Cicloide

Si la cicloide se genera mediante una circunferencia de radio r que se apoya sobre el eje de abscisas en el origen, su descripción en forma paramétrica viene dada por:

${\displaystyle {\begin{cases}x=r\left(t-\operatorname {sen} {t}\right)\\y=r\left(1-\cos {t}\right)\end{cases}}}$

donde ${\displaystyle t}$ es un parámetro real, correspondiente al ángulo girado por el círculo rodante. Para un ${\displaystyle t}$ dado, el centro del círculo está en ${\displaystyle x=rt}$, ${\displaystyle y=r}$. Siendo la variable ${\displaystyle y}$ función de la variable ${\displaystyle x}$, esta cicloide tiene un período de ${\displaystyle 2\pi r}$, y una altura de ${\displaystyle 2r}$.

Si se despeja la variable ${\displaystyle t}$ en la ecuación paramétrica, se obtendrá la forma cartesiana:

${\displaystyle x=r\arccos {\left(1-{\frac {y}{r}}\right)}-{\sqrt {2ry-y^{2}}}}$,

donde el único parámetro de forma es el radio ${\displaystyle r}$ de la circunferencia generatriz. Esta fórmula es válida para la variable ${\displaystyle y}$ en el intervalo [${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 2r}$], y proporciona solo la mitad del primer bucle de la cicloide.

Si se desea emplear el n-ésimo semi-bucle de la cicloide, se puede utilizar la siguiente ecuación:

${\displaystyle x=r\pi \left[n+1/2\left[\left(-1\right)^{n}-1\right]\right]-(-1)^{n}\left[r\arccos {\left(1-{\frac {y}{r}}\right)}-{\sqrt {2ry-y^{2}}}\right]}$

La ecuación en forma intrínseca es:

${\displaystyle \rho ^{2}+s^{2}=16r^{2}\,}$

donde ${\displaystyle \rho }$ representa su radio de curvatura en cada punto, y ${\displaystyle s}$ la correspondiente longitud de arco desde el origen.

El ángulo entre la tangente a la cicloide, en cualquier punto de ella, y la recta directriz es igual al ángulo complementario de la mitad del ángulo de giro del radio del círculo generador.

El ángulo entre la normal a la cicloide (en cualquiera de sus puntos) y la recta directriz es igual a la mitad del «ángulo principal».

La tangente a la cicloide pasa por el punto «superior» del círculo generador.

El seno del ángulo formado por la tangente a la cicloide en el punto ${\displaystyle H}$ y la vertical , es proporcional a la raíz cuadrada de la «altura» del punto ${\displaystyle H}$.

Sean la recta ${\displaystyle CD}$ y un punto ${\displaystyle H}$. La única curva que satisface las condiciones de la proposición ángulo tangente-vertical, y pasa por el punto ${\displaystyle H}$ es la cicloide.[16]

Demostración de las propiedades de la evoluta de una cicloide

Hay varias formas de demostrar esta afirmación. La que se presenta aquí utiliza la definición física de cicloide y la propiedad cinemática de que la velocidad instantánea de un punto es tangente a su trayectoria. En referencia a la imagen de la derecha, ${\displaystyle P_{1}}$ y ${\displaystyle P_{2}}$ son dos puntos tangentes que pertenecen a dos círculos rodantes. Los dos círculos comienzan a rodar con la misma velocidad y en la misma dirección sin deslizar. ${\displaystyle P_{1}}$ y ${\displaystyle P_{2}}$ comienzan a dibujar dos arcos de cicloide como en la imagen. Considerando la línea que conecta ${\displaystyle P_{1}}$ y ${\displaystyle P_{2}}$ en un instante arbitrario (línea roja), es posible demostrar que "la línea es en cualquier momento tangente en ${\displaystyle P_{2}}$ al arco inferior y ortogonal a la tangente en ${\displaystyle P_{1}}$ del arco superior". Según esto:

