Energía mecánica

Para cualquier fuerza neta que actúe sobre una partícula de masa ${\displaystyle m}$ que se mueve a lo largo de una trayectoria curvilínea cualquiera, se puede demostrar que su trabajo es igual a la variación de la energía cinética de la partícula.

${\displaystyle W={\displaystyle \int _{P_{1}}^{P_{2}}{\vec {F}}\cdot {\overrightarrow {dr}}}={\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}\cdot {\vec {v}}\;dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}\;dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d(v^{2})}{dt}}\,dt={\frac {m}{2}}\int _{v_{1}^{2}}^{v_{2}^{2}}d(v^{2})={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta {E_{c}}}=E_{c_{2}}-E_{c_{1}}}$

siendo,

${\displaystyle \;{\vec {a}}\;}$ el vector aceleración de la partícula, ${\displaystyle \;{\vec {F}}=m\cdot {\vec {a}}\;}$ la segunda Ley de Newton aplicada a la partícula de masa ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle \;{\vec {v}}\;}$ su vector velocidad, ${\displaystyle \;{\overrightarrow {dr}}={\vec {v}}\,dt\;}$ el vector desplazamiento elemental del móvil sobre la curva y ${\displaystyle \;t_{1}\,}$ y ${\displaystyle t_{2}\,}$ los instantes inicial y final asociados a las posiciones ${\displaystyle P_{1}\,}$ y ${\displaystyle P_{2}\,}$ inicial y final de la trayectoria, respectivamente.

Esta relación expresa que: el trabajo realizado por una fuerza F sobre una partícula a lo largo de una curva desde un instante inicial a uno final, es igual a la variación de energía cinética del móvil entre ambos instantes de tiempo, es el Teorema de variación de la energía cinética. Se verifica siempre, con independencia de la naturaleza de la fuerza ${\displaystyle F}$ que puede ser conservativa, no conservativa o puede ser la resultante de fuerzas de diferente naturaleza.

• NOTA: justificación de los pasos intermedios para la demostración del teorema de la energía cinética

${\displaystyle {\frac {d(v^{2})}{dt}}\,={\frac {d({\vec {v}}\,.\,{\vec {v}})}{dt}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\,.\,{\vec {v}}+{\vec {v}}\,.\,{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=2\,{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\,.\,{\vec {v}}=2\,{\vec {a}}\,.\,{\vec {v}}}$

La energía cinética se presenta con diferentes expresiones dependiendo del tipo de movimiento descrito y la naturaleza del medio material.

De acuerdo con el teorema de la energía cinética, la energía cinética de un bloque de masa ${\displaystyle m}$ que se desplaza por una superficie horizontal con una velocidad ${\displaystyle v}$ es el trabajo realizado por la fuerza para llevar el bloque desde el reposo ${\displaystyle (v=0)}$ hasta alcanzar una velocidad ${\displaystyle v}$ determinada. Este cuerpo ha ganado una energía mecánica igual a la energía cinética alcanzada a la velocidad ${\displaystyle v}$, como consecuencia del trabajo realizado por la fuerza que se aplica hasta alcanzar la citada velocidad.[3]

${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Otra interpretación que se puede dar a la energía cinética es la del trabajo que realiza una fuerza sobre una partícula en movimiento, con una determinada velocidad inicial, oponiéndose a este, hasta detenerla. La energía cinética es una magnitud escalar, por tanto sin dirección ni sentido, como lo es todo tipo de energía, y siempre es mayor o igual que 0 ${\displaystyle (J)}$. En esta ocasión, la partícula ha perdido toda su energía mecánica inicial.

Péndulo balístico: La energía cinética de la bala se transmite al bloque provocando su movimiento hasta alcanzar una determinada altura donde se para. En esa posición, toda la energía cinética inicial, se transforma en energía potencial. A mayor energía cinética, mayor altura alcanza el bloque

Para analizar este tipo de energía en movimiento se puede considerar un péndulo. Si se libera la masa del péndulo desde un extremo de manera que oscile de un lado hacia el otro, va perdiendo altura en su movimiento hasta alcanzar el punto más bajo. La energía potencial se hace mínima en este lugar, a pesar de lo cual, la masa no se detiene y continúa su movimiento. Esto es gracias a una energía distinta, independiente de su trayectoria y del mecanismo que la origina, que le permite subir de nuevo, la energía cinética. A su vez, al alcanzar la altura máxima esta otra forma de energía desaparece, la energía potencial alcanza un máximo y se repite el proceso.

Para obtener una fórmula que exprese la energía asociada al movimiento hay que tener en cuenta que en el punto más bajo debe haber una cantidad de energía que le permita subir, de nuevo, hasta una cierta altura. Como esta energía se encuentra asociada al movimiento recibe el nombre de energía cinética. La energía cinética que alcanza en el punto más bajo es equivalente a su energía potencial máxima, es decir, al peso ${\displaystyle P=mg}$ multiplicado por la altura ${\displaystyle h}$ que puede alcanzar el péndulo en correspondencia con su velocidad: ${\displaystyle E_{c}=Ph}$. Si esta fórmula se expresa en función de las variables ${\displaystyle v}$, velocidad del movimiento, y ${\displaystyle g}$, aceleración del movimiento, se obtiene: ${\displaystyle E_{c}={{\frac {1}{2g}}Pv^{2}}}$, dado que ${\displaystyle h={\frac {v^{2}}{2g}}}$. Esto es debido a que la energía mecánica del péndulo se conserva y toda la energía potencial que almacena, a una altura máxima ${\displaystyle h}$, se transforma en energía cinética máxima, debida al movimiento con velocidad ${\displaystyle v}$ en su parte más baja.

El hecho de que el movimiento lleve asociada una energía no tiene nada que ver con que el péndulo se encuentre en un campo gravitatorio. La fórmula deducida anteriormente para la energía cinética es incorrecta para grandes velocidades por la necesidad de realizar una corrección relativista.

El péndulo cónico puede actuar como un selector de velocidades, a mayor par de fuerzas ejercido sobre el péndulo, mayor velocidad alcanzará, mayor será su energía cinética de rotación y, por tanto, mayor será la altura alcanzada.

Se va a deducir la expresión de la energía cinética de un cuerpo sólido que gira alrededor de un eje con una velocidad angular ${\displaystyle \omega }$ y está sometido a un par de fuerzas de momento ${\displaystyle \tau }$. En lugar de la noción de masa m hay que emplear el momento de inercia ${\displaystyle I}$ del sólido respecto al eje de rotación, en lugar de distancias hay que emplear ángulos ${\displaystyle \theta }$ y en lugar de aceleraciones lineales ${\displaystyle a}$ hay que emplear aceleraciones angulares ${\displaystyle \alpha }$.

