Axiomas de Peano

Los símbolos que designan los conceptos primitivos son ${\displaystyle ~N,1,x'}$.

El símbolo N designa un predicado monádico que se lee «ser un número natural». El símbolo 1, por su parte, designa una constante que pretende representar al número uno. Y el símbolo x', finalmente, designa una función sobre x que devuelve al sucesor de x. A esta función muchas veces se la escribe S(x). Finalmente, la metavariable ${\displaystyle \phi }$ representa una fórmula cualquiera de la aritmética, y ${\displaystyle \phi (x)}$ representa una fórmula cualquiera que tenga a x como variable libre.

Los cinco axiomas de Peano son:

${\displaystyle A_{1}:N(1)\,}$

${\displaystyle A_{2}:\forall x(N(x)\to N(x'))}$

${\displaystyle A_{3}:\neg \exists x(N(x)\land 1=x')}$

${\displaystyle A_{4}:\forall x\forall y((N(x)\land N(y)\land x'=y')\to x=y)}$

Del quinto axioma existen dos variantes. El primero está formulado en lógica de primer orden, y es en realidad un esquema de axioma. El segundo sí es un axioma, pero está formulado en lógica de segundo orden.

${\displaystyle A_{5}:{\Big (}\phi (1)\land \forall x(\phi (x)\to \phi (x')){\Big )}\to \forall x\ \phi (x)}$

${\displaystyle A_{5}':\forall \phi {\bigg (}{\Big (}\phi (1)\land \forall x(\phi (x)\to \phi (x')){\Big )}\to \forall x\ \phi (x){\bigg )}}$

Además de los cinco axiomas, la aritmética de Peano recurre a dos definiciones (de la suma y de la multiplicación), que a veces se presentan como axiomas. A continuación se incluyen todas las variantes:

Definiciones de suma y multiplicación:

${\displaystyle D_{1}:\,}$	${\displaystyle n+1=n'\,}$
	${\displaystyle n+m'=(n+m)'\,}$

${\displaystyle D_{2}:\,}$	${\displaystyle n\times 1=n\,}$
	${\displaystyle n\times m'=(n\times m)+n\,}$

Axiomas de la suma y de la multiplicación:

${\displaystyle A_{6}:\,}$	${\displaystyle \forall n(n+1=n')}$
	${\displaystyle \forall n\forall m(n+m'=(n+m)')}$

${\displaystyle A_{7}:\,}$	${\displaystyle \forall n(n\times 1=n)\,}$
	${\displaystyle \forall n\forall m(n\times m'=(n\times m)+n)\,}$

Los símbolos que designan los conceptos primitivos son ${\displaystyle ~N,0,x'}$.

Axiomas:

${\displaystyle A_{1}:N(0)\,}$

${\displaystyle A_{2}:\forall x(N(x)\to N(x'))}$

${\displaystyle A_{3}:\neg \exists x(N(x)\land 0=x')}$

${\displaystyle A_{4}:\forall x\forall y((N(x)\land N(y)\land x'=y')\to x=y)}$

${\displaystyle A_{5}:{\Big (}\phi (0)\land \forall x(\phi (x)\to \phi (x')){\Big )}\to \forall x\ \phi (x)}$

${\displaystyle A_{5}':\forall \phi {\bigg (}\phi (0)\land \forall x{\Big (}(\phi (x)\to \phi (x'))\to \forall x\ \phi (x){\Big )}{\bigg )}}$

Cambiar los axiomas para que incluyan al 0 es solo una cuestión de cambiar toda aparición del 1 por el 0. Sin embargo, en las definiciones (o los axiomas) de suma y de multiplicación hay que hacer algunos leves ajustes más:

Definiciones de suma y multiplicación:

${\displaystyle D_{1}:\,}$	${\displaystyle n+0=n\,}$
	${\displaystyle n+m'=(n+m)'\,}$

${\displaystyle D_{2}:\,}$	${\displaystyle n\times 0=0\,}$
	${\displaystyle n\times m'=(n\times m)+n\,}$

Axiomas de la suma y de la multiplicación:

${\displaystyle A_{6}:\,}$	${\displaystyle \forall n(n+0=n)}$
	${\displaystyle \forall n\forall m(n+m'=(n+m)')}$

${\displaystyle A_{7}:\,}$	${\displaystyle \forall n(n\times 0=0)\,}$
	${\displaystyle \forall n\forall m(n\times m'=(n\times m)+n)\,}$

• Peano, Giuseppe (marzo de 1979). Julián Velarde Lombraña, ed. Los principios de la aritmética: expuestos según un nuevo método. Traducido por Julián Velarde Lombraña (1ª edición). Pentalfa Ediciones. ISBN 978-84-85422-02-9.
• Agüero Macken, Eduardo (2004). Giuseppe Peano y la utopía del lenguaje (1ª edición). UNED EDICIONES. ISBN 84-362-4941-0.