Cizallamiento (geometría)

Mediante la aplicación de un cizallamiento codificado en gráficos vectoriales escalables (SVG), un rectángulo se convierte en un paralelogramo

En el plano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$, un mapeo horizontal (o mapeo paralelo al eje ${\displaystyle x}$) es una función que toma un punto genérico con coordenadas (${\displaystyle (x,y)}$ al punto ${\displaystyle (x+my,y)}$; ${\displaystyle m}$ es un parámetro fijo, denominado factor de corte.

El efecto de este mapeo es desplazar cada punto horizontalmente en una cantidad proporcional a su coordenada ${\displaystyle y}$. Si ${\displaystyle m>0}$, cualquier punto por encima del eje ${\displaystyle x}$ se desplaza hacia la derecha, y, si ${\displaystyle m<0}$, se dirige hacia la izquierda. Puntos debajo del eje ${\displaystyle x}$ se mueven en la dirección opuesta, y los puntos en el eje permanecen fijos.

Las líneas rectas paralelas al eje ${\displaystyle x}$ permanecen en su sitio, mientras que todas las demás líneas giran, en variados ángulos, sobre el punto donde cruzan el eje ${\displaystyle x}$. Las líneas verticales, en particular, se convierten en líneas oblicuas con pendiente ${\displaystyle 1/m}$. Por lo tanto, el factor de corte ${\displaystyle m}$ es la cotangente del ángulo ${\displaystyle \varphi }$. Este ángulo ${\displaystyle \varphi }$ determina la inclinación de las líneas verticales. Se le denomina ángulo de corte.

Si las coordenadas de un punto están escritas como un vector de columna (una matriz 2 × 1), el mapeo de corte se puede escribir como una multiplicación por una matriz 2 × 2:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+my\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

Un mapeo de corte vertical (o corte paralelo al eje vertical) de las líneas es similar, excepto que cambian los roles de ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\mx+y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\m&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

El corte vertical desplaza puntos a la derecha del eje vertical hacia arriba o hacia abajo, según el signo de ${\displaystyle m}$. Deja invariantes las líneas verticales, pero inclina todas las demás líneas sobre el punto donde se encuentran con el eje vertical. Las líneas horizontales, en particular, se inclinan con ángulo de corte ${\displaystyle \varphi }$ y se convierten en líneas con pendiente ${\displaystyle m}$.

Para un espacio vectorial V y un subespacio W, un corte fijo W traslada a los vectores en una dirección paralela a W.

Si V es la suma directa de W′ y W′, se escribe la suma

v = w + w′

correspondientemente. El típico corte fijo W es L, donde

L(v) = (Mw + Mw′) = (w + Mw′)

donde M es un mapeo lineal de W′ a W. Por lo tanto, en términos de matrices en bloque L se puede representar como

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&M\\0&I\end{pmatrix}}}$