• ${\displaystyle P_{1},Q,P_{2}}$ están alineados porque ${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}={\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$ (con igual velocidad de rotación) y por lo tanto ${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}={\widehat {O_{2}QP_{2}}}}$. Dado que ${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{2}}}+{\widehat {O_{2}QP_{2}}}=\pi }$ por construcción, se tiene que ${\displaystyle {\widehat {P_{1}QP_{2}}}=\pi }$.
• Si ${\displaystyle A}$ es el punto de encuentro entre la perpendicular de ${\displaystyle P_{1}}$ a la recta de ${\displaystyle O_{1}O_{2}}$ y la tangente al círculo de ${\displaystyle P2}$, entonces el triángulo ${\displaystyle P_{1}AP_{2}}$ es isósceles porque ${\displaystyle {\widehat {QP_{2}A}}={\frac {1}{2}}{\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$ y ${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\frac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}R}}=}$ (es fácil demostrar la construcción visualmente) ${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}P_{1}}}}$. Para la igualdad mencionada anteriormente entre ${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}}$ y ${\displaystyle {\widehat {QO_{2}P_{2}}}}$, entonces ${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\widehat {QP_{2}A}}}$ y ${\displaystyle P_{1}AP_{2}}$ son isósceles.
• Trazando desde ${\displaystyle P_{2}}$ la recta ortogonal a ${\displaystyle O_{1}O_{2}}$, desde ${\displaystyle P_{1}}$ la tangente hasta el círculo superior y llamando ${\displaystyle B}$ al punto de unión, es fácil ver que ${\displaystyle P_{1}AP_{2}B}$ es un rombo, usando los teoremas concernientes a los ángulos entre líneas paralelas
• Ahora, considérese la velocidad ${\displaystyle V_{2}}$ de ${\displaystyle P_{2}}$. Se puede ver como la suma de sus dos componentes, la velocidad de rodadura ${\displaystyle V_{a}}$ y la velocidad de deriva ${\displaystyle V_{d}}$. Ambas velocidades son iguales en módulo porque los círculos ruedan sin deslizamiento. ${\displaystyle V_{d}}$ es paralelo a ${\displaystyle P_{1}A}$ y ${\displaystyle V_{a}}$ es tangente al círculo inferior en ${\displaystyle P_{2}}$, y por lo tanto, es paralelo a ${\displaystyle P_{2}A}$. La velocidad total de ${\displaystyle P_{2},V_{2}}$ es paralela a ${\displaystyle P_{2}P_{1}}$ porque ambas son las diagonales de dos rombos con lados paralelos y tiene en común con ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ el punto de contacto ${\displaystyle P_{2}}$. Se deduce que el vector de velocidad ${\displaystyle V_{2}}$ se encuentra en la prolongación de ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$. Debido a que ${\displaystyle V_{2}}$ es tangente al arco de cicloide en ${\displaystyle P_{2}}$, se deduce que también que ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ es tangente.
• Análogamente, se puede demostrar fácilmente que ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ es ortogonal a ${\displaystyle V_{1}}$ (la otra diagonal del rombo).
• El extremo de un hilo inextensible inicialmente ceñido sobre el medio arco de cicloide inferior y limitado al círculo superior en ${\displaystyle P_{1}}$, seguirá al punto en su trayectoria sin cambiar su longitud porque la velocidad del extremo es en cada momento ortogonal al hilo (sin estiramiento ni compresión). El hilo será al mismo tiempo tangente en ${\displaystyle P_{2}}$ al arco inferior, debido a la tensión y a las condiciones consideradas. Si no fuera tangente, habría una discontinuidad en ${\displaystyle P_{2}}$ y, en consecuencia, aparecerían fuerzas de tensión desequilibradas.

