Cuaterna armónica

Los cuatro puntos a veces se denominan un rango armónico (sobre la línea proyectiva real), ya que se verifica que D siempre divide al segmento AB internamente en la misma proporción que C divide AB externamente. Es decir:

${\displaystyle {AC}:{BC}={AD}:{DB}\,.}$

Si a estos segmentos se les dota de la interpretación métrica ordinaria de los números reales, tendrán su signo (positivo o negativo) y formarán una doble proporción, conocida como razón doble (o a veces también como razón cruzada):

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC}{AD}}\left/{\frac {BC}{-DB}}\right.,}$

por lo que las distancias de una cuaterna armónica de puntos se caracterizan por un valor de −1. En consecuencia, se establece que:

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC}{AD}}\cdot {\frac {BD}{BC}}=-1.}$

En general, el valor de una razón doble no es único, ya que depende del orden de selección de los segmentos (y hay seis selecciones posibles). Pero para un rango armónico en particular, hay solo tres valores de la razón doble: {−1, 1/2, 2}, ya que −1 es autoinverso, por lo que al intercambiar los dos últimos puntos se obtienen cada uno de estos valores, pero no se produce ningún valor nuevo, y se conoce clásicamente como proporción armónica.

Cada uno de los dos términos de una razón doble, está formado por una razón simple:[7] dados los puntos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ en una línea afín, la razón simple de un punto ${\displaystyle x}$ viene dada por

${\displaystyle t(x)={\frac {x-a}{x-b}}.}$

Téngase en cuenta que cuando ${\displaystyle a<x<b}$, entonces ${\displaystyle t(x)}$ es negativo; y que es positivo cuando ${\displaystyle x}$ queda fuera del intervalo.

La expresión ${\displaystyle (c,d;a,b)=t(c)/t(d)}$ es una relación entre razones simples, lo que constituye una razón doble.

Si la razón doble vale −1, esto significa que ${\displaystyle t(c)+t(d)=0}$, y por lo tanto, ${\displaystyle c}$ y ${\displaystyle d}$ son conjugados armónicos con respecto al segmento ${\displaystyle [a,b]}$. En consecuencia, ambas razones simples deben ser iguales, y sus signos opuestos.

La división armónica de un segmento de línea es un caso especial de la definición de la circunferencia de Apolonio.

En algunos textos escolares, la determinación de una cuaterna armónica se denomina "división armónica".

El punto medio de un segmento y el infinito son conjugados armónicos.

Cuando ${\displaystyle x}$ es el punto medio del segmento ${\displaystyle [a,b]}$, entonces

${\displaystyle t(x)={\frac {x-a}{x-b}}=-1.}$

Por el criterio de la razón doble, el conjugado armónico de ${\displaystyle x}$ será ${\displaystyle y}$ cuando ${\displaystyle t(y)=1}$. Pero no hay una solución finita para ${\displaystyle y}$ en la recta que pasa a través de ${\displaystyle [a,b]}$. Sin embargo,

${\displaystyle \lim _{y\to \infty }t(y)=1,}$

lo que motiva la inclusión de un punto del infinito en la línea proyectiva. Este punto del infinito sirve como el conjugado armónico del punto medio ${\displaystyle x}$ de un segmento ${\displaystyle [a,b]}$.

Las fórmulas para calcular la longitud del segmento ${\displaystyle [AT]}$ cuando se conocen las ordenadas del segmento ${\displaystyle A,B}$ y del tercer punto de la cuaterna ${\displaystyle S}$, vienen dadas por las fórmulas:

• ${\displaystyle |AT|={\frac {|AS||AB|}{2|AS|-|AB|}}}$, si el denominador es ${\displaystyle >0}$ (${\displaystyle T}$ está a la derecha de ${\displaystyle B}$)
• ${\displaystyle |AT|=-{\frac {|AS||AB|}{2|AS|-|AB|}}}$, si el denominador es ${\displaystyle <0}$ (${\displaystyle T}$ está a la izquierda de ${\displaystyle A}$)

Fórmula explícita directa:

Si se parte de los valores numéricos de las posiciones de los puntos sobre la recta ${\displaystyle (a,b,c,d)}$, se tiene que siendo conocidos tres de ellos ${\displaystyle (a,b,c)}$, el cuarto valor ${\displaystyle (d)}$ se obtiene por la expresión explícita:

• ${\displaystyle d={\frac {ac+bc-2ba}{2c-a-b}}}$

Cuando el denominador ${\displaystyle (2c-a-b)=0}$, entonces ${\displaystyle d=\infty }$.

