Distribución gamma

Si una variable aleatoria continua ${\displaystyle X}$ tiene distribución gamma con parámetros ${\displaystyle \alpha >0}$ y ${\displaystyle \lambda >0}$ entonces escribiremos ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}$.

Si ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}$ entonces su función de densidad es

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\lambda }{\Gamma (\alpha )}}(\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}$

para ${\displaystyle x>0}$ donde

${\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}dt}$

es la función gamma y satisface

1. ${\displaystyle \Gamma (2)=\Gamma (1)=1}$
2. Para cualquier ${\displaystyle \alpha >0}$ se cumple que ${\displaystyle \Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )}$
3. Si ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ entonces ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$
4. ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$
5. Si ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ entonces ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)={\frac {{\sqrt {\pi }}(n-1)!}{2^{n-1}\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}}$

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}$ está dada por

${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\lambda }{\Gamma (\alpha )}}(\lambda y)^{\alpha -1}e^{-\lambda y}\;dy}$

Si ${\displaystyle X}$ es una variable aleatoria tal que ${\displaystyle X\sim \Gamma (n,\lambda )}$ donde ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ (es decir, ${\displaystyle X}$ tiene una distribución de Erlang) entonces su función de distribución acumulada está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{X}(x)&=1-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(\lambda x)^{k}}{k!}}e^{-\lambda x}\\&=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {(\lambda x)^{k}}{k!}}e^{-\lambda x}\end{aligned}}}$

La media de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ es

${\displaystyle {\text{E}}[X]={\frac {\alpha }{\lambda }}}$

La varianza de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ es

${\displaystyle {\text{Var}}[X]={\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}}$

El ${\displaystyle n}$-ésimo momento de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ es

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]={\frac {\alpha (\alpha +1)\cdots (\alpha +n-1)}{\lambda ^{n}}}}$

para ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

La función generadora de momentos está dada por

${\displaystyle M_{X}(t)=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{\alpha }}$

para ${\displaystyle \lambda >t}$.

Si ${\displaystyle X_{i}\sim \Gamma (\alpha _{i},\lambda )}$ para ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$ son variables aleatorias independientes entonces

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i},\lambda \right)}$

Si ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}$ entonces para cualquier ${\displaystyle c>0}$

${\displaystyle cX\sim \Gamma \left(\alpha ,\lambda /c\right)}$

Puede demostrarse que

${\displaystyle \operatorname {E} [\ln(X)]=\psi (\alpha )-\ln(\lambda )}$

donde ${\displaystyle \psi }$ es la función digamma.

Para ${\displaystyle x>0}$, la función de densidad de la distribución Gamma está dada por

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\lambda }{\Gamma (\alpha )}}(\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}$

entonces para evaluar la función de densidad ${\displaystyle f_{X}(x)}$ utilizamos el siguiente código

# d=density function
dgamma(x,α,λ)

La función de distribución acumulada de la distribución Gamma está dada por

${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\lambda }{\Gamma (\alpha )}}(\lambda y)^{\alpha -1}e^{-\lambda y}\;dy}$

para ${\displaystyle x>0}$, se puede utilizar el siguiente código para evaluar al función de distribución acumulada ${\displaystyle F_{X}(x)}$

# p=probability distribution function
pgamma(x,α,λ)