La longitud de la cicloide como consecuencia de la propiedad de su evoluta

La longitud del arco S de una cicloide viene dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left({\frac {\operatorname {d} \!x}{\operatorname {d} \!t}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} \!y}{\operatorname {d} \!t}}\right)^{2}}}\operatorname {d} \!t\\&=\int _{0}^{2\pi }r{\sqrt {2-2\cos(t)}}\,\operatorname {d} \!t\\&=2\,r\int _{0}^{2\pi }\operatorname {sen} {\frac {t}{2}}\ \operatorname {d} \!t\\&=-4\,r\left[\cos {\frac {t}{2}}\,\right]_{0}^{2\pi }\\&=8\,r.\end{aligned}}}$

Otra forma inmediata de calcular la longitud de la cicloide dadas las propiedades de su evoluta es considerar que cuando un cable que describe una evoluta ha sido completamente desenrollado, se extiende a lo largo de dos diámetros, una longitud de 4r. Debido a que el cable no cambia de longitud mientras se desprende, se deduce que la longitud de medio arco de cicloide es 4r y un arco completo es 8r.

Un arco de una cicloide generado por un círculo de radio r puede ser parametrizado por

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(t-\operatorname {sen} t)\\y&=r(1-\cos t)\end{aligned}}}$

con ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r(1-\cos t)}$

${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi .}$

Entonces

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r(1-\cos t)}$

El área bajo el arco es

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\int _{x=0}^{x=2\pi r}y\,dx=\int _{t=0}^{t=2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}dt\\&=\left.r^{2}\left({\frac {3}{2}}t-2\operatorname {sen} t+{\frac {1}{2}}\cos t\operatorname {sen} t\right)\right|_{t=0}^{t=2\pi }\\&=3\pi r^{2}.\end{aligned}}}$

Este resultado, y algunas generalizaciones, pueden obtenerse sin cálculos mediante el cálculo visual de Mamikon.

El baricentro de la figura encerrada entre el primer arco de una cicloide y el eje ${\displaystyle x}$, tiene una abscisa igual a ${\displaystyle x_{G}=\pi r}$. La ordenada del centro de gravedad se puede calcular con la fórmula:

${\displaystyle y_{G}={\frac {\int ydxdy}{\int dxdy}}}$

que puede reescribirse en la forma:

${\displaystyle y_{G}={\frac {{\frac {1}{2}}\int y^{2}dx}{\int ydx}}={\frac {{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }r^{3}(1-\cos t)^{3}dt}{\int _{0}^{2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}dt}}}$

La integral del denominador devuelve el área definida en el punto anterior. Al realizar los cálculos, se tiene que ${\displaystyle y_{G}={\frac {5}{6}}r}$.

La figura subtendida por el primer arco de la cicloide tiene así su centro de gravedad en ${\displaystyle (x_{G};y_{G})=\left(\pi r;{\frac {5}{6}}r\right)}$.

Varias curvas están relacionadas con la cicloide.

• Cicloide acortada (curtata): el punto que describe la curva está dentro del círculo, que rueda sobre una línea recta.
• Cicloide alargada (prolata): el punto que traza la curva está fuera del círculo, que rueda sobre una línea recta.
• Trocoide: se refiere a cualquiera de las cicloides; curtatas y prolataS
• Hipocicloide: el punto está en el borde del círculo, que no rueda en una línea, sino en el interior de otro círculo.
• Epicicloide: el punto está en el borde del círculo, que rueda no en una línea, sino en el exterior de otro círculo.
• Hipotrocoide: como la hipocicloide, pero el punto no necesita estar en el borde del círculo.
• Epitrocoide: como la epicicloide, pero el punto no necesita estar en el borde del círculo.

Todas estas curvas son ruletas, con un círculo envolviendo una trayectoria de curvatura uniforme. Las cicloides, epicicloides e hipocicloides tienen la propiedad de que cada una es semejante a su evoluta. Si q es el producto de esa curvatura por el radio del círculo, con signo positivo para epi- y negativo para hipo-, entonces la curva evoluta homotética es 1 + 2q.