Fórmula explícita indirecta:

Otra forma de obtener ${\displaystyle (d)}$ es mediante el cálculo de resultados intermedios auxiliares:

• Sean ${\displaystyle R={\frac {b-a}{2}}}$  y  ${\displaystyle M={\frac {b+a}{2}}}$.   Entonces,  ${\displaystyle d=M+{\frac {R^{2}}{c-M}}}$

En este caso, la fórmula se vale de la relación de polaridad entre ${\displaystyle c}$ y ${\displaystyle d}$ respecto a la circunferencia que pasa por ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ y con centro en su punto medio.

Si se introduce el segmento ${\displaystyle A,B}$ en el eje de coordenadas ${\displaystyle x}$ de modo que ${\displaystyle A=0,B=1,S=s,T=t}$, entonces se obtiene la fórmula uniforme:

• ${\displaystyle t={\frac {s}{2s-1}}.}$

Ejemplos de cuaternas armónicas:

${\displaystyle {\text{1)}}\ {\color {blue}0},{\color {red}{\tfrac {3}{4}}},{\color {blue}1},{\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\ ,\quad {\text{2)}}\ {\color {blue}0},{\color {red}{\tfrac {2}{3}}},{\color {blue}1},{\color {red}2}\ ,\quad {\text{3)}}\ {\color {blue}0},{\color {red}{\tfrac {3}{5}}},{\color {blue}1},{\color {red}3}\ ,\quad {\text{4)}}\ {\color {red}-{\tfrac {1}{2}}},{\color {blue}0},{\color {red}{\tfrac {1}{4}}},{\color {blue}1}}$

La fórmula uniforme (que relaciona las cantidades armónicas ${\displaystyle s}$ y ${\displaystyle t}$ respecto al segmento ${\displaystyle [0,1]}$), también se puede expresar la manera siguiente:

• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{s}}+{\frac {1}{t}}\right)=1}$

De aquí se deduce que la media armónica de las dos coordenadas ${\displaystyle s,t}$ de una cuaterna uniforme, es igual a 1.

También se prueba fácilmente[8] que una secuencia de cuatro puntos alineados ${\displaystyle (A,B,C,D)}$ está en división armónica si y solo si se verifican las relaciones siguientes:

• Relación de Newton: ${\displaystyle IA^{2}(=IB^{2})={\overline {IC}}.{\overline {ID}}}$, donde ${\displaystyle I}$ es el punto medio de ${\displaystyle [AB]}$;
• Relación de Mac-Laurin: ${\displaystyle {\overline {AC}}.{\overline {AD}}={\overline {AB}}.{\overline {AJ}}}$, donde ${\displaystyle J}$ es el punto medio de ${\displaystyle [CD]}$.

Construcción proyectiva

Construcción proyectiva usando un punto impropio

Caso especial del conjugado exterior de una terna equidistante

Dados tres puntos ${\displaystyle A,B,S}$ sobre una línea recta del plano proyectivo, entonces la cuaterna armónica ${\displaystyle (A,B;S,T)=-1}$ puede ser construida como sigue:

Con un punto auxiliar P₁

1. Seleccionar un punto punto cualquiera ${\displaystyle P_{1}}$ exterior a la recta ${\displaystyle g}$.
2. Trazar la línea ${\displaystyle AP_{1},BP_{1},SP_{1}}$.
3. Seleccionar un punto ${\displaystyle P_{2}}$ en la línea ${\displaystyle SP_{1}}$.
4. La línea recta ${\displaystyle BP_{2}}$ cruza la línea ${\displaystyle AP_{1}}$ en un punto ${\displaystyle P_{3}}$. La recta ${\displaystyle AP_{2}}$ interseca la recta ${\displaystyle BP_{1}}$ en un punto ${\displaystyle P_{4}}$.
5. La recta ${\displaystyle P_{3}P_{4}}$ cruza la recta ${\displaystyle g}$ en el cuarto punto armónico ${\displaystyle T}$.

