Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff

Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Entonces

${\displaystyle \exp$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow G}

es una aplicación exponencial. La siguiente fórmula combinatoria general fue introducida por Eugene Dynkin (1947),[13][14]

${\displaystyle \log(\exp X\exp Y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\begin{smallmatrix}r_{1}+s_{1}>0\\\vdots \\r_{n}+s_{n}>0\end{smallmatrix}}{\frac {[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}X^{r_{2}}Y^{s_{2}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]}{(\sum _{j=1}^{n}(r_{j}+s_{j}))\cdot \prod _{i=1}^{n}r_{i}!s_{i}!}},}$

donde la suma se realiza sobre todos los valores no negativos de ${\displaystyle s_{i}}$ y ${\displaystyle r_{i}}$, y se ha utilizado la siguiente notación:

${\displaystyle [X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]=[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{1}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm [Y} _{s_{1}},\,\dotsm \,[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{n}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm Y} _{s_{n}}]]\dotsm ]].}$

Cabe destacar que la serie no es convergente en general; es convergente (y la fórmula establecida es válida) para todos ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ lo suficientemente pequeños. Como [A, A] = 0, el término es cero si ${\displaystyle s_{n}>1}$ o si ${\displaystyle s_{n}=0}$ y ${\displaystyle r_{n}>1}$.[15]

Los primeros términos son bien conocidos, con todos los términos de orden superior que involucran [ X, Y ] y sus anidaciones de conmutador (por lo tanto, en el álgebra de Lie):

${\displaystyle {\begin{aligned}Z(X,Y)&=\log(\exp X\exp Y)\\&{}=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}\left([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]]\right)\\&{}\quad -{\frac {1}{24}}[Y,[X,[X,Y]]]\\&{}\quad -{\frac {1}{720}}\left([Y,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[X,[X,[X,[X,Y]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{360}}\left([X,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[Y,[X,[X,[X,Y]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{120}}\left([Y,[X,[Y,[X,Y]]]]+[X,[Y,[X,[Y,X]]]]\right)+\cdots \end{aligned}}}$

La lista anterior enumera todos los sumandos de orden 5 o inferior (es decir, aquellos que contienen 5 o menos X e Y). La (anti-)/simetría X ↔ Y en órdenes alternos de la expansión, se deduce de Z(Y, X) = −Z(−X,−Y). Una prueba elemental completa de esta fórmula se puede encontrar en el artículo dedicado a la derivada de la aplicación exponencial.

Hay numerosas otras expresiones para ${\displaystyle Z}$, muchas de las cuales se utilizan en la literatura de física.[16] Una fórmula integral conocida es[17][18]

${\displaystyle \log(e^{X}e^{Y})=X+\left(\int _{0}^{1}\psi \left(e^{\operatorname {ad} _{X}}~e^{t\,{\text{ad}}_{Y}}\right)\,dt\right)\,Y,}$

involucrando la función generadora para los números de Bernoulli,

${\displaystyle \psi (x)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {x\log x}{x-1}}=1-\sum _{n=1}^{\infty }{(1-x)^{n} \over n(n+1)}~,}$

utilizada por Poincaré y Hausdorff.[nb 1]

Para un grupo matricial de Lie ${\displaystyle G\subset {\mbox{GL}}(n,\mathbb {R} )}$ el álgebra de Lie es el espacio tangente de la identidad I, y el conmutador es simplemente [ X, Y ] = XY - YX ; la aplicación exponencial es la aplicación exponencial estándar de matrices,

${\displaystyle \exp X=e^{X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {X^{n}}{n!}}.}$

Cuando se resuelve para Z en

${\displaystyle e^{Z}=e^{X}e^{Y},}$

usando las expansiones de serie para exp y log, se obtiene una fórmula más simple:

${\displaystyle Z=\sum _{n>0}{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\begin{smallmatrix}r_{i}+s_{i}>0\,\\1\leq i\leq n\end{smallmatrix}}{\frac {X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\cdots X^{r_{n}}Y^{s_{n}}}{r_{1}!s_{1}!\cdots r_{n}!s_{n}!}},\quad ||X||+||Y||<\log 2,||Z||<\log 2.}$ [nb 2]

Los términos de primer, segundo, tercer y cuarto orden son:

• ${\displaystyle z_{1}=X+Y}$
• ${\displaystyle z_{2}={\frac {1}{2}}(XY-YX)}$
• ${\displaystyle z_{3}={\frac {1}{12}}(X^{2}Y+XY^{2}-2XYX+Y^{2}X+YX^{2}-2YXY)}$
• ${\displaystyle z_{4}={\frac {1}{24}}(X^{2}Y^{2}-2XYXY-Y^{2}X^{2}+2YXYX).}$