Curva braquistócrona

La cicloide es una curva braquistócrona en el sentido de Roberval, es decir, que representa la curva en la que debe deslizarse sin fricción y sin velocidad inicial un punto material pesado, colocado en un campo gravitatorio uniforme, de manera que su tiempo de recorrido es el mínimo de entre todas las curvas que unen dos puntos fijos dados. En otras palabras, es la curva de descenso más rápida para conectar dos puntos dados.

La cicloide es una curva tautócrona. Las flechas azules representan la aceleración. En el gráfico, t es el tiempo y s la longitud de arco a lo largo de la curva.

El semiarco de una cicloide es también una curva tautócrona, es decir, una curva tal que cualquier punto material dejado caer sin velocidad inicial en la curva llega a un punto dado (el que tiene la menor altura de la cicloide) en un tiempo independiente del punto de partida.

Esquema de un péndulo cicloidal

Cinco oscilaciones isócronas de un péndulo cicloidal con diferentes amplitudes.

Finalmente, es una curva isócrona en el sentido de Huygens, es decir, tal que un punto material que se mueve sin fricción tiene un movimiento periódico cuyo período es independiente de la posición inicial. Si se suspende un péndulo simple de la cúspide de una cicloide invertida, tal que la "cuerda" esté limitada entre los arcos adyacentes de la cicloide, y la longitud del péndulo es igual a la mitad de la longitud del arco de la cicloide, es decir, dos veces el diámetro del círculo generador, la oscilación del péndulo también traza una cicloide. Tal péndulo cicloidal es isócrono, independientemente de la amplitud de su movimiento. La ecuación del movimiento viene dada por:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r[\theta (t)-\operatorname {sen} \theta (t)]\\y&=r[\cos \theta (t)-1].\end{aligned}}}$

El matemático neerlandés del siglo XVII Christiaan Huygens descubrió y probó estas propiedades de la cicloide mientras buscaba diseños de reloj de péndulo más precisos para su uso en navegación.[18]

Estas dos últimas propiedades explican su uso en el diseño de péndulos cicloidales en relojería.

La trayectoria de una partícula sin velocidad inicial sometida a un campo eléctrico y a un campo magnético ortogonal uniforme es una cicloide ortogonal al campo magnético.

Las propiedades especiales de la curva cáustica hacen que la cicloide también se use en óptica.

El arco de cicloide fue utilizado por el arquitecto Louis Isadore Kahn en su diseño para el Museo de Arte Kimbell en Fort Worth. También se usó en el diseño del Hopkins Center en Hanover (Nuevo Hampshire).

En el diseño de los dientes de los engranajes se han empleado tradicionalmente curvas cicloides (así lo propuso Gérard Desargues en el año 1630) hasta principios del siglo XX. En la actualidad solo se utilizan en mecanismos de relojería, puesto que generalmente se prefiere la evolvente del círculo. En física se puede ver que un péndulo que tenga por límites una curva cicloide es isócrono y el centro de gravedad del péndulo describe a su vez una cicloide.^{[cita requerida]}

Algunas investigaciones realizadas indican que algunas curvas transversales de las planchas de las cajas de la edad de oro de la construcción de violines, están modeladas siguiendo curvas coherentes a cicloides.[19] Trabajos posteriores indican que las cicloides curtatas no sirven como modelos generales para estas curvas,[20] que varían considerablemente.

Un uso práctico es el diseño de ciertos toboganes. Los hechos con forma de cicloide se utilizaron en la industria aeronáutica, pues se requería una forma apropiada de salir deslizándose desde un avión en caso de emergencia.^{[cita requerida]}

Un juguete clásico, el espirógrafo, permite trazar curvas hipotrocoides y epitrocoides. Consiste en una serie de círculos dentados con una serie de orificios, que pueden hacerse rodar sobre el interior de unos círculos huecos (también dentados) practicados en una plantilla. Introduciendo la punta de un útil de dibujo por uno de estos orificios y haciendo rodar el círculo dentado, se obtienen distintos patrones festoneados de cicloide.