El trabajo ${\displaystyle W}$ producido por el par de fuerzas ${\displaystyle \tau }$ al realizar un desplazamiento angular de ${\displaystyle \theta _{1}}$ a ${\displaystyle \theta _{2}}$ viene expresado por la integral entre ${\displaystyle \theta _{1}}$ y ${\displaystyle \theta _{2}}$ del trabajo elemental ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \delta \theta }$:[4]

${\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \cdot \delta \theta }$

Si el par de fuerzas ${\displaystyle \tau }$ fuera constante y el ángulo descrito finito ${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1}}$ la expresión general se reduciría al producto del par (${\displaystyle \theta }$) por el desplazamiento angular ${\displaystyle (\theta _{2}-\theta _{1})}$:

${\displaystyle W=\tau \cdot \Delta \theta }$

En un caso general de dinámica de la rotación donde la ley de Newton queda sustituida por ${\displaystyle \tau =I\alpha }$ el trabajo elemental realizado sería

${\displaystyle \tau d\theta =I\alpha d\theta =I{\frac {d\omega }{dt}}d\theta =I\omega d\omega =I{\frac {1}{2}}d(\omega ^{2})}$ y la variación de la energía cinética correspondiente quedaría representa por la expresión:

${\displaystyle W=\int _{\omega _{1}}^{\omega _{2}}I{\frac {1}{2}}d(\omega ^{2})=({\frac {1}{2}}I(\omega _{2})^{2}-{\frac {1}{2}}I(\omega _{1})^{2})=Ec_{2}-Ec_{1}}$

Donde ${\displaystyle \omega _{1}}$ y ${\displaystyle \omega _{2}}$ representan los valores de la velocidad angular y ${\displaystyle \alpha _{1}}$ y ${\displaystyle \alpha _{2}}$ los de la aceleración angular del sólido en las situaciones 1 y 2, respectivamente. Este es el Teorema de la Energía cinética para un trabajo realizado por un par de fuerzas en un desplazamiento angular. La expresión de la energía cinética de rotación, es, pues,

${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}$.

Un ejemplo de interés es el péndulo cónico del longitud ${\displaystyle l}$, que actúa como un selector de velocidades, a mayor par de fuerzas ejercido sobre el péndulo, mayor velocidad alcanzará, mayor será su energía cinética de rotación y mayor, será, por tanto, la altura alcanzada. Esto es debido a que el ángulo ${\displaystyle \phi }$ que forma con la vertical aumenta al aumentar la velocidad angular, según la ley ${\displaystyle cos\phi ={\frac {g}{l.\omega ^{2}}}}$

La potencia instantánea desarrollada en el movimiento de rotación, si el par ${\displaystyle \tau }$ es constante, viene expresada por:

${\displaystyle P={\frac {dW}{dt}}=\tau \cdot \omega }$

En este ejemplo, un satélite está orbitando alrededor de la Tierra atraído únicamente por una fuerza gravitatoria, que es una fuerza conservativa, por lo tanto la energía mecánica se conserva. Al ser un movimiento circular, la energía potencial depende de la altura del satélite y es constante, por lo tanto la energía cinética es también constante. En consecuencia, el módulo de la velocidad del satélite es constante. En la imagen se representa la aceleración con un vector verde, y la velocidad con un vector rojo . Si la órbita que sigue el satélite fuera una elipse, la energía potencial y la energía cinética variarían con el tiempo pero su suma permanecería constante.

La fuerza gravitatoria (atractiva) que la Tierra ejerce sobre un cuerpo de masa ${\displaystyle m}$ viene dada por la expresión:

${\displaystyle F_{g}=G{\frac {m_{T}m}{r^{2}}}}$

donde ${\displaystyle m_{T}}$ es la masa de la Tierra, ${\displaystyle r}$ la distancia del cuerpo al centro de la Tierra y G es la constante de gravitación universal la cual tiene un valor aproximadamente igual a 6,6742 × 10⁻¹¹ N.m²/kg².

La expresión del trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al desplazarse el cuerpo desde la altura ${\displaystyle r_{1}}$ hasta la altura ${\displaystyle r_{2}}$ será la siguiente:[5]

${\displaystyle W_{grav}=\int _{r_{1}}^{r_{2}}F_{r}\cdot dl}$

Donde ${\displaystyle F_{r}}$ es la componente radial (tomada según la vertical) de la fuerza gravitatoria ${\displaystyle F_{g}}$ y ${\displaystyle dl}$ una pequeña variación de la altura.

Sustituyendo la componente ${\displaystyle F_{r}}$ en la expresión del trabajo ${\displaystyle W}$, se obtiene para el trabajo de la fuerza gravitatoria:

${\displaystyle W_{grav}=-Gm_{T}m\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {dr}{r^{2}}}=G{\frac {m_{T}m}{r_{2}}}-G{\frac {m_{T}m}{r_{1}}}=U_{2}-U_{1}}$

Donde ${\displaystyle U=-G{\frac {m_{T}m}{r}}}$ es la expresión de la energía potencial gravitatoria. Obsérvese que la energía potencial se anula en el infinito (a distancias muy grandes) y va creciendo en módulo al aproximarse al centro de la Tierra. O sea que se está midiendo el valor de la energía potencial con respecto a un punto muy alejado donde se considera que se encuentra el origen de energías potenciales.

En el supuesto de que la órbita descrita fuera circular, lo cual puede aproximarse bastante a la realidad, la velocidad del satélite sería constante y el movimiento descrito circular uniforme. Llamando ${\displaystyle v}$ a la velocidad, ${\displaystyle T}$ al periodo empleado por el satélite en recorrer la órbita y ${\displaystyle r}$ la altura del mismo medido con relación al centro de la tierra se puede aplicar la segunda ley de Newton, la fuerza que actúa es la gravitatoria, la masa del satélite es ${\displaystyle m}$ y la aceleración es la aceleración centrífuga ${\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}}$. por lo tanto la situación de equilibrio dinámico requiere: ${\displaystyle G{\frac {m_{T}m}{r}}={\frac {mv^{2}}{r}}}$, de donde despejando ${\displaystyle v}$ se obtiene ${\displaystyle v={\sqrt {G{\frac {m_{T}}{r}}}}}$.[6]

De aquí se deduce que la velocidad del satélite no depende de su masa, sino única y exclusivamente de la masa de la Tierra y de la altura medida con respecto al centro de la misma.

En segundo lugar, el período ${\displaystyle T}$ que tarda el satélite en describir una órbita completa se obtiene de la siguiente expresión:

${\displaystyle v={\frac {2\pi r}{T}}}$

por ello, despejando la T y sustituyendo la expresión de la v, se obtiene:

${\displaystyle T=2\pi r{\sqrt {\frac {r}{Gm_{T}}}}={\frac {2\pi r^{3/2}}{\sqrt {Gm_{T}}}}}$ Se puede observar que cuanto más grande sea la órbita, menor será la velocidad y mayor el período del satélite .

