigue de cerca el trabajo de Griffiths & Hilton de 1970 "Un libro de texto comprensible de matemática clásica: una interpretación contemporánea". El libro está escrito específicamente para ofrecer una segunda mirada sobre conceptos familiares bajo una interpretación moderna.[26]

El hecho de que todos estos sistemas de numeración distintos provean múltiples representaciones para algunos números reales, se puede atribuir a una diferencia fundamental entre los números reales, en tanto que conjunto ordenado, y una colección de cadenas infinitas de símbolos ordenados lexicográficamente. De hecho, las siguientes dos propiedades dan cuenta de esta dificultad:

• Si un intervalo de los números reales se particiona en dos partes no vacías L y R tales que cada elemento de L sea (estrictamente) menor que todo elemento de R, entonces: o bien L contiene un elemento mayor, o bien R contiene un elemento menor, pero no ambos.
• La colección de cadenas infinitas de símbolos tomados de cualquier «alfabeto» finito, ordenado lexicográficamente, puede ser particionado en dos partes no vacías L y R, tales que cada elemento de L es menor que todo elemento de R, donde L contiene un elemento mayor y R contiene un elemento menor. De hecho, es suficiente con tomar dos subcadenas finitas (iniciales) p₁, p₂ de elementos de la colección, tales que difieran únicamente en el símbolo final, para el cual tienen valores sucesivos, y tomar para L el conjunto de todas las cadenas en la colección cuya subcadena correspondiente sea a lo más p₁, y para el residuo R, la cadena de la colección cuya subcadena correspondiente sea al menos p₂. Luego, L tiene un elemento mayor, comenzando por p₁ y eligiendo el mayor símbolo disponible en todas las posiciones siguientes, donde R tiene un elemento menor que se obtiene al seguir p₂ del menor símbolo en todas las posiciones.

El primer punto se deduce de propiedades básicas de los números reales: L tiene un supremo, R tiene un ínfimo, y se ve inmediatamente que son iguales; un número real estará en R o en L pero no en ambos, pues son conjuntos disjuntos. El segundo punto generaliza el par 0,999.../1,000... obtenido por p₁ = "0", p₂ = "1". De hecho, no es necesario utilizar el mismo alfabeto para todas las posiciones (de modo que por ejemplo los sistemas de raíz mixta pueden ser incluidos) o considerar la colección completa de cadenas posibles; los únicos puntos importantes son que, en cada posición, un conjunto finito de símbolos (que pueden depender incluso de los símbolos previos) pueda ser escogido (esto es necesario para asegurar elecciones máximas y mínimas), y que al hacer una elección válida para cualquier posición, el resultado debe ser una cadena infinita válida (de modo que no se permite «9» en cada posición si se prohíben sucesiones infinitas de «9»s). Bajo estas premisas, el argumento anterior muestra que una aplicación que preserva el orden de la colección de cadenas a un intervalo de números reales, no puede ser una biyección: o bien algunos números no corresponden a ninguna cadena, o bien algunos de ellos corresponden a más de una cadena.

Marko Petkovšek demostró que para todo sistema posicional que nombre a todos los números reales, el conjunto de reales que tendrá representación múltiple es siempre denso. Llama a esta demostración: «un ejercicio instructivo en topología punto-conjunto»; involucra conjuntos de valores posicionales vistos como espacios de Stone y el hecho de que su representación real viene dada por funciones continuas.[31]

Algunas de las demostraciones de que 0,999... = 1 se basan en la propiedad arquimediana de los números reales: no hay infinitesimales no nulos. Específicamente, la diferencia 1 − 0,999... debe ser menor que cualquier número racional positivo, por lo que debe ser un infinitesimal; dado que los números reales no contienen infinitesimales no nulos, se sigue que la diferencia debe ser cero, y por lo tanto los dos valores son el mismo.