Con un punto impropio auxiliar

1. Elegir una dirección cualquiera distinta a la de la recta ${\displaystyle g}$, y trazar rectas paralelas según la dirección elegida por los puntos ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ y ${\displaystyle S}$
2. Seleccionar un punto ${\displaystyle P_{2}}$ en la recta orientada que pasa por ${\displaystyle S}$.
3. La línea recta ${\displaystyle BP_{2}}$ cruza la recta orientada que pasa por ${\displaystyle A}$ en un punto ${\displaystyle P_{3}}$. La recta ${\displaystyle AP_{2}}$ interseca la recta orientada que pasa por ${\displaystyle B}$ en un punto ${\displaystyle P_{4}}$.
4. La recta ${\displaystyle P_{3}P_{4}}$ cruza la recta ${\displaystyle g}$ en el cuarto punto armónico, ${\displaystyle T}$.

Caso especial

Cuando el punto ${\displaystyle S}$ es el punto medio entre ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ (denominado ${\displaystyle M}$ en el dibujo) entonces el punto ${\displaystyle T}$ se convierte en un punto del infinito. Si el punto auxiliar elegido es un punto impropio, la cuaterna ${\displaystyle A,B,P_{3},P_{4}}$ forma un paralelogramo. Cuando se elige un punto auxiliar definido ${\displaystyle P_{1}}$, la cuaterna anterior se convierte se convierte en un trapecio.

Construcción mediante el teorema de Tales

Dados el segmento ${\displaystyle [A,B]}$ y el punto ${\displaystyle S}$, para determinar el conjugado armónico ${\displaystyle T}$ del punto respecto al segmento se puede usar la construcción siguiente:

1. El punto ${\displaystyle C}$ se elige arbitrariamente; y las líneas rectas ${\displaystyle AC}$ y ${\displaystyle BD}$ son paralelas.
2. El punto ${\displaystyle D}$ se determina haciendo pasar una recta por los puntos ${\displaystyle C}$ y ${\displaystyle S}$.
3. Desde ${\displaystyle D}$ se localiza ${\displaystyle D'}$, de forma que ${\displaystyle |BD|}$ y ${\displaystyle |BD'|}$ tengan la misma longitud.
4. El punto ${\displaystyle T}$ se obtiene por la intersección de la rectas ${\displaystyle AB}$ y ${\displaystyle CD'}$.

Si se dispone del punto ${\displaystyle T}$, el procedimiento es análogo, pero en orden inverso.

Si se desea que ${\displaystyle |AS|:|SB|=\lambda }$, entonces se debe elegir el punto ${\displaystyle D}$ de modo que se cumpla ${\displaystyle |AC|:|DB|=\lambda }$. ${\displaystyle S}$ se obtiene como la intersección de la rectas ${\displaystyle CD}$ ${\displaystyle AB}$.

Construcción mediante una bisectriz

Este procedimiento sirve para determinar un par de puntos cualquiera ${\displaystyle SyT}$ que formen una cuaterna armónica respecto al segmento ${\displaystyle [A,B]}$.

Sean ${\displaystyle A,B,C}$ los vértices de un triángulo no isósceles. La bisectriz interior y la bisectriz exterior del ángulo que se forma en ${\displaystyle C}$, generan los puntos ${\displaystyle S,T}$ sobre la recta ${\displaystyle AB}$, que completan una cuaterna armónica respecto al segmento ${\displaystyle [A,B]}$. Si se desea que los segmentos guarden la proporción ${\displaystyle b:a}$, entonces basta con localizar el vértice ${\displaystyle C}$ utilizando distancias proporcionales a estos parámetros. En este caso, la construcción se vale de una propiedad de la circunferencia de Apolonio.[9] Debe tenerse en cuenta que si ${\displaystyle a=b}$, ${\displaystyle S}$ se convierte en un punto impropio.

Construcción mediante una circunferencia

Otro método para obtener un cuarto punto armónico ${\displaystyle T}$ de la terna colineal ${\displaystyle A,B,S}$ se sirve de una construcción mediante regla y compás:

1. Trazar la circunferencia ${\displaystyle k}$ que pasa por ${\displaystyle A,B}$, cuyo centro ${\displaystyle M}$ es el centro del segmento ${\displaystyle [A,B]}$.
2. En ${\displaystyle S}$, trazar la línea recta ${\displaystyle l}$ perpendicular a ${\displaystyle g}$, que corta la circunferencia ${\displaystyle k}$ en el punto ${\displaystyle Q}$.
3. Construir la recta tangente ${\displaystyle t}$ a la circunferencia ${\displaystyle k}$ en el punto ${\displaystyle Q}$ (es decir, ${\displaystyle t\perp MQ}$).
4. La recta ${\displaystyle t}$ interseca a ${\displaystyle g}$ en ${\displaystyle T}$, el conjugado armónico buscado.

