Espacio de Schwartz

El espacio de Schwartz o espacio de funciones de decrecimiento rápido ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ definido sobre el espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ es el conjunto de funciones:

${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)=\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\mid \forall \,\alpha ,\beta$ :\ \|f\|_{\alpha ,\beta }<\infty \},}

Donde:

${\displaystyle \alpha ,\beta \,}$ son multíndices (conjuntos ordenados de índices).

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ es el conjunto de funciones reales suaves sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

${\displaystyle \|\cdot \|}$ es una norma definida a partir de la norma del supremo como:

${\displaystyle \|f\|_{\alpha ,\beta }:=\|x^{\alpha }D^{\beta }f\|_{\infty }=\sup _{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}\left|x_{i_{1}}^{\alpha _{1}}\ldots x_{i_{m}}^{\alpha _{m}}{\frac {\partial ^{|\beta |}f}{\partial x_{j_{1}}^{\beta _{1}}\ldots x_{j_{k}}^{\beta _{k}}}}\right|}$

Donde los números ${\displaystyle \alpha _{i},\beta _{j}}$ son enteros positivos que satisfacen:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}=|\alpha |,\qquad \sum _{j=1}^{k}\beta _{j}=|\beta |}$

• Si ${\displaystyle a,n>0\,}$, entonces ${\displaystyle x^{n}e^{-ax^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$.
• Cualquier función suave de soporte compacto está en ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$.

• ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ es un espacio de Fréchet sobre los números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• Por la regla de Leibniz se sigue que ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ es cerrado bajo la multiplicación punto a punto, es decir, ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\Rightarrow h(x):=f(x)g(x)\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$.
• La transformada de Fourier es un automorfismo lineal acotado de ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ en sí mismo.
• Para cualquier ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$, se tiene que ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset L^{p},}$ donde ${\displaystyle L^{p}}$(${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) es el espacio de funciones p-integrables en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. En particular, cualquier función de ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ es una función acotada.[1]

• L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, (Distribution theory and Fourier Analysis), 2nd ed, Springer-Verlag, 1990.
• M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I, Revised and enlarged edition, Academic Press, 1980.