Epitafio de Stevin: El número de bolas de la cadena, que 'cuelgan' en la vertical del plano inclinado, proporciona una idea intuitiva de la energía potencial de la parte de la cadena que yace sobre el plano inclinado. A menor altura h, menos bolas tiene la cadena en la parte vertical y menor será, por tanto, la energía potencial de la cadena que yace en el plano vertical y viceversa (cadena en equilibrio).

La expresión de la energía potencial gravitatoria en las proximidades de la superficie terrestre adquiere una forma sencilla y muy empleada en la práctica. Sin embargo no se toma el infinito como origen de energía potencial, como se ha hecho en el párrafo anterior, sino que resulta mucho más práctico tomar la superficie de la Tierra como origen de energía potencial ( energía potencial cero ). Se va a deducir la expresión de esta energía. Para ello, la posición del cuerpo de masa ${\displaystyle m}$ se mide por la altura ${\displaystyle h}$ que posee medida con respecto al suelo y tomada según la vertical. La condición de proximidad del cuerpo a la superficie terrestre se expresa matemáticamente mediante la condición ${\displaystyle h<<R_{T}}$, donde ${\displaystyle R_{T}}$ representa el radio terrestre.

${\displaystyle E_{p}(h)=(-G{\frac {m_{T}m}{R_{T}+h}})-(-G{\frac {m_{T}m}{R_{T}}})=m{\frac {Gm_{T}}{R_{T}^{2}}}h=mgh}$

donde ${\displaystyle g={\frac {Gm_{T}}{R_{T}^{2}}}}$es una constante ( obtenida a partir de otras tres constantes ) que presenta dimensiones de aceleración y es la aceleración de la gravedad sobre la superficie de la tierra.

${\displaystyle E_{p}(h)=mgh}$ es la expresión bien conocida de la energía potencial ${\displaystyle E_{p}(h)}$ debida al peso ${\displaystyle P=mg}$ de una masa ${\displaystyle m}$ cerca de la superficie de la Tierra a una altura ${\displaystyle h}$ por encima de su posición más baja.

Una manera intuitiva de conocer la energía potencial debida al peso de un cuerpo es debida al matemático Simon Stevin. En su epitafio figura una cadena en equilibrio sobre un plano inclinado. El número de bolas que permanecen en la parte vertical del plano proporciona una idea de la energía potencial de las bolas sobre el plano inclinado. Si el plano tuviera más pendiente, mayor sería en número de bolas en la parte vertical y mayor sería la energía potencial de las bolas sobre el plano inclinado. Y viceversa, si la altura va disminuyendo, menor será el número de bolas en la vertical y menor su energía potencial hasta llegar a la altura ${\displaystyle h=0}$ donde en la vertical no hay ninguna bola y correspondientemente la energía potencial de la cadena sería cero.

El sistema mecánico oscilatorio más sencillo: una masa m sujeta a un muelle de constante elástica k. El cuerpo oscila en el eje x.

Como ya se mencionó en la introducción, el sistema más simple para poder analizar el comportamiento de las fuerzas elásticas es el resorte aplicado a un bloque de pequeñas dimensiones y de masa m. Para mantener un resorte estirado en una longitud ${\displaystyle x}$ más allá de su longitud natural o de equilibrio, hay que aplicar una fuerza cuyo módulo puede expresarse como: ${\displaystyle |F_{x}|=k|x|}$, donde ${\displaystyle k}$ es la constante elástica del resorte que se mide en N/m en el SI. Cuando el resorte se encuentra estirado o comprimido, con un extremo fijo y en el otro está sujeta la masa, aparece una fuerza recuperadora ${\displaystyle F_{x}}$ sobre esta masa sujeta al muelle igual y de sentido contrario, de manera que ${\displaystyle F_{x}=-kx}$ y esta fuerza tiende siempre a llevar a la masa a la posición de equilibrio, donde el muelle está en su longitud natural (tanto si se ha estirado como si se ha contraído). Esta expresión establece una relación lineal entre la fuerza elástica y la distancia ${\displaystyle x}$ que se ha comprimido o estirado el muelle, y se conoce como ley de Hooke.

Si se quiere calcular el trabajo de la fuerza elástica realizado sobre la masa sujeta al muelle en el extremo libre, basta estirar la masa una distancia ${\displaystyle x}$ y observar el desplazamiento hacia la posición de equilibrio ${\displaystyle x=0}$, producido por la fuerza elástica ${\displaystyle F_{x}}$. El trabajo realizado por la fuerza elástica queda almacenado en el resorte en forma de energía potencial elástica ${\displaystyle E_{p}}$. Se puede calcular este trabajo de la fuerza elástica actuando sobre la masa de manera más intuitiva como el área bajo la recta ${\displaystyle F_{x}=kx}$, con la relación lineal entre la fuerza elástica ${\displaystyle F_{x}}$ y la variable ${\displaystyle x}$, que representa la cantidad estirada o comprimida del muelle. Como la fuerza recuperadora del muelle es conservativa, se puede relacionar este trabajo con la energía potencial disponible para la masa, en función de la distancia ${\displaystyle x}$ y la energía almacenada en el muelle.

Para calcular dicho trabajo, resulta de interés recurrir a la representación gráfica de la ley lineal ${\displaystyle F_{x}=kx}$ y calcular el trabajo ${\displaystyle W}$ realizado en contra de la fuerza elástica para trasladar la masa sujeta al muelle, estirándola desde la posición de equilibrio ${\displaystyle x=0}$ hasta una posición ${\displaystyle x>0}$. Por tanto, si se representa en una figura la elongación ${\displaystyle x}$ en el eje horizontal y la fuerza ${\displaystyle F_{x}}$ en el eje vertical, la ley de Hooke viene descrita por una recta de pendiente ${\displaystyle k}$.

El área bajo la recta representa el trabajo realizado por la fuerza.