Si ${\displaystyle S}$ se acerca a uno de los puntos ${\displaystyle A}$ o ${\displaystyle B}$, también lo hace ${\displaystyle T}$. En cambio, si ${\displaystyle S=M}$, entonces ${\displaystyle (t\parallel g)}$ y ${\displaystyle T}$ se convierte en el punto del infinito de la recta ${\displaystyle g}$.

Si los puntos dados son ${\displaystyle A,B,T}$, la construcción es reversible. En este supuesto, para obtener ${\displaystyle S}$ basta con determinar la tangente a la circunferencia desde ${\displaystyle T}$, y proyectar el punto ${\displaystyle Q}$ sobre la recta ${\displaystyle g}$.

Demostración

Para comprobar que los cuatro puntos forman una cuaterna armónica (es decir, que ${\displaystyle |AS||TB|=|SB||AT|}$), se parte de la relación de semejanza entre los triángulos ${\displaystyle MSQ}$ y ${\displaystyle MQT}$. La razón doble es de forma automática -1, dado que ${\displaystyle S}$ está dentro del segmento ${\displaystyle [A,B]}$, y ${\displaystyle T}$ está fuera. A partir de la relación de semejanza anterior, se deduce la ecuación:

• ${\displaystyle {\frac {|MS|}{r}}={\frac {r}{|MT|}}}$ por la proporcionalidad de los lados de los dos triángulos semejantes, y en consecuencia:
• ${\displaystyle |MS||MT|=r^{2}}$, donde ${\displaystyle r}$ es el radio del círculo.

Esta ecuación y el procedimiento de diseño (según la imagen) coinciden con la definición de una transformación de inversión, lo que implica que los cuatro puntos forman una cuaterna armónica (cuando se usan números complejos, entonces ${\displaystyle z\to {\tfrac {1}{\overline {z}}}}$).

Demostración

También se puede demostrar que una cuaterna armónica guarda una relación de inversión según la construcción anterior, partiendo de la primera condición (cuaterna armónica) y comprobando si se cumple la segunda (relación de inversión). Para simplificar la expresión de las ecuaciones, se definen las equivalencias siguientes:

${\displaystyle d=T-A}$;   ${\displaystyle f=B-S}$;   y   ${\displaystyle r={\frac {B-A}{2}}}$

${\displaystyle d}$ es la longitud total de la cuaterna; ${\displaystyle f}$ es la del segmento interior; y ${\displaystyle r}$ el radio de la circunferencia que pasa por ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$. La condición de conjugados armónicos, implica que:

${\displaystyle d\,f=(2r-f)*(d-2r)}$

A partir de esta condición, se va a calcular el valor de ${\displaystyle (r-f)*(d-r)}$, que es el producto de las distancias ${\displaystyle (S-M)*(T-M)}$, que a su vez determina la relación de polaridad de los puntos ${\displaystyle S}$ y ${\displaystyle T}$ respecto a la circunferencia ${\displaystyle k}$ con centro en ${\displaystyle M}$ y que pasa por ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$. Despejando ${\displaystyle f}$ de la relación armónica:

${\displaystyle d\,f=(2rd-4r^{2})-f(d-2r)}$

${\displaystyle f(d+d-2r)=2rd-4r^{2}}$

${\displaystyle f={\frac {rd-2r^{2}}{d-r}}}$

Una vez despejado el valor de ${\displaystyle f}$, se calcula el producto de ${\displaystyle (S-M)*(T-M)}$ (es decir, ${\displaystyle ((r-f)*(d-r))}$

• ${\displaystyle {\Big (}r-{\frac {rd-2r^{2}}{d-r}}{\Big )}\,(d-r)=(rd-r^{2})-rd+2r^{2}=r^{2}}$

Tal como se quería comprobar, el producto calculado es ${\displaystyle r^{2}}$, lo que confirma que los cuatro puntos armónicos guardan una relación de inversión.

