Experimento de Eötvös

Las diferentes balanzas utilizadas por Eötvös y sus colaboradores fueron diseñadas con el objetivo de medir gradientes gravitatorios y se emplearon en muchos experimentos con este fin en las montañas de Hungría. Para incrementar la sensibilidad del aparato se separaba la distancia vertical entre las dos masas unos 50 cm, mientras que para estudiar la equivalencia entre masas gravitatoria e inercial se hacía lo contrario, reduciendo la distancia para evitar los efectos de los gradientes gravitatorios, y se orientaba la balanza en diferentes direcciones.[5]

El diseño experimental original de Eötvös consiste en una balanza de torsión muy sensible, formada por dos masas esféricas de diferente materiales y de la misma masa gravitacional, ${\displaystyle m_{g1}=m_{g2}}$, situadas en los extremos opuestos de un tubo de latón delgado, de 40 cm de longitud y 5,0 mm de diámetro, dispuesto en horizontal, a distancias ${\displaystyle l_{1}}$ y ${\displaystyle l_{2}}$ del punto de donde cuelga la barra por medio de un alambre fino de platino e iridio (estabilizado térmicamente a tracción). Este hilo proporciona resultados muy superiores a los de las fibras de cuarzo empleadas usualmente hasta entonces en las balanzas de torsión. Una de las masas, la de referencia, es un cilindro de platino de 30 g situado en uno de los extremos del brazo. La otra masa, la de prueba, es de 25,5 g (para compensar el peso del alambre del que pende) y se cuelga a unos 21 cm por debajo del brazo.[5] El conjunto de masas y longitudes se dispone de forma que el conjunto de la varilla, las dos masas y los hilos, permanezcan en equilibrio.

Todo el conjunto está encerrado dentro de una caja con dos o tres paredes aislantes, en función de las partes a proteger, con el objetivo de minimizar los gradientes de temperatura. Asimismo se disponen en diferentes lugares termómetros para controlar la constancia de la temperatura en el interior del dispositivo.[5] Un espejo unido a la barra o a la fibra, permite reflejar un rayo de luz y así observar cualquier pequeña desviación con un telescopio. Todo el conjunto quedaba cerrado dentro de una caja para evitar alteraciones debidas a cambios de temperatura o a corrientes de aire.

Como ya se ha señalado, el dispositivo experimental original de Eötvös consistía en dos masas en los extremos opuestos de una barra, colgada de una fibra fina. Un espejo unido a la barra o al hilo, desviaba un haz de luz que se observaba mediante un visor óptico, también denominado "telescopio". Incluso cambios muy pequeños en la rotación de la varilla provocan que el haz de luz se desvíe, lo que a su vez se traduce en un cambio notable cuando el rayo de luz es magnificado en el visor.

Como se puede observar desde el sistema de referencia terrestre (el "marco de referencia del laboratorio", que no es un sistema inercial), las fuerzas principales que actúan sobre las masas equilibradas son la tensión del hilo, la gravedad y la fuerza centrífuga debida a la rotación de la Tierra. La gravedad se calcula por la ley de la gravitación universal de Newton, que depende de la masa gravitatoria. La fuerza centrífuga se calcula según las leyes del movimiento de Newton y depende de la masa inercial.

El experimento se dispone de manera que si los dos tipos de masas (la inercial y la gravitatoria) fuesen diferentes, las dos fuerzas no actuarían exactamente de la misma manera en los dos cuerpos, y con el tiempo, la barra giraría. Como se ve en el "marco de referencia del laboratorio" en rotación con la Tierra, la tensión del hilo cancela la suma del peso más la (mucho más pequeña) fuerza centrífuga (como suma de vectores), mientras que como se ve desde cualquier sistema inercial, el vector suma del peso y de la tensión hace que el objeto gire con la Tierra.

Para que la varilla esté en reposo en el sistema de referencia del laboratorio, las reacciones en la barra de las tensiones que actúan sobre cada cuerpo, debe crear un par neto nulo (teniendo en cuenta que el único grado de libertad es la rotación en el plano horizontal). Suponiendo que el sistema estuviera constantemente en reposo -esto significa un estado de equilibrio mecánico (es decir, las fuerzas netas y los pares de giro son cero)- entonces, los dos cuerpos suspendidos estarían también en reposo. Pero si tuvieran diferentes fuerzas centrífugas sobre ellos y, por lo tanto, ejerciendo diferentes pares sobre la varilla a través de las reacciones de la tensión, la varilla entonces espontáneamente giraría, en contradicción con la hipótesis de que el sistema está en reposo. En consecuencia, el sistema no podría existir en este estado: cualquier diferencia entre las fuerzas centrífugas en los dos cuerpos pondría la varilla en rotación.