El trabajo realizado en contra de la fuerza elástica para trasladar la masa m desde la posición de reposo ${\displaystyle (x=0)}$ hasta la posición ${\displaystyle x}$ será: ${\displaystyle W=\int _{0}^{x}F_{x}\,dx=\int _{0}^{x}kx\,dx={1 \over 2}kx^{2}}$, que gráficamente corresponde con el área del triángulo comprendido entre ${\displaystyle 0}$ y ${\displaystyle x}$. Como se ha comentado, la fuerza elástica es conservativa y su trabajo representa la variación de una energía potencial que almacena el muelle en función de la elongación ${\displaystyle x}$ y de la que dispone la masa m en su movimiento oscilatorio. Esta energía potencial elástica que adquiere la masa sujeta al muelle, cuando está en la posición ${\displaystyle x}$, es: ${\displaystyle E_{p}={1 \over 2}kx^{2}}$

El trabajo realizado sobre la masa m, en contra de la fuerza elástica, en un estiramiento de ${\displaystyle x_{1}}$ a ${\displaystyle x_{2}}$ vendrá dado por la expresión:

${\displaystyle W=\int _{x_{1}}^{x_{2}}F_{x}\,dx=\int _{x_{1}}^{x_{2}}kx\,dx={1 \over 2}k(x_{2}^{2}-x_{1}^{2})=E_{p2}-E_{p1}}$

Lo que representa el incremento de energía potencial elástica que adquiere la masa m al estirar el muelle de ${\displaystyle x_{1}}$ a ${\displaystyle x_{2}}$. Si el resorte se comprime respecto de su longitud natural, en lugar de estirarse, los razonamientos son análogos pero la elongación ${\displaystyle x}$ del muelle respecto de su posición de equilibrio será negativa. De esta forma la masa m oscilará en torno a la posición de equilibrio ${\displaystyle x=0}$ entre una posición de máximo estiramiento ${\displaystyle x_{max}}$ y otra de máxima compresión ${\displaystyle -x_{max}}$. La energía potencial elástica será máxima en las posiciones extremas de alargamiento y compresión y será cero en el equilibrio.

Si sobre el cuerpo que actúa la fuerza elástica también actúa la fuerza gravitatoria, por tener una masa ${\displaystyle m}$, como ambas son conservativas tienen asociadas una energía potencial. La energía potencial total que adquiere entonces el cuerpo, en virtud de su posición, será la suma de las energías potencial gravitatoria y elástica: ${\displaystyle E_{p}=E_{p(elast.)}+E_{p(grav.)}}$.[7]

Se acaba de considerar cómo la energía debida a la fuerza elástica que se manifiesta cuando el resorte está bajo tensión o bajo compresión. Si un pequeño bloque sujeto a un resorte comprimido se coloca en posición horizontal (para que el efecto de la gravedad no afecte al sistema) y se suelta se puede observar su movimiento oscilatorio al estirarse y comprimirse el muelle de forma alternativa, pasando cada vez por la posición de equilibrio. Debido a la resistencia del aire, el bloque al cabo de un cierto tiempo, llega a pararse. Sucede entonces que toda la energía potencial de la cual se disponía el bloque al principio en forma de energía potencial elástica acaba por disiparse al exterior en forma de calor. El calor es, por tanto, otra forma de energía originada por el movimiento de las partículas que componen la estructura interna del material sólido del que está construido el resorte. Esta nueva manifestación de energía representa la agitación térmica de las moléculas de aire del entorno que hace que aumente la temperatura del mismo.

Existen otras muchas formas de energía de las que se hará una breve descripción.La energía eléctrica que está relacionada con el movimiento de las cargas eléctricas; la energía radiante, que es la energía electromagnética que transportan las ondas del espectro electromagnético, de especial interés cuando están en la región del espectro visible. Mención de interés también la energía química que es la que se libera en las reacciones químicas, y la energía nuclear cuyas fuerzas rigen las leyes de las partículas dentro del núcleo.

Cuando se consideran partículas con velocidades muy elevadas (próximas a la velocidad de la luz en el vacío), de acuerdo con la teoría de la relatividad, es preciso modificar las expresiones de la energía cinética de dichas partículas. Considerando una partícula de masa ${\displaystyle m}$, como en la expresión relativista la masa depende de la velocidad ${\displaystyle m(v)}$,su masa de reposo ${\displaystyle m_{0}}$ posee ya una energía ${\displaystyle m_{0}c^{2}}$, donde ${\displaystyle c}$ es la velocidad de la luz en el vacío y la energía total de la partícula es ${\displaystyle E=mc^{2}}$. Además la energía cinética de la partícula relativista se puede calcular en función de su energía total y de su energía en reposo: ${\displaystyle E_{c}=mc^{2}-m_{0}c^{2}}$. Si la velocidad de la partícula es mucho menor que la de la luz la expresión anterior queda reducida a la ya conocida ${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$. La expresión de la energía relativista ${\displaystyle E=mc^{2}}$ aporta un significado importante, cuando se analiza el principio de conservación de la energía, ya que tiene en cuenta la energía que posee un cuerpo como consecuencia de su masa. Cuando se apela a este principio en su expresión más general, está implícita la equivalencia masa-energía de la Relatividad Especial. Existen muchas formas de energía y la energía debida a la masa se puede considerar como una de ellas. A modo de ejemplo, se presenta un ejemplo de conservación de la energía que tiene en cuenta la energía asociada a la masa de las partículas. Si en un equipo de PET colisionan un positrón y un electrón, ambos con la misma masa en reposo, como resultado de su aniquilación dan lugar a una cantidad determinada de energía radiante equivalente, que se puede medir y calcular en la experiencia. Para ello basta conocer, en el momento de la colisión, la masa de las dos partículas que se aniquilan mutuamente, liberando, de esa forma, la energía debido a la masa que contienen: ${\displaystyle E=m_{e}c^{2}+m_{p}c^{2}}$

James Prescott Joule

El calor es una forma de transferencia de energía entre un sistema y el medio que lo rodea. Al analizar el origen microscópico de esa transferencia de energía, observamos que al recibir calor del exterior las moléculas que constituyen el sistema, se produce un aumento de la energía cinética promedio de las mismas, es decir, un aumento de su energía cinética de agitación térmica y viceversa, una disminución de su energía cinética promedio, significa una transferencia de energía en forma de calor al exterior. Sin embargo, la energía almacenada en un sistema no es calor, como tampoco lo es el trabajo, ambas magnitudes físicas representan una energía en tránsito que es absorbida o cedida por los cuerpos. Además, el calor se suele disipar en los alrededores del sistema, lo que significa una pérdida de la energía por parte de los cuerpos que intervienen en el proceso. En 1845, James Prescott Joule publicó un trabajo "The Mechanical Equivalent of Heat", en el que obtiene un valor numérico concreto para la cantidad de trabajo mecánico que se necesita para producir una unidad de calor, es el equivalente mecánico del calor que permite expresar la unidad de calor, la caloría, en julios.

La unidad del calor en el SI es el julio (J), aunque también se puede expresar en calorías (unidad tradicional para el calor):

1 (caloría) = 4,1840 (julios)

El calor es una forma de intercambio de energía en los sistemas físicos cuando éstos están sujetos a una serie de procesos en los que absorben o ceden energía. Un sistema al absorber calor y aumentar su energía interna, aumenta su temperatura. La noción de temperatura está relacionado con el estado de agitación térmica de las partículas que componen el sistema. Por ello, cuando no hay un intercambio de energía con el exterior, se dice que el sistema está en equilibrio térmico y los objetos que componen el sistema tendrán todos la misma temperatura y e igual a la de los alrededores.