Cabe destacar que las fórmulas para los distintos ${\displaystyle z_{j}}$ 's no son la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff. Más bien, la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff es una de las varias expresiones para ${\displaystyle z_{j}}$ 's en términos de conmutadores repetidos de ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$. El punto es que está lejos de ser obvio que es posible expresar cada ${\displaystyle z_{j}}$ en términos de conmutadores (se invita al lector, por ejemplo, a verificar mediante cálculo directo que ${\displaystyle z_{3}}$ es expresable como una combinación lineal de los dos conmutadores no triviales de tercer orden de ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ a saber ${\displaystyle [X,[X,Y]]}$ e ${\displaystyle [Y,[X,Y]]}$). El resultado general de que cada ${\displaystyle z_{j}}$ se puede expresar como una combinación de conmutadores fue demostrado por Eichler de una manera elegante y recursiva.[19]

Una consecuencia de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff es el siguiente resultado sobre la traza:

${\displaystyle \operatorname {tr} \log(e^{X}e^{Y})=\operatorname {tr} X+\operatorname {tr} Y.}$

Es decir, ya que cada ${\displaystyle z_{j}}$ con ${\displaystyle j\geq 2}$ es expresable como una combinación lineal de conmutadores, la traza de cada uno de estos términos es cero.

Supóngase que ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ son las siguientes matrices en el álgebra de Lie ${\displaystyle \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$ (el espacio de matrices ${\displaystyle 2\times 2}$ con traza cero):

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&-\pi \\\pi &0\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ .

Entonces

${\displaystyle e^{X}e^{Y}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&-1\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

No es difícil demostrar[20] que no existe una matriz ${\displaystyle Z}$ en ${\displaystyle \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$ con ${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}$ (se pueden encontrar ejemplos similares en el artículo de Wei[21]).

Este sencillo ejemplo ilustra un punto importante: las diversas versiones de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, que dan expresiones para Z en términos de paréntesis de Lie iterados de X e Y, describen series formales de potencias cuya convergencia no está garantizada. Por lo tanto, si se quiere que Z sea un elemento real del álgebra de Lie que contiene X e Y (en oposición a una serie de potencias formal), se debe suponer que X e Y son pequeños. Por lo tanto, la conclusión de que la operación del producto en un grupo de Lie está determinada por el álgebra de Lie es solo una declaración local. De hecho, el resultado no puede ser global, porque globalmente se puede tener grupos de Lie no isomórficos con álgebras de Lie isomórficas.

Concretamente, si se trabaja con un álgebra de Lie matricial y ${\displaystyle \|.\|}$ es una norma de matriz submultiplicativa dada, la convergencia está garantizada[14][22] si

${\displaystyle \|X\|+\|Y\|<{\frac {\ln 2}{2}}.}$

Sea G un grupo matricial de Lie y g su álgebra de Lie correspondiente. Supóngase que ad_X es el operador lineal en g definido por ad_X Y = [X,Y] = XY − YX para algunos X ∈ g fijos (el endomorfismo adjunto encontrado anteriormente). Denótese con Ad_A para A ∈ G fijo la transformación lineal de g dada por Ad_AY = AYA⁻¹.

Un lema combinatorio estándar que se utiliza[17] para producir las expansiones explícitas anteriores es dado por[28]

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{e^{X}}=e^{\operatorname {ad} _{X}},}$

entonces, explícitamente

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{e^{X}}Y=e^{X}Ye^{-X}=e^{\operatorname {ad} _{X}}Y=Y+\left[X,Y\right]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots .}$

Esta fórmula puede probarse mediante la evaluación de la derivada con respecto a s de f (s)Y ≡ e^sX Y e^−sX, solución de la ecuación diferencial resultante y evaluación en s = 1,

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}f(s)Y={\frac {d}{ds}}\left(e^{sX}Ye^{-sX}\right)=Xe^{sX}Ye^{-sX}-e^{sX}Ye^{-sX}X=\operatorname {ad} _{X}(e^{sX}Ye^{-sX})}$

o

${\displaystyle f'(s)=\operatorname {ad} _{X}f(s),\qquad f(0)=1\qquad \Longrightarrow \qquad f(s)=e^{s\operatorname {ad} _{X}}.}$[29]

Para [X,Y] central, es decir, conmutar con X e Y,

${\displaystyle e^{sX}Ye^{-sX}=Y+s[X,Y]~.}$

En consecuencia, para g(s) ≡ e^sX e^sY, se deduce que

${\displaystyle {\frac {dg}{ds}}={\Bigl (}X+e^{sX}Ye^{-sX}{\Bigr )}g(s)=(X+Y+s[X,Y])~g(s)~,}$

cuya solución es

${\displaystyle g(s)=e^{s(X+Y)+{\frac {s^{2}}{2}}[X,Y]}~.}$

Tomando ${\displaystyle s=1}$ da uno de los casos especiales de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff descrita anteriormente:

${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]}~.}$

Más en general, para [X,Y] no central, la siguiente identidad de trenzado se deduce fácilmente,

${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{(Y+\left[X,Y\right]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots )}~e^{X}.}$