Birrefringencia

Birrefringencia en poliestireno

Con más generalidad, la birrefringencia se puede definir considerando una permitividad dieléctrica y un índice de refracción tensoriales. Considérese una onda plana que se propaga en un medio anisotrópico, con un tensor de permitividad ε, con un índice de refracción tensorial n definido por ${\displaystyle n\cdot n=\epsilon }$. Si la onda tiene un campo eléctrico vectorial de la forma:

${\displaystyle \mathbf {E=E_{0}} \exp \left[i(\mathbf {k\cdot r} -\omega t)\right]\,}$

donde r es el vector de posición y t es el tiempo, el vector de ondas k y la frecuencia angular deben satisfacer las ecuaciones de Maxwell en el medio, que conducen a la ecuación:

${\displaystyle -\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}(\mathbf {\epsilon } \cdot {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}})}$

donde c es la velocidad de la luz en el vacío. Sustituyendo el campo eléctrico en esta ecuación se llega a:

${\displaystyle |\mathbf {k} |^{2}\mathbf {E_{0}} -\mathbf {(k\cdot E_{0})k} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {\epsilon } \cdot \mathbf {E_{0}} )}$

Es frecuente emplear el nombre vector de desplazamiento dieléctrico para el producto matricial ${\displaystyle \mathbf {D} =(\epsilon \cdot \mathbf {E} )}$. Así pues la birrefringencia trata sobre las relaciones lineales generales entre estos dos vectores en medios anisotrópicos.

Para encontrar los valores permitidos de k, se puede despejar E₀ de la última ecuación. Una manera es escribir esta última en coordenadas cartesianas, con los ejes cartesianos en la dirección de los autovectores de ε, así que:

${\displaystyle \mathbf {\epsilon } ={\begin{bmatrix}n_{x}^{2}&0&0\\0&n_{y}^{2}&0\\0&0&n_{z}^{2}\end{bmatrix}}\,}$

De este modo, la ecuación se transforma en:

${\displaystyle (-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2}}{c^{2}}})E_{x}+k_{x}k_{y}E_{y}+k_{x}k_{z}E_{z}=0}$

${\displaystyle k_{x}k_{y}E_{x}+(-k_{x}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{y}^{2}}{c^{2}}})E_{y}+k_{y}k_{z}E_{z}=0}$

${\displaystyle k_{x}k_{z}E_{x}+k_{y}k_{z}E_{y}+(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{z}^{2}}{c^{2}}})E_{z}=0}$

donde E_x, E_y, E_z, k_x, k_y y k_z son las componentes cartesianas de E₀ y k respectivamente. Se trata de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales en E_x, E_y y E_z que solo puede tener solución no trivial si el determinante asociado es cero:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}(-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2}}{c^{2}}})&k_{x}k_{y}&k_{x}k_{z}\\k_{x}k_{y}&(-k_{x}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{y}^{2}}{c^{2}}})&k_{y}k_{z}\\k_{x}k_{z}&k_{y}k_{z}&(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{z}^{2}}{c^{2}}})\end{bmatrix}}=0\,}$

Desarrollando el determinante y reagrupando se puede obtener:

${\displaystyle {\frac {\omega ^{4}}{c^{4}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{x}^{2}+k_{z}^{2}}{n_{y}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}}}\right)+\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2}n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{x}^{2}n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}n_{y}^{2}}}\right)(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2})=0\,}$

En un material uniaxial, dos de los índices de refracción coinciden; por ejemplo: n_x=n_y=n_o y n_z=n_e. En este caso la ecuación anterior se simplifica:

${\displaystyle \left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{o}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{o}^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{o}^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{e}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{e}^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{o}^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)=0\,.}$

Cada uno de los dos factores de esta ecuación define una superficie en el espacio de vectores k — la superficie de vectores de ondas. El primero define una esfera y el segundo un elipsoide de revolución. Por tanto, para cada dirección del vector de ondas existen dos vectores de onda posibles. Los valores de k sobre la esfera corresponden a los rayos ordinarios, mientras que los valores del elipsoide corresponden a los rayos extraordinarios.

Para un material biaxial la ecuación no se puede simplificar de este modo, y las dos superficies de vectores de ondas son más complicadas.[3]

• Ley de Snell
• Efecto Kerr y efecto Pockels (Efectos electroópticos)
• Efecto Faraday (Efecto magnetoóptico)

• Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Birrefringencia.