Para que haya equilibrio térmico entre dos sistemas, las energías cinéticas promedio de las partículas de los sistemas que interactúan tienen que ser las mismas. Esto es debido a que la energía cinética promedio del sistema es una medida de su estado de agitación térmica.

Definiendo la energía cinética promedio (por partícula) para un sistema de ${\displaystyle N}$ partículas cada una de ellas de masa ${\displaystyle m_{i}\;(i=1,2,3,...N)}$ como:

${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{N}}(\Sigma _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2})}$

-${\displaystyle N}$ es el número total de partículas

-${\displaystyle v_{i}}$ es la velocidad de la partícula i-esima del sistema

Aplicado a un gas conteniendo N moléculas, la forma aproximada de su energía cinética es: ${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}Nm{\overline {v^{2}}}}$, siendo ${\displaystyle m{\overline {v^{2}}}}$ la velocidad cuadrática media de las molécula del gas. Además, la teoría cinética de gases afirma que la velocidad cuadrática media de las moléculas se puede expresar como: ${\displaystyle {\overline {v^{2}}}={3k_{B}T \over m}}$, siendo ${\displaystyle k_{B}}$ la constante de Boltzmann y ${\displaystyle m}$ la masa molecular. De modo que la temperatura absoluta del gas ${\displaystyle \displaystyle T}$ se puede expresar en función de la energía cinética ${\displaystyle E_{c}}$ del sistema como:

${\displaystyle \displaystyle T={m{\overline {v^{2}}} \over 3k_{B}}}$

y, por tanto, la temperatura,

${\displaystyle \displaystyle T={\frac {2}{3}}{\frac {E_{c}}{Nk_{B}}}}$,

este es un resultado importante de la teoría cinética: "el promedio de la energía cinética de las moléculas es proporcional a la temperatura absoluta del gas ideal".

Así la temperatura aparece como una cantidad relacionada con la energía cinética promedio de las partículas del sistema. Se puede afirmar que: dos sistemas en equilibrio térmico deben estar a la misma temperatura, y que la energía se puede intercambiar en forma de calor solamente cuando la temperatura de dos sistemas es diferente, transfiriéndose el calor de forma natural desde el cuerpo de mayor al de menor temperatura (sentido de la flecha de un proceso irreversible). El sentido de la flecha (único sentido en el que se realiza el proceso) en los procesos naturales, viene regulado por el segundo principio de la Termodinámica a través de la función entropía. La función entropía del sistema sumada a la de los alrededores que interaccionan con él, siempre aumenta cuando tiene lugar un proceso irreversible.

El trabajo realizado por las fuerzas disipativas, de fricción o no conservativas, se manifiesta como una pérdida de la energía mecánica ${\displaystyle \Delta E_{mec}}$. Tiene su origen en las fuerzas de fricción entre sólidos, que proporcionan el trabajo mecánico W que da finalmente la pérdida de energía, cuando el cuerpo está en movimiento sobre una superficie poco pulida y se mide su energía mecánica al inicio y al final del recorrido: de forma que ${\displaystyle E_{final}-E_{inicial}=\Delta E_{mec}}$ y ${\displaystyle \Delta E_{mec}=W_{no\ conservativas}}$. Este tipo de fuerzas no derivan de una energía potencial a diferencia de las fuerzas conservativas como la gravedad o la fuerza elástica. Si bien las fuerzas disipativas tienen leyes empíricas cuyos efectos se manifiestan en deformaciones de los sólidos y en pérdidas de la energía mecánica, tienen su origen, a nivel molecular de la materia, en las fuerzas electromagnéticas. Así, la pérdida de energía mecánica se intercambia con el exterior en forma de calor. Si consideramos toda la energía disponible incluida la pérdida en forma de calor por el cuerpo sujeto a fuerzas disipativas, ésta debe ser la misma que la energía mecánica inicial. En este sentido se habla de un principio de conservación de la energía más general: La energía total de un sistema aislado permanece constante, que Albert Einstein generalizó en su principio de equivalencia de masa-energía [8]

La fuerza de rozamiento es una fuerza que se opone al movimiento. Si se considera una fuerza ${\displaystyle F}$ constante, el trabajo ${\displaystyle W}$ realizado la fuerza sobre un objeto, le produce un desplazamiento ${\displaystyle \Delta x>0}$ positivo

${\displaystyle W={\vec {F}}.\,{\overrightarrow {\Delta x}}=F\Delta x\,cos\theta }$

Si ${\displaystyle F}$ es una fuerza de rozamiento tendrá signo opuesto al desplazamiento y por tanto en ángulo entre la fuerza y el vector desplazamiento ${\displaystyle \theta =\pi }$ y, en consecuencia, el trabajo ${\displaystyle W}$ realizado también será negativo.

${\displaystyle W=-F\,\Delta x<0}$

Un bloque se desplaza horizontalmente sujeto a una fuerza de rozamiento, y como consecuencia esta fuerza realiza un trabajo. Como no es conservativa, el trabajo total que realiza en el viaje de ida y vuelta no es nulo, todo lo contrario a lo que ocurriría si la fuerza fuera conservativa.

Debido a la fricción entre sólidos, hay una disipación en forma de calor hacia el exterior de los mismos. Esto es debido a la rugosidad que presentan las superficies comunes de separación que provoca un cambio en la energía mecánica de los sólidos sujetos a fuerzas de fricción, liberándola en forma de calor y también deformando los cuerpos. Si se considera la estructura interna de los dos cuerpos cuyas superficies están sujetas a fricción, puede haber un cambio en su estructura como consecuencia del rozamiento dinámico. En ese caso, la energía asociada al cambio de su estructura o al cambio de la temperatura de los dos cuerpos provoca un cambio o variación en la energía interna del material o materiales implicados que no será considerada. Los cuerpos sujetos a fricción se calientan aumentando su temperatura hasta llegar a una temperatura de equilibrio. Una vez llegan a su temperatura de equilibrio, se inicia la pérdida de energía en forma de calor al exterior de los cuerpos. Lo que siempre se ha de tener en cuenta, por tanto, es la disipación de energía, en forma de calor al exterior, como consecuencia del trabajo de las fuerzas de fricción. En el caso del bloque de masa ${\displaystyle m}$ deslizándose por la superficie rugosa, este trabajo es igual a la disminución de la energía cinética del bloque que al ir disminuyendo su velocidad acaba parándose. Con ayuda del teorema de la energía cinética, TEC, se puede verificar este razonamiento. Si se calcula la variación de energía mecánica del bloque al deslizarse sobre una superficie horizontal poco pulida desde una posición 1 con una velocidad ${\displaystyle v_{1}}$ hasta una posición 2 con una velocidad ${\displaystyle v_{2}}$, aplicando el TEC, se obtiene:

${\displaystyle \Delta E_{mec}=E_{mec_{1}}-E_{mec_{2}}=\Delta E_{c}={1 \over 2}mv_{2}^{2}-{1 \over 2}mv_{1}^{2}=W_{dis}}$

