B-spline

Cuando la B-spline es uniforme, las B-splines básicas para un determinado grado n son solo copias cambiadas de una a otra. Una alternativa no recursiva de la definición de la B-splines m-n+1 básica es

${\displaystyle b_{j,n}(t)=b_{n}(t-t_{j}),\qquad \;j=0,\ldots ,m-n-1}$

con

${\displaystyle b_{n}(t):={\frac {n+1}{n}}\sum _{i=0}^{n+1}\omega _{i,n}(t-t_{i})_{+}^{n}\,\;}$

y

${\displaystyle \omega _{i,n}:=\prod _{j=0,j\neq i}^{n+1}{\frac {1}{t_{j}-t_{i}}}\,\;}$

dónde

${\displaystyle (t-t_{i})_{+}^{n}\,\;}$

es la función de potencia truncada definida como

${\displaystyle (t-t_{i})_{+}^{n}=\left\{{\begin{matrix}0&{\text{si}}\quad t<t_{i}\\(t-t_{i})^{n}&{\text{si}}\quad t\geq t_{i}\end{matrix}}\right.}$

Si se define B₀ como la función característica de ${\displaystyle [-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}]}$, y B_k recursivamente como el producto convolución

${\displaystyle B_{k}:=B_{k-1}*B_{0},~k=1,2,\dots }$

entonces B_k se llaman B-splines cardinales (centradas). Esta definición se remonta a Schoenberg.

B_k tiene soporte compacto ${\displaystyle [-{\tfrac {k+1}{2}},{\tfrac {k+1}{2}}]}$ y es una función impar. Como ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$ las B-splines cardinales normalizadas tienden a la función de Gauss.[5]

La B-spline constante es la spline más simple. Se define en un solo tramo de nodo y ni siquiera es continua en los nodos. Es solo la función indicador de los diferentes tramos de nodo.

${\displaystyle b_{j,0}(t)=1_{[t_{j},t_{j+1})}=\left\{{\begin{matrix}1&{\text{si}}\quad t_{j}\leq t<t_{j+1}\\0&{\text{resto}}\end{matrix}}\right.}$

La B-spline lineal se define en dos tramos de nodo consecutivos y es continua sobre los nodos, pero no diferenciable.

${\displaystyle b_{j,1}(t)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {t-t_{j}}{t_{j+1}-t_{j}}}&{\text{si}}\quad t_{j}\leq t<t_{j+1}\\{\frac {t_{j+2}-t}{t_{j+2}-t_{j+1}}}&{\text{si}}\quad t_{j+1}\leq t<t_{j+2}\\0&{\text{resto}}\end{matrix}}\right.}$

Las B-splines cuadráticas con nodo-vector uniforme es una forma común de B-spline. La función base puede ser calculada fácilmente , y es igual para cada segmento, en este caso.

${\displaystyle b_{j,2}(t)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(1-t)^{2}\\-t^{2}+t+{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}t^{2}\end{cases}}}$

Puesto en forma de matriz, esto es:[6]

${\displaystyle \mathbf {S} _{i}(t)={\begin{bmatrix}t^{2}&t&1\end{bmatrix}}{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&-2&1\\-2&2&0\\1&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{i-1}\\\mathbf {p} _{i}\\\mathbf {p} _{i+1}\end{bmatrix}}}$ para ${\displaystyle t\in [0,1],i=1,2\ldots m-1}$

Una formulación B-spline para un solo segmento puede ser escrita como:

${\displaystyle \mathbf {S} _{i}(t)=\sum _{k=0}^{3}\mathbf {P} _{i-3+k}b_{i-3+k,3}(t){\mbox{$ ; }}\ t\in [0,1]}

donde S_i es el imo segmento B-spline y P es el conjunto de puntos de control, el segmento i y k es el índice del punto de control local. Un conjunto de puntos de control sería P${\displaystyle P_{i}^{w}=(w_{i}x_{i},w_{i}y_{i},w_{i}z_{i},w_{i})}$ donde el ${\displaystyle w_{i}}$ es el peso, tirando de la curva hacia el punto de control ${\displaystyle P_{i}}$ mientras que aumenta o se desplazan fuera de la curva, a la vez que disminuye.

Toda una serie de segmentos, las curvas m-2 (${\displaystyle S_{3},S_{4},...,S_{m}}$) definidas por m+1 puntos de control (${\displaystyle P_{0},P_{1},...,P_{m},m\geq 3}$) como un B-spline en t, se definiría como:

${\displaystyle \mathbf {S} (t)=\sum _{i=0}^{m-1}\mathbf {P} _{i}b_{i,3}(t)}$

donde i es el número de puntos de control y t es un parámetro global dados los valores de los nodos. Esta formulación expresa una curva B-spline como una combinación lineal de funciones B-spline básicas, de ahí el nombre.

Hay dos tipos de B-spline - uniforme y no uniforme. Una B-spline no uniforme es una curva donde los intervalos entre los puntos sucesivos de control no son, o no necesariamente son, iguales (el vector de nodos de espacios de nodo interiores no son iguales). Una forma común es donde los intervalos se reducen sucesivamente a cero, interpolando los puntos de control.

La B-spline cúbica con vector-nodo uniforme es la forma más usual de B-spline. La función base puede ser fácilmente calculada, y es igual para cada segmento, en este caso. Puesto en forma de matriz, esto es:

${\displaystyle \mathbf {S} _{i}(t)={\begin{bmatrix}t^{3}&t^{2}&t&1\end{bmatrix}}{\frac {1}{6}}{\begin{bmatrix}-1&3&-3&1\\3&-6&3&0\\-3&0&3&0\\1&4&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{i-1}\\\mathbf {p} _{i}\\\mathbf {p} _{i+1}\\\mathbf {p} _{i+2}\end{bmatrix}}}$ para ${\displaystyle t\in [0,1].}$