Distribución de probabilidad continua

Para una variable continua hay infinitos valores posibles de la variable y entre cada dos de ellos se pueden definir infinitos valores más. En estas condiciones no es posible deducir la probabilidad de un valor puntual de la variable; como se puede hacer en el caso de variables discretas, pero es posible calcular la probabilidad acumulada hasta un cierto valor (función de distribución de probabilidad), y se puede analizar como cambia la probabilidad acumulada en cada punto (estos cambios no son probabilidades sino otro concepto: la función de densidad.

En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(x)\,dx}$

Sea ${\displaystyle X}$ una variable continua, una distribución de probabilidad o función de densidad de probabilidad (FDP) de ${\displaystyle X}$ es una función ${\displaystyle f(x)}$ tal que, para cualesquiera dos números ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ siendo ${\displaystyle a\leq b}$.

${\displaystyle P(a\leq X\leq b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

La gráfica de ${\displaystyle f(x)}$ se conoce a veces como curva de densidad, la probabilidad de que ${\displaystyle X}$ tome un valor en el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ es el área bajo la curva de la función de densidad; así, la función mide concentración de probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua.

${\displaystyle P(a\leq X\leq b)=}$ área bajo la curva de ${\displaystyle f(x)}$ entre ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$

Para que ${\displaystyle f(x)}$ sea una FDP (${\displaystyle FDP=f(x)}$) legítima, debe satisfacer las siguientes dos condiciones:

1. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \geq \;}$ 0 para toda ${\displaystyle x}$.

2. ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1}$

Ya que la probabilidad es siempre un número positivo, la FDP es una función no decreciente que cumple:

1. ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x)=1}$. Es decir, la probabilidad de todo el espacio muestral es 1.

2. ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}$. Es decir, la probabilidad del suceso nulo es cero.

Algunas FDP están declaradas en rangos de ${\displaystyle -\infty \;}$ a ${\displaystyle \infty \;}$, como la de la distribución normal.

Las distribuciones de variable continua más importantes son las siguientes:

• Distribución Beta
• Distribución exponencial
• Distribución F
• Distribución Gamma
• Distribución ji cuadrado
• Distribución normal
• Distribución t de Student
• Distribución uniforme continua

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