El cálculo del trabajo de la fuerza disipativa ${\displaystyle W_{dis}}$ se obtiene expresando la fuerza de rozamiento del bloque con la superficie como

${\displaystyle F_{dis}=-\mu N}$, siendo ${\displaystyle \mu }$ el coeficiente de rozamiento entre ambas superficies y ${\displaystyle N}$ la fuerza normal de presión entre ambas, permite obtener

${\displaystyle W_{dis}=-\mu N\Delta x}$, negativo por ser siempre el sentido del desplazamiento opuesto a la fuerza de rozamiento. De esta forma, el TEC se expresa: ${\displaystyle \Delta E_{mec}=\Delta E_{c}={1 \over 2}mv_{2}^{2}-{1 \over 2}mv_{1}^{2}=-\mu N\Delta x<0}$,

por lo que ${\displaystyle v_{2}<v_{1}}$ y ${\displaystyle E_{mec_{2}}<E_{mec_{1}}}$, como se quería justificar.

Por ello se puede afirmar que la disminución (signo negativo) en la energía mecánica es igual al trabajo efectuado por las fuerzas de fricción o de rozamiento. Para analizar la diferencia entre el trabajo realizado por una fuerza disipativa y una conservativa se muestra, a continuación, el resultado del trabajo realizado en un ciclo, en dos ejemplos distintos, uno por la fuerza de fricción y otro por la fuerza conservativa del peso. Cuando se quiere calcular el trabajo total de la fuerza de rozamiento ${\displaystyle W_{dis}}$, de ida y vuelta, al desplazarse el cuerpo por una superficie rugosa una distancia ${\displaystyle d}$, este trabajo total es negativo y en valor absoluto es dos veces el de ida. En efecto, si la fuerza de rozamiento del bloque con la superficie es: ${\displaystyle F_{dis}=-\mu N}$, siendo ${\displaystyle \mu }$ el coeficiente de rozamiento entre ambas superficies y ${\displaystyle N}$ la fuerza normal de presión entre ambas,${\displaystyle W_{dis}(total)=W_{dis}(ida)+W_{dis}(vuelta)=-\mu Nd-\mu Nd=-2\mu Nd<0}$.

Ejemplo del trabajo de una fuerza conservativa, el peso, en el viaje de ida y vuelta. Un ascensor con una persona dentro sube y baja. Se considera el trabajo realizado contra la fuerza del peso (de la persona y el ascensor) al subir, sumado al trabajo debido al citado peso al bajar. Como ambos trabajos son exactamente iguales pero de signo contrario, el trabajo total, será cero.

Por contraposición, si la fuerza fuera conservativa el trabajo total realizado por la fuerza sobre el bloque ida y vuelta (un ciclo), sería cero. Es el caso del trabajo realizado para elevar poco a poco (pasando por sucesivas posiciones de equilibrio) un cuerpo de masa ${\displaystyle m}$ una altura ${\displaystyle h}$ en contra de la gravedad y luego realizar el trabajo en sentido contrario, a favor de la gravedad, recorriendo el camino inverso. Ahora, el trabajo total, es nulo porque son trabajos iguales y opuestos y no habría, pérdida de energía mecánica en el sistema.

Por tanto, considerando el trabajo de la fuerza de fricción sobre el bloque deslizándose por la superficie rugosa, la energía mecánica ${\displaystyle \ E_{mec}}$ del cuerpo no se conservará:

${\displaystyle \Delta E_{mec}=W_{dis}=W_{no-conserv}<0}$ que corresponde a una disminución de la energía mecánica del bloque.

A continuación, se analiza la variación de la energía mecánica de un sistema en movimiento en un ejemplo más general, considerando que el bloque se traslada por un plano inclinado de superficie poco pulida teniendo, en una posición inicial, unas energías cinética ${\displaystyle E_{c1}}$ y potencial debida al peso ${\displaystyle E_{p1}}$ después de haber recorrido una distancia sobre la superficie rugosa hasta llegar a una posición final de energías ${\displaystyle E_{c2}}$ y ${\displaystyle E_{p2}}$ respectivamente. Si la energía mecánica se escribe como suma de las energías cinética y potencial debida al peso del bloque, ${\displaystyle E_{mec}=E_{c}+E_{p}}$, el principio de conservación de la energía se podrá expresar como:

${\displaystyle E_{c_{2}}-E_{c_{1}}=W_{conserv}+W_{dis}=E_{p_{1}}-E_{p_{2}}+W_{dis}}$, o también, ${\displaystyle E_{mec_{2}}=E_{mec_{1}}+W_{dis}}$.

Como ${\displaystyle W_{dis}<0}$, ${\displaystyle E_{mec_{1}}=E_{mec_{2}}+|W_{dis}|}$, o bien, ${\displaystyle \Delta E_{mec}+|W_{dis}|=0}$

Así, si se tiene en cuenta también la energía disipada al exterior del sistema, el principio de conservación de la energía conduce a un balance de energía en el que la energía mecánica de un sistema sujeto a fuerzas no conservativas, antes de sufrir la interacción con la fuerza disipativa, es igual a la energía mecánica del sistema después de sufrir dicha interacción más la energía disipada al exterior en forma de trabajo de la fuerza disipativa.

En la física está muy presente el principio de conservación de la energía para explicar los fenómenos que suceden en la naturaleza y en particular al tratar con el movimiento de fluidos (líquidos y gases). Cuando se trata con fluidos en movimiento por una conducción sobre la superficie de la Tierra y para explicar y calcular cómo se modifica su velocidad al variar su altura o presión, se debe aplicar el principio de Bernouilli (1738). Es un principio de conservación de la energía aplicado al fluido considerado como un continuo, incompresible (con densidad constante) que ignora las pérdidas debidas a la fricción. Aun considerando unas condiciones ideales, la ecuación de Bernouilli es capaz explicar fenómenos tan importantes como, el efecto Venturi, el efecto Magnus o la sustentación aerodinámica.

Ecuación de Bernoulli aplicada a un fluido en una conducción

Si se considera un fluido ideal que circula por una conducción de forma no uniforme y se analiza la variación de energía cinética y la variación de energía potencial de una rebanada del mismo en el tiempo que invierte en pasar de una posición que se llamará 1, a otra posición de la conducción que se llamará 2, la ecuación de conservación de la energía se expresará:

esta suma de variaciones de la energía cinética y de la energía potencial del sistema, es debida al trabajo realizado sobre los dos extremos del tubo por el fluido externo.