Cuaternas y polaridad

El método descrito aquí para la construcción del cuarto punto armónico es un caso especial afín de la siguiente declaración:

Cuaternas armónicas de puntos [ABCD], [A'B'C'D'] y [A"B"C"D"], resultantes de cortar una cónica por rectas trazadas desde D. Los puntos A y B son los cortes con la cónica, mientras que el punto C es el corte con la recta entre los puntos de tangencia (t₁-t₂), polar del punto D respecto a la propia cónica.

Una cónica en el plano proyectivo es una curva C que tiene la siguiente propiedad: Si P es un punto que no está en C, y si una recta variable que pasa por P se encuentra con C en los puntos A y B, entonces los distintos conjugados armónicos de P con respecto a distintas parejas de puntos A y B, se disponen en un segmento rectilíneo. El punto P se llama el polo de esa recta de conjugados armónicos, y esta recta se llama la recta polar de P con respecto a la cónica. Véase el artículo recta polar para más detalles.

En el caso en que la cónica sea un círculo, considerando los diámetros extendidos del círculo, se tiene que los conjugados armónicos con respecto al círculo son los puntos de inversión respecto al círculo dado. Este hecho se desprende de uno de los teoremas de Smogorzhevski:

Si las circunferencias k y q son mutuamente ortogonales, entonces una línea recta que pasa por el centro de k y que interseca q, lo hace en dos puntos conjugados armónicos con los puntos de intersección de dicha recta con k. (Ver el epígrafe 'Circunferencias ortogonales' más adelante)

En geometría euclidiana se demuestra que en cualquier triángulo, el centro de gravedad G, el ortocentro H, el centro del círculo circunscrito Ω y el centro de la circunferencia de los nueve puntos E, están los cuatro alineados en una línea llamada recta de Euler del triángulo. Estos cuatro puntos forman una cuaterna armónica (en el orden dado). Este hecho es el resultado de que H tiene por imagen Ω, y Ω tiene por imagen E mediante la misma homotecia de centro G y de relación -1/2.

Circunferencias ortogonales

Sea (C) una circunferencia y M y M’ dos puntos de manera que la línea (MM’) interseque la circunferencia (C) en dos puntos A y B distintos. Entonces, la circunferencia (C’) de diámetro [MM’] es ortogonal a (C) si y solo si [MM’] divide armónicamente [AB].

Entonces se dice que M y M’ están conjugados con respecto a la circunferencia (C).

Demostración:

Sean O y O’, los centros de (C) y (C’), con O’ en el punto medio de [MM’]. Sean R y R’ sus radios. De acuerdo con la expresión de la «potencia de un punto»:

${\displaystyle {\overline {O'A}}\,{\overline {O'B}}=O{O'}^{2}-R^{2}.}$

Las dos circunferencias son ortogonales si y solo si O’O² = R² + R’² (ángulo recto en el punto de contacto), y si y solamente si:

${\displaystyle {\overline {O'A}}\,{\overline {O'B}}=R'^{2}=O'M^{2}=O'M'^{2}.}$

Deducimos que las dos circunferencias son ortogonales si y solo si la división es armónica según la relación de Newton.

Dos puntos M y M’ se llamarán conjugados por relación con una circunferencia (C) si uno de ellos es interior a (C) y el otro exterior y la circunferencia de diámetro [MM] es ortogonal a (C).

Propiedad:

Dos puntos son conjugados con respecto a una circunferencia de centro O si y solo si:

${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}{\overrightarrow {OM'}}=R^{2}.}$

Siendo O’ el punto medio de [MM’], y por lo tanto el centro de la nueva circunferencia, y T un punto de intersección entre las dos circunferencias, entonces OT² = R². Usando esto se obtiene:

de ahí el resultado.

El conjunto de conjugados de un punto con respecto a una circunferencia es la recta polar de este punto con respecto a esta circunferencia.

En la geometría de Galois sobre un cuerpo finito GF(q) una recta tiene q+1 puntos, donde ${\displaystyle \infty }$=(1,0). En esta recta, cuatro puntos forman una tétrada armónica cuando dos de ellos distan armónicamente de los otros dos. La condición

${\displaystyle (c,d;a,b)=-1\ \ \equiv \ \ 2(cd+ab)=(c+d)(a+b)}$

caracteriza tétradas armónicas. La atención a estas tétradas llevó a Jean Dieudonné a su delimitación de algunos isomorfismos accidentales de los grupos proyectivos lineales PGL (2, q) para q = 5, 7 y 9.[10]

Si q=2ⁿ, entonces el conjugado armónico de C es él mismo.[11]

Sea CD un segmento y E el punto división áurea del mismo. Sea F el conjugado armónico de E respecto de CD y G el punto división áurea del segmento FE (es importante el orden). Entonces el segmento FE tiene tamaño doble de CD y el punto G es simétrico de E respecto de D.

