Límite de una sucesión

• La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge al límite 0.
• La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.
• La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1.
• Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión aⁿ posee límite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a^1/n posee límite 1.
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}=0{\hbox{ si }}p>0}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{\frac {1}{n}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a^{\frac {1}{n}}=1{\hbox{ si }}a>0}$

• Toda sucesión convergente tiende a un único valor, lo que se conoce como la unicidad del límite.
• Si todos los términos de una sucesión son iguales a un mismo valor, entonces el límite es ese valor.
• Si una sucesión ${\displaystyle \,\{a_{n}\}}$ tiene límite positivo, existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos.
• Si una sucesión ${\displaystyle \,\{a_{n}\}}$ tiene límite negativo, existe un término a partir del cual los términos de la sucesión son negativos.
• Si una sucesión ${\displaystyle \,\{a_{n}\}}$ converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.
• Si una sucesión ${\displaystyle \,\{a_{n}\}}$ tiende a menos infinito y ${\displaystyle \,\{a_{n}\}<0}$ entonces ${\displaystyle {\frac {1}{a_{n}}}}$ tiende a 0.
• Si la sucesión (x_n) tiene límite entonces es acotada; esto es, hay un número positivo h tal que |x_n| < h para cualquier n.
• Cuando dos sucesiones tienen límite, se tiene que la suma (diferencia) de tales sucesiones tiene límite que es igual a la suma (diferencia) de los respectivos límites de las sucesiones.
• En el caso de que dos sucesiones tengan límites entonces su producto también tiene límite, que es igual producto de los respectivos límites.
• Cuando cada término de una sucesión se multiplica por una constante k, el límite de este producto sucesión es igual al producto de k por el límite de la sucesión.
• Si dos sucesiones son convergentes, siendo la segunda de ellas sin ningún término nulo y límite ≠ 0, entonces el cociente de la primera entre la segunda tiene límite, que es igual al cociente del límite de la primera entre el límite de la segunda sucesión.
• Si una sucesión es monótona y acotada, entonces converge. Es la condición suficiente para la convergencia de una sucesión, que se conoce también como el Teorema de Weierstrass. Esta proposición es sobre la existencia del límite de una sucesión, pero no provee método alguno para obtener tal límite.
• Para cualquiera sucesión convergente ( no necesariamente monótona) es válida la igualdad: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n+1}=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$

El concepto de convergencia puntual es uno de los varios sentidos en los cuales una sucesión de funciones puede converger a una función particular.

Una sucesión de funciones ${\displaystyle f_{n}:S\to M}$ definidas en un conjunto no vacío ${\displaystyle S\,}$ con valores en un espacio métrico ${\displaystyle (M,d\,)}$ converge puntualmente a una función ${\displaystyle f:S\to M}$ si

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$

para cada ${\displaystyle x\in S}$ fijo. Esto significa que

(5)${\displaystyle \forall x\in S\quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \,N\in \mathbb {N} \quad |\quad n\geq N\ \Longrightarrow \ d(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon .}$

La sucesión de funciones ${\displaystyle f_{n}(x):=x/n\,}$ con ${\displaystyle x\in [0,1]}$ converge puntualmente a la función ${\displaystyle f(x):=0\,}$ puesto que

${\displaystyle \left\vert {\frac {x}{n}}\right\vert \leq {\frac {1}{n}}\to 0}$

para cada ${\displaystyle x\in [0,1]}$ fijo.

