Compuesto de veinte octaedros con libertad de rotación

El compuesto de veinte octaedros con libertad de rotación[1] es un poliedro compuesto uniforme. Está formado por una disposición simétrica de 20 octaedros, considerados como antiprismas triangulares. Se puede construir superponiendo dos copias del compuesto de 10 octaedros UC₁₆ y, para cada par de octaedros resultante, rotando cada octaedro del par en un ángulo θ igual y opuesto.

Compuesto de veinte octaedros con libertad de rotación

Tipo	Compuesto uniforme
Índice	UC₁₃
Poliedros	20 octaedros
Caras	40+120 triángulos
Aristas	240
Vértices	120
Grupo de simetría	Icosaédrico (I_h)
Subgrupo restringido a un elemento	Rotación impropia de 6 lóbulos (S₆)

Cuando θ es cero o 60 grados, los octaedros coinciden en pares, generándose dos copias superpuestas de los compuestos de 10 octaedros UC₁₆ y UC₁₅ respectivamente. Cuando:

\theta =2\tan ^{-1}\left({\sqrt {{\frac {1}{3}}\left(13-4{\sqrt {10}}\right)}}\right)\approx 37.76124^{\circ },

los octaedros (con distintos ejes de rotación) coinciden en cuatro conjuntos, dando como resultado el compuesto de cinco octaedros. Cuando

\theta =2\tan ^{-1}\left({\frac {-4{\sqrt {3}}-2{\sqrt {15}}+{\sqrt {132+60{\sqrt {5}}}}}{4+{\sqrt {2}}+2{\sqrt {5}}+{\sqrt {10}}}}\right)\approx 14.33033^{\circ },

los vértices coinciden en pares, dando el compuesto de veinte octaedros (sin libertad de rotación).

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas de los vértices de esta forma compuesta son todas las permutaciones cíclicas de:

{\begin{aligned}&\scriptstyle {\Big (}\pm 2{\sqrt {3}}\sin \theta ,\,\pm (\tau ^{-1}{\sqrt {2}}+2\tau \cos \theta ),\,\pm (\tau {\sqrt {2}}-2\tau ^{-1}\cos \theta ){\Big )}\\&\scriptstyle {\Big (}\pm ({\sqrt {2}}-\tau ^{2}\cos \theta +\tau ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+(2\tau -1)\cos \theta +{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+\tau ^{-2}\cos \theta -\tau {\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\\&\scriptstyle {\Big (}\pm (\tau ^{-1}{\sqrt {2}}-\tau \cos \theta -\tau {\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (\tau {\sqrt {2}}+\tau ^{-1}\cos \theta +\tau ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (3\cos \theta -{\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\\&\scriptstyle {\Big (}\pm (-\tau ^{-1}{\sqrt {2}}+\tau \cos \theta -\tau {\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (\tau {\sqrt {2}}+\tau ^{-1}\cos \theta -\tau ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (3\cos \theta +{\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\\&\scriptstyle {\Big (}\pm (-{\sqrt {2}}+\tau ^{2}\cos \theta +\tau ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+(2\tau -1)\cos \theta -{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+\tau ^{-2}\cos \theta +\tau {\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\end{aligned}}

donde τ = (1 + √5)/2 es el número áureo (también denominado φ).

Galería

Compuestos de veinte octaedros con libertad de rotación
θ= 0°
θ= 5°
θ= 10°
θ= 15°
θ= 20°
θ= 25°
θ= 30°
θ= 35°
θ= 40°
θ= 45°
θ= 50°
θ= 55°
θ= 60°

Véase también

Referencias

Skilling, John (1976), «Uniform Compounds of Uniform Polyhedra», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 79 (3): 447-457, MR 0397554, doi:10.1017/S0305004100052440..

Enlaces externos

Uniform Compounds of Uniform Polyhedra

Datos: Q12350729

Este artículo ha sido escrito por Wikipedia. El texto está disponible bajo la licencia Creative Commons - Atribución - CompartirIgual. Pueden aplicarse cláusulas adicionales a los archivos multimedia.

[1] Skilling, John (1976), «Uniform Compounds of Uniform Polyhedra», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 79 (3): 447-457, MR 0397554, doi:10.1017/S0305004100052440..