Esquema de fuerzas gravitatoria y centrífuga sobre la superficie de la Tierra de una masa en la balanza de Eötvös

El sistema de referencia de la Tierra no es un sistema inercial de referencia, ya que la Tierra gira sobre su eje Norte-Sur. Las fuerzas principales que actúan sobre las masas, ${\displaystyle m_{1}}$ y ${\displaystyle m_{2}}$, son las fuerzas de la gravedad, ${\displaystyle G_{1}}$ y ${\displaystyle G_{2}}$, y las fuerzas centrífugas, ${\displaystyle F_{1}}$ y ${\displaystyle F_{2}}$, que se han de introducir debido a la rotación de la Tierra si se supone esta sin movimiento. La gravedad se calcula aplicando la ley de la gravitación universal de Newton, que depende de la masa gravitatoria, ${\displaystyle m_{g1}}$ y ${\displaystyle m_{g2}}$, de la masa gravitatoria de la Tierra, ${\displaystyle M_{T}}$, del radio de la Tierra, ${\displaystyle R_{T}}$, y de la constante de gravitación universal, ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle G_{1}=G\cdot {\frac {m_{g1}\cdot M_{T}}{R_{T}^{2}}}\quad \quad G_{2}=G\cdot {\frac {m_{g2}\cdot M_{T}}{R_{T}^{2}}}}$

Si la relación entre F₁ y F₂ difiere de la relación entre G₁ y G₂, la barra gira. El espejo se utiliza para medir la rotación

La fuerza centrífuga se calcula por las leyes de la dinámica de Newton y depende de la masa inercial de cada esfera, ${\displaystyle m_{i1}}$ y ${\displaystyle m_{i2}}$, de la velocidad angular de rotación de la Tierra, ${\displaystyle \omega _{T}}$, y del radio del paralelo del punto donde se realiza el experimento, ${\displaystyle R=R_{T}\cdot \cos \phi }$, siendo ${\displaystyle \phi }$ la latitud del lugar:

${\displaystyle F_{1}=m_{i1}\cdot \omega _{T}^{2}\cdot R\quad \quad \quad F_{2}=m_{i2}\cdot \omega _{T}^{2}\cdot R}$

En el plano vertical se tienen dos tipos de fuerzas que pueden hacer girar el brazo verticalmente: las fuerzas de la gravedad o pesos que tiran de las masas hacia el centro de la Tierra:

${\displaystyle G_{1}=m_{g1}\cdot g\quad \quad \quad G_{2}=m_{g2}\cdot g}$

y las componentes verticales de la fuerza centrífuga que tiran de las masas hacia fuera:

${\displaystyle F_{v1}=F_{1}\cdot \cos \phi \quad \quad \quad F_{v2}=F_{2}\cdot \cos \phi }$

opuestas a las anteriores. La barra permanece horizontal porque los momentos de fuerza que actúan en el plano vertical son iguales debido a que la balanza se equilibra expresamente para este fin, ${\displaystyle \tau _{v1}=\tau _{v2}}$:

${\displaystyle l_{1}\cdot (G_{1}-F_{v1})=l_{2}\cdot (G_{2}-F_{v2})}$

En cuanto a las fuerzas horizontales solo están presentes las componentes horizontales de las fuerzas centrífugas:

${\displaystyle F_{h1}=F_{1}\cdot \sin \phi \quad \quad \quad F_{h2}=F_{2}\cdot \sin \phi }$

Si el brazo de la balanza está equilibrado verticalmente, también lo estará horizontalmente si son iguales las masas gravitacionales a las inerciales. Pero si los dos tipos de masas son diferentes, las componentes de las fuerzas centrífugas horizontales producirán un momento de giro:

${\displaystyle \tau =l_{1}\cdot F_{h1}-l_{2}\cdot F_{h2}}$

que dará lugar a una pequeña desviación del brazo en el plano horizontal, el cual se puede medir gracias a la fuerza recuperadora de torsión del alambre. En un péndulo de torsión, como el de una balanza de torsión, el momento de fuerza, ${\displaystyle \tau }$, es proporcional al ángulo de giro ${\displaystyle \theta }$ de la balanza, siendo la constante de proporcionalidad el módulo de torsión, ${\displaystyle \kappa }$, que es conocido. Por tanto resulta que ${\displaystyle \tau =\kappa \cdot \theta }$.[5]