Una sucesión de funciones ${\displaystyle f_{n}:S\to M}$ definidas en un conjunto no vacío ${\displaystyle S\,}$ con valores en un espacio métrico ${\displaystyle (M,d\,)}$ converge uniformemente a una función ${\displaystyle f:S\to M}$ si para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existe un natural ${\displaystyle N\,}$ (que depende de ${\displaystyle \varepsilon }$) tal que

${\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon }$

para todo ${\displaystyle x\in S}$ y todo ${\displaystyle n\geq N}$. Es decir,

(6)${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \,N\in \mathbb {N} \quad |\quad d(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon \quad \forall x\in S\quad \forall n\geq N.}$

El concepto de convergencia uniforme es un concepto más fuerte que el de convergencia puntual. En (5), ${\displaystyle N\,}$ puede depender de ${\displaystyle \varepsilon }$ y de ${\displaystyle x\,}$ mientras que en (6), ${\displaystyle N\,}$ sólo puede depender de ${\displaystyle \varepsilon }$. Así, toda sucesión que converge uniformemente, converge puntualmente. El enunciado recíproco es falso, y un contraejemplo clásico lo constituyen las sucesión de funciones ${\displaystyle f_{n}:[0,1]\to \mathbb {R} }$ definidas por ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}\,}$. Esta sucesión converge puntualmente a la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{si}}\quad 0\leq x<1\\1,&{\mbox{si}}\quad x=1\end{cases}}}$

ya que

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|=|x^{n}|\to 0\quad {\mbox{si}}\quad 0\leq x<1}$

mientras que ${\displaystyle \vert f_{n}(1)-f(1)\vert =0.}$ Sin embargo esta sucesión no converge uniformemente, pues para ${\displaystyle \varepsilon =1/4,}$ no existe un ${\displaystyle N\,}$ que satisfaga (6).

De especial interés es el espacio de las funciones continuas ${\displaystyle C(\Omega )\,}$ definidas sobre un compacto ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}.}$ En este caso, una sucesión de funciones ${\displaystyle f_{n}\in C(\Omega ),\,}$ converge uniformemente a una función ${\displaystyle f\in C(\Omega ),\,}$ si, y sólo si, converge en la norma del sup, i.e.,

${\displaystyle f_{n}{\stackrel {u}{\longrightarrow }}\ f\quad \Longleftrightarrow \quad f_{n}{\stackrel {\Vert \cdot \Vert }{\longrightarrow }}\ f}$

Una sucesión se dice que converge débilmente a ${\displaystyle x}$ o en sentido débil si para toda funcional lineal ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle f(x_{n})}$ converge a ${\displaystyle f(x)}$.

Por ejemplo la sucesión ${\displaystyle 1/n}$ desde ${\displaystyle n=1}$ hasta infinito converge débilmente a cero. Pues:
${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left({\frac {1}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{n}}\cdot f\left({\frac {1}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {f\left({\frac {n}{n}}\right)}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {f(1)}{n}}=0}$
Todo esto, pues ${\displaystyle f}$ es lineal.

Una generalización de esta relación, para una sucesión de puntos ${\displaystyle \{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;}$ en un espacio topológico T:

Si ${\displaystyle L\in T\;}$ se dice que L es un límite de esta sucesión y se escribe

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$

si y solo si para todo entorno S de L existe un número natural N tal que ${\displaystyle x_{n}\in S\;}$ para todo ${\displaystyle n>N.\;}$

De forma intuitiva, suponiendo que se tiene una sucesión de puntos (por ejemplo un conjunto infinito de puntos numerados utilizando los números naturales) en algún tipo de objeto matemático (por ejemplo los números reales o un espacio vectorial) que admite el concepto de entorno (en el sentido de "todos los puntos dentro de una cierta distancia de un dado punto fijo"). Un punto L es el límite de la sucesión si para todo entorno que se defina, todos los puntos de la sucesión (con la posible excepción de un número finito de puntos) están próximos a L. Esto puede ser interpretado como si hubiera un conjunto de esferas de tamaños decrecientes hasta cero, todas centradas en L, y para cualquiera de estas esferas, solo existiera un número finito de números fuera de ella.

Es posible también que una sucesión en un espacio topológico general, pueda tener varios límites diferentes,^{[cita requerida]} pero una sucesión convergente posee un único límite si T es un espacio de Hausdorff, por ejemplo la recta real (extendida), el plano complejo, sus subconjuntos (R, Q, Z...) y productos cartesianos (Rⁿ...).