Para obtener la ecuación de Bernouilli se procede a desarrollar cada término de la ecuación de la conservación de la energía por unidad de volumen, en las dos posiciones 1 y 2 en función de su presión, velocidad y altura. Las condiciones físicas para la: primera rebanada son presión ${\displaystyle p_{1}}$,velocidad ${\displaystyle v_{1}}$ y altura medida respecto a una referencia dada ${\displaystyle h_{1}}$. Para la segunda presión ${\displaystyle p_{2}}$,velocidad ${\displaystyle v_{2}}$ y altura ${\displaystyle h_{2}}$.Si la densidad del fluido es ${\displaystyle \rho }$, la ecuación de conservación se expresa entonces como:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho \ \Delta V\ (v_{2}^{2}-v_{1}^{2})+\rho \ \Delta V\ g\ (h_{2}-h_{1})=A_{1}\ p_{1}\ \Delta s_{1}-A_{2}\ p_{2}\ \Delta s_{2}}$

Esto es debido a que la variación de energía cinética ${\displaystyle \Delta E_{c}}$ se escribe como ${\displaystyle \Delta E_{c}={\frac {1}{2}}\Delta m\ v_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\Delta m\ v_{1}^{2}}$, la variación de energía potencial ${\displaystyle \Delta E_{p}}$ como ${\displaystyle \Delta E_{p}=\Delta m\ gh_{2}-\Delta m\ gh_{1}}$, debido al peso de la rebanada de fluido (que tiene la misma masa al pasar de una posición 1 a la otra 2), a la diferencia de alturas entre las dos rebanadas y expresando la masa de la rebanada como ${\displaystyle \Delta m=\rho \ \Delta V}$.

Además, el trabajo neto total realizado sobre el fluido en la conducción es ${\displaystyle \Delta W=F_{1}\ \Delta s_{1}-F_{2}\ \Delta s_{2}}$ debido al trabajo realizado por el fluido externo en ambos extremos de la conducción y que el fluido situado en la parte derecha del punto 2 ejerce una fuerza ${\displaystyle F_{2}}$ opuesta al desplazamiento ${\displaystyle \Delta s_{2}}$ siendo, por tanto, su trabajo negativo. Finalmente, expresando la fuerza como el producto de la presión ${\displaystyle p}$ por el área de la sección transversal ${\displaystyle A}$, teniendo en cuenta que el volumen de la rebanada es ${\displaystyle \Delta V=A\ \Delta s}$ y dividiendo por ${\displaystyle \Delta V}$ en los tres términos de la ecuación de conservación de la energía, se obtiene la ecuación de Bernouilli:[9]

${\displaystyle p_{1}-p_{2}={\frac {1}{2}}\rho \ (v_{2}^{2}-v_{1}^{2})+\rho \ g\ (y_{2}-y_{1})}$

La ecuación de Bernouilli indica que el trabajo efectuado sobre una unidad de volumen de fluido por el fluido circundante es igual a la suma de los cambios de energía cinética y potencial por unidad de volumen que suceden durante el proceso.

Una forma más práctica de expresar la ecuación es la siguiente:

${\displaystyle p_{1}+\rho \ g\ h_{1}+{\frac {1}{2}}\rho \ v_{1}^{2}=p_{2}+\rho \ g\ h_{2}+{\frac {1}{2}}\rho \ v_{2}^{2}=L=cte}$

Se puede observar que todos los términos de la ecuación anterior representan energías por unidad de volumen. También puede interpretarse como una aplicación del principio de conservación de la energía por unidad de volumen a un fluido en movimiento.

El primer principio de la termodinámica es una forma de expresar el principio de conservación de la energía cuando sobre un sistema físico, sólido, líquido o gas, se realizan transferencias de calor y de trabajo desde el exterior del mismo. Más específicamente, suele aplicarse al funcionamiento de las máquinas térmicas, que al ser alimentadas con una cierta cantidad de calor ${\displaystyle Q}$, son capaces de realizar un trabajo mecánico ${\displaystyle W}$.

El aprovechamiento de la energía que genera una máquina térmica tanto para producir un trabajo mecánico, generar energía eléctrica como para funcionar como máquina frigorífica, debe cumplir, en primer lugar, el citado principio de la conservación de la energía. Tanto el trabajo realizado como el calor tomado del exterior se manifiestan como variaciones de la energía interna del sistema ${\displaystyle U}$ (energía de las moléculas que componen el sistema).

El primer principio se expresa diciendo que el calor ${\displaystyle Q}$ suministrado a una máquina térmica se emplea en realizar un trabajo ${\displaystyle W}$ y en modificar su energía interna ${\displaystyle U}$,

Primer Principio de la Termodinámica: ${\displaystyle Q=W+\Delta U}$, donde ${\displaystyle \Delta U}$ es la variación de la energía interna sufrida por el sistema al intercambiar calor y trabajo con el exterior.

La aplicación del Primer Principio de la Termodinámica presenta algunas restricciones expresadas en el segundo principio de la termodinámica que establecen un límite añadido a la producción máxima de trabajo. El límite impuesto por el Segundo Principio da lugar a la máquina térmica reversible distinguiéndola, a su vez, de la no-reversible, de menor rendimiento.

Para una posible aplicación práctica de estos dos principios podría acudirse a los equipos generadores de energía. En las centrales térmicas se produce el calor por la combustión de un combustible (carbón, petróleo, gas, etc.). En las centrales nucleares el calor se produce a partir de la energía nuclear. En ambos casos existe un fluido (agua) que se calienta hasta ser transformado en vapor muy caliente. El vapor mueve una turbina produciendo un trabajo. El vapor residual se ha enfriado y abandona la turbina, pero todavía posee un incremento de energía interna respecto al agua que se calentó. Ese incremento de energía interna no genera trabajo y se elimina al exterior refrigerando el vapor hasta recuperar el agua, la cual queda lista para un nuevo calentamiento.

El razonamiento del párrafo anterior ha consistido en una aplicación del Primer Principio de la Termodinámica. El razonamiento puede continuarse por aplicación del principio de conservación de la energía, observando que el trabajo desarrollado por la turbina es transmitido en la propia central a un alternador. El alternador genera energía eléctrica que es distribuida a los usuarios a través de una red eléctrica. Los usuarios transformarán la energía eléctrica en trabajo, en calor o en otros tipos de energía.