El gráfico describe la relación entre División Áurea de un segmento y Cuarto Armónico

Sean ${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$ tres puntos diferentes en una recta proyectiva real.

Considérese la secuencia infinita de puntos ${\displaystyle P_{n}}$, donde ${\displaystyle P_{n}}$ es el conjugado armónico de ${\displaystyle P_{n-3}}$ con respecto a ${\displaystyle P_{n-1},P_{n-2}}$ para ${\displaystyle n>2}$.[12]

Entonces, cuando la sucesión de los ${\displaystyle P_{n}}$ es convergente, el límite ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {P_{n+2}-P_{n+1}}{P_{n+1}-P_{n}}}=-\Phi ^{-2}=-0,381966011...}$; donde ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ es el número áureo.

Este resultado es independiente de los tres puntos ${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$ que se elijan como comienzo de la serie, siempre que la sucesión obtenida sea convergente.

Demostración:

Para simplificar el cálculo del límite, se puede establecer la condición de que los términos de la serie formen una progresión geométrica, es decir, que ${\displaystyle P_{n}=q^{n}}$. Por lo tanto, cada cuatro puntos consecutivos de la serie, por ser conjugados armónicos, deben cumplir la condición:

${\displaystyle -1={\frac {(q^{n}-q^{n-1})(q^{n-2}-q^{n-3})}{(q^{n}-q^{n-2})(q^{n-1}-q^{n-3})}}={\frac {q}{(q+1)^{2}}}}$

En consecuencia, se obtiene el polinomio ${\displaystyle q^{2}+3q+1=0}$, con las soluciones ${\displaystyle q_{1}={\frac {-3+{\sqrt {5}}}{2}}=-\Phi ^{-2}}$ y ${\displaystyle q_{2}={\frac {-3-{\sqrt {5}}}{2}}=-\Phi ^{2}}$

Caso ${\displaystyle q_{1}}$

Tal como se ha calculado, el valor ${\displaystyle q_{1}}$ permite que los términos de la serie tomen la forma ${\displaystyle P_{n}=q_{1}^{\,\,n}}$. Como el valor absoluto de ${\displaystyle |q_{1}|<1}$, entonces la serie de ${\displaystyle P_{n}}$ es convergente y tiende a cero.

Sustituyendo estos términos en la expresón del límite, se tiene que:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {P_{n+2}-P_{n+1}}{P_{n+1}-P_{n}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {q_{1}^{\,\,n+2}-q_{1}^{\,\,n+1}}{q_{1}^{\,\,n+1}-q_{1}^{\,\,n}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {q_{1}^{\,\,n+1}(q_{1}-1)}{q_{1}^{\,\,n}(q_{1}-1)}}=q_{1}=-\Phi ^{-2}=-0,381966011...}$

Esta condición también se cumple en el resto de sucesiones de ${\displaystyle P_{n}}$ convergentes, teniendo en cuenta que la influencia de los valores iniciales acaba desapareciendo tras una serie de iteraciones.

Caso ${\displaystyle q_{2}}$

En el caso de ${\displaystyle q_{2}}$, su valor absoluto ${\displaystyle |q_{2}|>1}$, por lo que la serie ${\displaystyle P_{n}}$ no es convergente. Como en el caso anterior, sustituyendo estos términos en la expresón del límite, se tiene que:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {P_{n+2}-P_{n+1}}{P_{n+1}-P_{n}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {q_{2}^{\,\,n+2}-q_{2}^{\,\,n+1}}{q_{2}^{\,\,n+1}-q_{2}^{\,\,n}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {q_{2}^{\,\,n+1}(q_{2}-1)}{q_{2}^{\,\,n}(q_{2}-1)}}=q_{2}=-\Phi ^{2}=-2,61803399...}$

No se ha probado que la sucesión P_n pueda ser convergente, habida cuenta de que P₀,P₁ ,P₂ determinan el resto de la sucesión. Podría ocurrir que no existan valores iniciales que hagan la sucesión convergente y mucho menos que esta sea una progresión geométrica.