Banda de Möbius

Para construir una cinta de Möbius, se toma una tira de papel, se da media vuelta a uno de sus extremos y se pegan.

La banda de Moebius posee las siguientes propiedades:

Banda de Möbius

Gráfica paramétrica de una banda de Möbius

• Es una superficie que solo posee una cara: Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la «aparentemente» cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, solo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior.

• Tiene solo un borde: Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida tras haber recorrido la totalidad del borde.

• Es una superficie no orientable: Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida. Una persona que se deslizara «tumbada» sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al recorrer una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda.

• Otras propiedades: Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, se obtienen dos resultados diferentes, según dónde se efectúe el corte.

Si el corte se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, se obtiene una banda más larga pero con dos vueltas; y si a esta banda se la vuelve a cortar a lo largo por el centro de su ancho, se obtienen otras dos bandas entrelazadas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas.[2]

Si el corte no se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, sino a cualquier otra distancia fija del borde, se obtienen dos cintas entrelazadas diferentes: una de idéntica longitud a la original y otra con el doble de longitud.

Esta forma geométrica se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología.

Una forma de representar la banda de Möbius (cerrada y con frontera) como un subconjunto de ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}}$ es mediante la parametrización:

${\displaystyle {\begin{cases}x(u,v)=\left[1+{\cfrac {v}{2}}\cos {\cfrac {u}{2}}\right]\cos(u)\\y(u,v)=\left[1+{\cfrac {v}{2}}\cos {\cfrac {u}{2}}\right]\sin(u)\\z(u,v)={\cfrac {v}{2}}\sin {\cfrac {u}{2}}\end{cases}}}$

donde ${\displaystyle \scriptstyle 0\leq u<2\pi }$ y ${\displaystyle \scriptstyle -0.5\leq v\leq 0.5}$.

Representa una banda doble de Möbius de ancho unitario, cuya circunferencia exterior tiene radio unitario y se encuentra en el plano coordenado x-y centrada en ${\displaystyle \scriptstyle (0,0,0)\,}$. El parámetro u recorre la banda longitudinalmente, mientras v se desplaza de un punto a otro del borde, cruzando transversalmente la circunferencia central.

Con la parametrización anterior podemos obtener su curvatura gaussiana la cual es:

${\displaystyle \scriptstyle -{\cfrac {64}{16v^{4}\cos(u/2)^{4}+128v^{3}\cos(u/2)^{3}+384v^{2}\cos(u/2)^{2}+8v^{4}\cos(u/2)^{2}+512v\cos(u/2)+32v^{3}\cos(u/2)+256+32v^{2}+v^{4}}}}$

En coordenadas cilíndricas ${\displaystyle \scriptstyle (r,\theta ,z)}$, se puede representar una versión sin frontera (abierta) de la banda de Möbius mediante la ecuación:

${\displaystyle \log(r)\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)=z\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)}$

Para transformar un rectángulo en una banda de Möbius, se unen las aristas denominadas A de manera tal que las flechas apunten en el mismo sentido.

Topológicamente, la banda de Möbius puede definirse como el cuadrado ${\displaystyle \scriptstyle [0,1]\times [0,1]}$ que tiene sus aristas superior e inferior identificadas (topología cociente) por la relación ${\displaystyle \scriptstyle (x,0)\,}$ ${\displaystyle \sim \,}$ ${\displaystyle \scriptstyle (1-x,1)\,}$ para ${\displaystyle \scriptstyle 0\leq x\leq 1}$, como en el diagrama que se muestra en la figura de la derecha.

La banda de Möbius es una variedad bidimensional (es decir, una superficie). Es un ejemplo estándar de una superficie no orientable. La banda de Möbius es asimismo un ejemplo elemental para ilustrar el concepto matemático de fibrado topológico.

Como objeto topológico, la banda de Möbius es considerada también como el espacio total ${\displaystyle \scriptstyle Mo\,}$ de un fibrado no trivial teniendo como base el círculo ${\displaystyle \scriptstyle S^{1}}$ y fibra un intervalo, i.e.

${\displaystyle \scriptstyle I\subset Mo\to S^{1}}$

El contraste con el fibrado trivial ${\displaystyle \scriptstyle I\subset S^{1}\times I\to S^{1}}$ es agradable, pues se sabe que solo hay dos de estos fibrados E

${\displaystyle \scriptstyle I\subset E\to S^{1}}$

Es decir, ${\displaystyle \scriptstyle S^{1}\times I}$ y ${\displaystyle \scriptstyle Mo\,}$ son todos los I-fibrados sobre la circunferencia.

Análoga a la banda de Möbius es la botella de Klein, pues también tiene solo una cara, donde no se puede diferenciar «fuera» de «dentro». Esto último significa que mientras la banda se encaja (embedding) en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, la botella no.

Pintura mural

El artista M. C. Escher utilizó la banda de Möbius como motivo principal en diversas obras.[3]

El artista Josep Canals Miquel ha dedicado los últimos 25 años de su obra escultórica al estudio de las diferentes formas de la cinta de Möbius.[4]

El artista de cómics Jean Giraud emplea el seudónimo de Moebius desde inicios de los 80 en su obra más experimental, ligada al género de la ciencia ficción.

El artista Salvador Dalí usa un diseño de la cinta de Möbius para las manillas de llave de la tina de baño de Gala, en el Castell Gala Dalí de Púbol.

El libro de cuentos Queremos tanto a Glenda, del escritor argentino Julio Cortázar, publicado en 1980, cuenta con una composición titulada Anillo de Moebius.[5]

El 17 de octubre de 1996, se estrenó la película Moebius,[6][7] realizada en Argentina. Dicha película hace referencia a la teoría de la cinta que lleva el mismo nombre, aplicada a una supuesta red de subterráneos de la Ciudad de Buenos Aires ampliada. Se basa en un cuento de A. J. Deutsch, A Subway Named Moebius (1950).

El estudio de arquitectura neerlandés UNSTUDIO realizó un edificio basado en la cinta de Möbius.[8]

Mario Levrero tituló un cuento «La Cinta de Moebius», y el recorrido del relato tiene las características de la banda.

La banda argentina Catupecu Machu lanzó en 2009 un álbum titulado Simetría de Moebius en alusión a la banda. Además tiene una canción con el mismo título en el álbum.

El grupo surcoreano de k-pop LOOΠΔ utiliza la banda de Möbius para explicar la forma del universo que compone su universo.

• Topología
• Botella de Klein
• Gorra cruzada
• Jacques Lacan

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• El rincón de la Ciencia: La banda de Moebius (Möbius)