Para analizar el movimiento oscilatorio más sencillo, el M.A.S., se considera el sistema más básico: un pequeño cuerpo de masa ${\displaystyle m}$ que oscila en el extremo de un resorte, de masa despreciable y de constante recuperadora ${\displaystyle k}$, colocado horizontalmente. Suponiendo que el aire no ofrezca resistencia apreciable al movimiento de la masa sujeta al resorte, la fuerza recuperadora del resorte es la única fuerza horizontal (según la dirección del eje ${\displaystyle x}$) que actúa sobre el cuerpo y en primera aproximación obedece a la ley de Hooke ${\displaystyle F_{x}=-kx}$, con su posición de equilibrio en ${\displaystyle x=0}$. Al ser la fuerza elástica ${\displaystyle F}$ una fuerza conservativa, el sistema masa muelle posee una energía potencial elástica [sección 5.3.3], de forma que la energía mecánica del sistema ${\displaystyle E_{m}=E_{c}+E_{p}}$ es constante. La energía cinética del cuerpo es ${\displaystyle E_{c}={1 \over 2}mv^{2}}$ y la energía potencial del resorte, cuando se encuentre estirado o comprimido una distancia ${\displaystyle x}$, es según se vio en la sección de energía potencial elástica (5.3.3): ${\displaystyle E_{p}={1 \over 2}kx^{2}}$. Al no haber fuerzas de fricción que efectúen un trabajo, la energía mecánica se conserva y es una constante:

${\displaystyle E_{m}={1 \over 2}mv^{2}+{1 \over 2}kx^{2}=constante}$

La energía está relacionada con la amplitud, ${\displaystyle A}$, del movimiento generado. Cuando el desplazamiento de la masa respecto a la posición de equilibrio es máximo, ${\displaystyle x=A}$ siendo ${\displaystyle A}$ la amplitud del movimiento, la energía potencial es máxima ${\displaystyle E_{p}={1 \over 2}kA^{2}}$ y proporcional a la amplitud al cuadrado, y la energía cinética es cero, puesto que su velocidad es ${\displaystyle v=v_{x}=0}$. Por lo tanto, en esa posición, la energía mecánica es solo de origen potencial, ${\displaystyle E_{m}={1 \over 2}kA^{2}}$. Por lo tanto:

${\displaystyle E_{m}={1 \over 2}mv^{2}+{1 \over 2}kx^{2}={1 \over 2}kA^{2}=constante}$

De esta ecuación se puede deducir la expresión de la velocidad ${\displaystyle v=v_{x}}$ para cualquier desplazamiento de x:

${\displaystyle v_{x}=\pm {\sqrt {{k \over m}(A^{2}-x^{2})}}}$

Por otro lado, se puede observar que la velocidad máxima se obtiene para ${\displaystyle x=0}$. Llamando ${\displaystyle {\omega }={\sqrt {k \over m}}}$, se deduce: ${\displaystyle v_{max}=\omega A}$. De acuerdo con la nueva notación, la masa oscila con una velocidad entre ${\displaystyle -\omega A}$ y ${\displaystyle +\omega A}$. La magnitud física descrita por ${\displaystyle \omega }$, que se mide en ciclos/s, recibe el nombre de pulsación natural del M.A.S. [10]

En los movimientos oscilatorios aparecen inevitablemente las fuerzas de fricción, de forma que la oscilación se va amortiguando con el tiempo y acaba extinguiéndose, dando origen a las oscilaciones amortiguadas. Además de la fuerza recuperadora conservativa propia de los movimientos armónicos ${\displaystyle F_{x}=-kx}$, aparece una fuerza amortiguadora que no es conservativa. No resulta difícil comprender la existencia de esta fuerza, pues en la práctica se observa su aparición, por ejemplo en un reloj de péndulo o en una campana. Son sistemas mecánicos donde sus respectivos movimientos de oscilación no perduran eternamente: en ellos aparece una fuerza que actúa contra el movimiento y que lo frena gradualmente. Esto lleva a la conclusión de que la energía mecánica de este tipo de sistemas no es constante, sino que disminuye con el tiempo, debido precisamente al trabajo de esa fuerza no conservativa que amortigua la oscilación. El trabajo de las fuerzas de fricción del sistema oscilante, ya sea debido a la fricción con el aire, ya sea debido a la fricción entre sus propios mecanismos de funcionamiento (fricción entre los engranajes de un reloj), a su eje de sustentación (eje de oscilación de una campana) o a una combinación de todos ellos, en definitiva, consume una energía. Esa energía acaba, en la mayoría de los casos, disipándose al exterior del sistema en forma de calor. La fuerza amortiguadora o de fricción ${\displaystyle {\vec {F}}_{dis}}$ que aparece entre un cuerpo sólido y un fluido dentro del cual se desplaza puede expresarse como: ${\displaystyle {\vec {F}}_{dis}=F_{d_{x}}{\vec {i}}=-bv_{x}{\vec {i}}}$, en la que ${\displaystyle b}$ es la constante de proporcionalidad que refleja la intensidad de la fuerza amortiguadora y ${\displaystyle v_{x}}$ la velocidad del cuerpo en la dirección del movimiento. Obsérvese que la fuerza de fricción lleva misma dirección que la velocidad, es proporcional a ella y, además, es de sentido opuesto a la misma. Incorporando la fuerza de fricción, al aplicar la segunda ley de Newton se obtiene:

${\displaystyle \sum F_{x}=-kx-bv_{x}=ma_{x}\qquad [1]}$

De esta expresión se pueden deducir otras expresiones, entre ellas la ley del movimiento armónico amortiguado. En particular, resulta de interés la deducción de la pérdida de energía mecánica. Se sabe que, en cualquier instante, la energía mecánica vale:

${\displaystyle E_{m}={{1 \over 2}mv_{x}^{2}}+{{1 \over 2}kx^{2}}\qquad [2]}$

donde el primer sumando es la energía cinética y el segundo sumando la energía potencial. Si se deriva la expresión respecto al tiempo:

${\displaystyle {{dE_{m} \over dt}=mv_{x}{dv_{x} \over dt}+kx{dx \over dt}}\qquad [3]}$

Como la derivada de la velocidad respecto del tiempo es la aceleración, y la derivada de la posición respecto del mismo es la velocidad se deduce:

${\displaystyle {{dE_{m} \over dt}=v_{x}\;(ma_{x}+kx)}\qquad [4]}$

De [1] se obtiene:${\displaystyle -b\;v_{x}=ma_{x}+kx}$. Y finalmente:

${\displaystyle {{dE_{m} \over dt}=v_{x}\;(-b\;v_{x})=-bv_{x}^{2}}\qquad [5]}$

Se deduce pues que, sea cual sea el sentido de la velocidad, la energía del sistema oscilatorio disminuye. Las oscilaciones van disminuyendo de amplitud, perdiendo su energía hasta que, al final, acaba parándose. Además, sabiendo que la potencia mecánica ${\displaystyle P_{m}}$ es: ${\displaystyle P_{m}={dE_{m} \over dt}=-b\;v_{x}^{2}<0}$, y también se puede expresar como:${\displaystyle P_{m}={dE_{m} \over dt}={\vec {F_{d}}}\;.{\vec {v}}=F_{d_{x}}\;v_{x}=-b\;v_{x}^{2}<0}$. Esta expresión es la potencia amortiguadora del movimiento o potencia disipativa debida a la fuerza de fricción, que representa la rapidez con la que actúa la fuerza amortiguadora y, por consiguiente, la rapidez con la que se reduce la energía mecánica del sistema a causa de la fricción.[11]