Se pueden construir estructuras algebraicas ordenadas, matemáticamente coherentes, incluyendo varias alternativas a los números reales, que son no arquimedianas. Por ejemplo, los números duales incluyen un nuevo elemento infinitesimal ε, análogo a la unidad imaginaria i de los números complejos, excepto por el hecho que ε² = 0. La estructura que resulta es de utilidad en diferenciación automática. Los números duales se pueden dotar de un orden lexicográfico, en cuyo caso los múltiplos de ε se convierten en elementos no arquimedianos.[50] Hay que notar que, no obstante, en tanto que extensión de los números reales, los números duales aún conllevan 0,999... = 1. Hay que notar además que, si bien ε existe en los números duales, también ε/2, por lo que ε no es «el menor número dual positivo», y, de hecho, como en los reales, no existe tal elemento.

El análisis no estándar provee un sistema de numeración con todo un conjunto de infinitesimales (y sus inversos).[51] A. H. Lightstone desarrolla una expansión decimal para los números hiperreales en (0 ; 1)^∗.[52] Lightstone muestra cómo asociar a cada número una sucesión de dígitos,

${\displaystyle 0.d_{1}d_{2}d_{3}\;\dots \;d_{\infty }}$

indexados por los números hipernaturales. Aunque no discute directamente 0,999..., muestra que el número real 1/3 se representa por 0,333...;...333... como consecuencia del principio de transferencia. En particular, «0,333...;...000...» y «0,999...;...000...» no corresponden a ningún número.

Al mismo tiempo, el número hiperrreal ${\displaystyle \scriptstyle u_{H}\,=\,0,999\ldots$ ;\ldots 999000\ldots } con el último dígito 9 a un rango infinito hipernatural H, satisface la desigualdad estricta ${\displaystyle \scriptstyle u_{H}<1}$. Subsecuentemente, Karin Katz y Mikhail Katz proponen una evaluación alternativa de «0,999...»:

${\displaystyle 0.\underbrace {999\;\ldots \;} _{H}\;=1\;-\;{\frac {1}{10^{H}}}}$[53]

Todas estas interpretaciones sitúan «0,999...» infinitamente cerca del 1. Ian Stewart caracteriza esta interpretación como una forma «absolutamente razonable» de justificar rigurosamente la intuición de que «falta algo muy pequeño» entre 0,999... y 1....[54] Junto con Katz & Katz, Robert Ely también cuestiona la suposición de que las ideas de los estudiantes sobre el hecho de que ${\displaystyle \scriptstyle 0,999\ldots \,<\,1}$ provengan de intuiciones erróneas acerca de los números reales, y las interpreta como intuiciones «no estándar» que pueden ser preciadas dentro del aprendizaje del cálculo.[55][56]

La teoría de juegos combinatorios provee números alternativos a los reales; un ejemplo notorio es el Hackenbush[57] azul-negro infinito. En 1974, Elwyn Berlekamp describió la correspondencia entre las cadenas Hackenbush y la expansión binaria de los números reales, motivado por la idea de la compresión de datos. En este ejemplo, el valor de la cadena Hackenbush LRRLRLRL... es 0.010101₂... = ¹/₃, sin embargo, el valor de LRLLL... (correspondiente a 0.111...₂) es infinitesimalmente menor que 1. La diferencia entre los dos es el número surreal ¹/_ω, donde ω es el primer número ordinal infinito; la representación correspondiente es LRRRR... o 0.000...₂.[58]

Esto se da de hecho en la expansión binaria de muchos números racionales, donde el valor de los números es el mismo pero el árbol de los caminos binarias correspondientes son distintas. Por ejemplo, 0.10111...₂ = 0.11000...₂, son ambas iguales a 3/4, pero la primera representación corresponde al árbol del camino binario LRLRRR... mientras que la segunda corresponde al otro camino LRRLLL....

En los casos en que la operación de sustracción no esté definida, entonces 1 − 0,999... simplemente no existe, y las pruebas dadas más arriba dejan de ser válidas. Estructuras matemáticas en que la operación aditiva está definida pero no la operación de sustracción incluyen, por ejemplo, semigrupos conmutativos, monoides conmutativos y semianillos. Richman considera dos de estos sistemas, diseñados de manera tal que 0,999... < 1.

