Anillo ordenado

Estrictamente,un anillo ordenado es un anillo conmutativo ${\displaystyle R}$ con un orden total ${\displaystyle \leq }$ tal que

• si ${\displaystyle a\leq b}$ y ${\displaystyle c\in R}$, entonces ${\displaystyle a+c\leq b+c}$

• si ${\displaystyle 0\leq a}$ y ${\displaystyle 0\leq b}$, entonces ${\displaystyle 0\leq ab}$

Análogamente con los números ordinarios, decimos que un elemento c de un anillo ordenado es positivo si ${\displaystyle 0\leq c,c\neq 0}$ y negativo si ${\displaystyle c\leq 0,c\neq 0}$. El conjunto de los elementos positivos en un anillo ${\displaystyle R}$ suele ser denotado por ${\displaystyle R_{+}}$.

Si ${\displaystyle a}$ es un elemento de un anillo ordenado ${\displaystyle R}$, entonces el valor absoluto de ${\displaystyle a}$, denotado por ${\displaystyle |a|}$, se define de la siguiente forma:

${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\mbox{si }}0\leq a\\-a,&{\mbox{en otro caso}}\end{cases}}}$

donde ${\displaystyle -a}$ es el opuesto de ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle 0}$ es el elemento neutro.

• Si ${\displaystyle a\leq b}$ y ${\displaystyle 0\leq c}$, entonces ${\displaystyle ac\leq bc.}$ Esta propiedad, a veces, se utiliza para definir anillos ordenados en lugar de la segunda propiedad en la definición de más arriba.
• Si ${\displaystyle a,b\in R}$, entonces ${\displaystyle |ab|=|a||b|.}$
• Un anillo ordenado no trivial es infinito.
• Si ${\displaystyle a\in R}$, entonces o ${\displaystyle a\in R_{+}}$, o ${\displaystyle -a\in R_{+}}$, o ${\displaystyle a=0\,.}$ Esta propiedad se deriva del hecho que los anillos ordenados son abelianos, con orden total respecto la suma.
• Un anillo ordenado ${\displaystyle R}$ no tiene divisores de cero si y solo si ${\displaystyle R_{+}}$ es cerrado respecto el producto, es decir, ${\displaystyle ab}$ es positivo si ambos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son positivos.

• Los números enteros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, racionales ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ y reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$ son todos ellos anillos ordendos, los dos últimos además cuerpos ordenados.
• Sin embargo, los números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ no forman un anillo ordenado, por lo que se puede clasificar a los números complejos diferentes de cero en positivos o negativos.

• Ordered ring en PlanetMath.