En primer lugar, Richman define un número decimal no negativo como una expansión decimal literal. Define el orden lexicográfico y la operación de adición, notando que 0,999... < 1 simplemente porque 0 < 1 en el lugar de las unidades, pero para cualquier x no terminal, se tiene 0,999... + x = 1 + x. Luego, una peculiaridad de los números decimales, es que la adición no siempre se puede cancelar; otra es que ningún número decimal corresponde a ¹⁄₃. Después de definir la multiplicación, los números decimales forman un semianillo conmutativo positivo, totalmente ordenado.[59]

En el proceso de definir la multiplicación, Richman también define otro sistema al que llama «corte D», que es el conjunto de cortaduras de Dedekind de las fracciones decimales. Ordinariamente, esta definición lleva a los números reales, pero para una fracción decimal d, Richman la altera ligeramente permitiendo tanto el corte (−∞, d ) como el corte (−∞, d ], al que llama «corte principal». El resultado es que no hay infinitesimales positivos en las cortaduras D, pero hay «un tipo de infinitesimal negativo» 0⁻ que no posee expansión decimal.

Richman concluye que 0,999... = 1 + 0⁻, mientras que la ecuación «0,999... + x = 1» no tiene solución.[60]

Los enteros 4-ádicos (puntos negros), incluyendo la secuencia (3, 33, 333, ...) converge a −1.
El 10-ádico análogo es ...999 = −1.

Al ser interrogados acerca de 0,999..., los novatos a menudo piensan que debe haber un «9 final», creen que 1 − 0,999... es un número positivo que pueden escribir como «0,000...1». Tenga o no tenga esto sentido, el objetivo intuitivo es claro: sumar 1 al último 9 en 0,999... acarrea todos los 9's a 0's y deja 1 en el lugar de las unidades. Entre otras razones, esta idea falla pues no hay un «último 9» en 0,999...[61] Sin embargo, existe un sistema que contiene una cola infinita de 9's incluyendo un último 9.

Los números p-ádicos es un sistema de numeración alternativo de interés en teoría de números. Como los números reales, los números p-ádicos pueden construirse a partir de los números racionales vía sucesiones de Cauchy; la construcción utiliza una métrica diferente en la cual 0 está más cerca de p, y mucho más cerca de pⁿ que de 1. Los números p-ádicos forman un campo para p primo y un anillo para otro p, incluyendo el 10. Luego, la aritmética es posible en los p-ádicos, y no hay infinitesimales.

En los números 10-ádicos, los análogos de las expansiones decimales corren hacia la izquierda. La expansión 10-ádica ...999 tiene un último 9, y no tiene un primer 9. Se puede sumar un 1 al lugar de las unidades, lo que deja detrás solo 0's después del acarreo: 1 + ...999 = ...000 = 0, y así ...999 = −1.[62] Otra derivación utiliza series geométricas. La serie infinita multiplicada por «...999» no converge en los números reales, pero converge en los 10-ádicos, lo que permite reutilizar la fórmula familiar:

${\displaystyle \ldots \;999=9+9(10)+9(10)^{2}+9(10)^{3}+\;\cdots ={\frac {9}{1-10}}=-1}$[63]

Una tercera derivación fue inventada por una estudiante desconfiada del argumento de su profesor basado en límites, para probar que 0,999... = 1; se inspiró de la prueba multiplicación por 10 en la dirección opuesta: si x = ...999 entonces 10x =  ...990, luego 10x = x − 9, por lo que x = −1 nuevamente.[62]

Como última extensión, dado que 0,999... = 1 (en los reales) y ...999 = −1 (en los 10-ádicos), entonces con «fe ciega y manipulación descarada de símbolos»[64] uno puede sumar las dos ecuaciones y llegar a ...999,999... = 0. Esta ecuación no tiene sentido ni como expansión 10-ádica ni como expansión decimal ordinaria, pero resulta ser significativa y verdadera si se desarrolla una teoría de «dobles-decimales» con, eventualmente, terminaciones repetitivas a la izquierda para representar un sistema muy conocido: los números reales.[65]

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