Gráfica de una función

Definida una función: f, de los números reales, sobre los números reales, donde a cada x real se le asocia una y real, representado y = f(x):

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}f:&R&\longrightarrow &R\\&x&\longmapsto &y=f(x)\end{array}}}$

Sí a medida que la variable x se aproxima a un valor a, la variable y se aproxima a un valor L, diremos que L es el límite de f cuando x tiende a a:

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$

Si una función tiene límite en un punto ese límite ha de ser único (unicidad del límite), el valor del límite, en caso de existir no tiene por qué coincidir con el valor de la función en ese punto.

Si una función tiene límite en un punto, y el valor del límite es el mismo que el valor de la función en ese punto, se dice que la función es continua en ese punto:

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L=f(a)}$

En los puntos extremos de cada intervalo de definición de la función, o en los puntos intermedios de los intervalos de existencia, que presenten discontinuidad, se presenta un punto de discontinuidad, que puede ser de alguno de estos tipos:

${\displaystyle {\mbox{Discontinuidad}}{\color {Red}\left\{{\begin{array}{l}{\mbox{Evitable}}\\{\mbox{Esencial}}{\color {PineGreen}\left\{{\begin{array}{l}{\mbox{De primera especie}}{\color {Blue}\left\{{\begin{array}{l}{\mbox{De salto finito}}\\{\mbox{De salto infinito}}\\{\mbox{Asintótica}}\end{array}}\right.}\\\\{\mbox{De segunda especie}}\end{array}}\right.}\\\end{array}}\right.}}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)=\infty \\\\\nexists \;{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)\end{array}}\right.}$	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)=-\infty \\\\\nexists \;{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)\end{array}}\right.}$	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)=L\\\\\nexists \;{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)\end{array}}\right.}$	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)=L\\\\\nexists \;{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)\\\\f(a)=L\end{array}}\right.}$
De segunda especie.	De segunda especie.	De segunda especie.	De segunda especie.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\nexists \;{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)\\\\{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)=\infty \end{array}}\right.}$	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\nexists \;{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)\\\\{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)=-\infty \end{array}}\right.}$	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\nexists \;{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)\\\\{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)=L\end{array}}\right.}$	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\nexists \;{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)\\\\{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)=L\\\\f(a)=L\end{array}}\right.}$
De segunda especie.	De segunda especie.	De segunda especie.	De segunda especie.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)=\infty \\\\{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)=\infty \end{array}}\right.}$	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)=-\infty \\\\{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)=\infty \end{array}}\right.}$	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)=\infty \\\\{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)=-\infty \end{array}}\right.}$	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)=-\infty \\\\{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)=-\infty \end{array}}\right.}$
Asintótica.	Asintótica.	Asintótica.	Asintótica.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)=L\\\\{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)=\infty \end{array}}\right.}$	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)=L\\\\{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)=\infty \\\\f(a)=L\end{array}}\right.}$	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)=L\\\\{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)=-\infty \end{array}}\right.}$	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)=L\\\\{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)=-\infty \\\\f(a)=L\end{array}}\right.}$
De salto infinito.	De salto infinito.	De salto infinito.	De salto infinito.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)=\infty \\\\{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)=L\end{array}}\right.}$	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)=\infty \\\\{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)=L\\\\f(a)=L\end{array}}\right.}$	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)=-\infty \\\\{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)=L\end{array}}\right.}$	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)=-\infty \\\\{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)=L\\\\f(a)=L\end{array}}\right.}$
De salto infinito.	De salto infinito.	De salto infinito.	De salto infinito.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)=L1\\\\{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)=L2\\\\L1\neq L2\end{array}}\right.}$	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)=L1\\\\{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)=L2\\\\L1\neq L2\end{array}}\right.}$	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)=L1\\\\{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)=L2\\\\L1\neq L2\end{array}}\right.}$	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\underset {x\to {a}^{-}}{\lim }}\;f(x)=L\\\\{\underset {x\to {a}^{+}}{\lim }}\;f(x)=L\\\\\nexists \;f(a)\end{array}}\right.}$
De salto finito.	De salto finito.	De salto finito.	Evitable

El signo de una función en un punto esta determinado por el signo que tiene el valor de la coordenada y (es decir, el correspondiente a la imagen).

Decimos que una función es positiva en un punto con coordenadas (a,f(a)) si el signo de f(a) es positivo.

Decimos que una función es negativa en un punto con coordenadas (a,f(a)) si el signo de f(a) es negativo.

En general, podemos determinar que una función es positiva en todo punto que se encuentre por encima del eje x. Si está por debajo, la función es negativa.

De esta forma, decimos que una función es positiva en un intervalo (a,b) si el signo de las imágenes de todos los valores dentro de ese intervalo es positivo.

Análogamente, una función es negativa en un intervalo (a,b) si el signo de las imágenes de todos los valores dentro de ese intervalo es negativo.

Llamamos Conjunto de Positividad al conjunto de valores del dominio cuyas imágenes son positivas. Los definimos así: C⁺= {${\displaystyle x\in Dominio(f)/f(x)>0}$}

Llamamos Conjunto de Negatividad al conjunto de valores del dominio cuyas imágenes son negativas. Los definimos así: C^-= {${\displaystyle x\in Dominio(f)/f(x)<0}$}

Los puntos que son intersección con el eje x, no tienen signo, ya que estos puntos que están sobre el eje x son lo que llamamos raíces, donde la imagen es 0, y este no tiene signo. Entonces los conjuntos C⁺ y C^- son siempre abiertos.

De esta forma, concluimos que los conjuntos de positividad y negatividad están determinados por sus raíces.

Si una función f(x) es continua en un intervalo (a,b) y tiene distintos signos en los extremos del mismo, entonces la función tiene por lo menos una raíz real en ese intervalo.

Esto podemos interpretarlo como, si una función cambia de signo es porque necesariamente pasó por una raíz, ya que para poder pasar de valores positivos a negativos (o de negativos a positivos) tiene que pasar por el 0 (y este 0 es una raíz).

Este teorema se puede utilizar para saber el signo de una función en todo su dominio.[1]

Una ecuación de primer grado es fácilmente representada en un eje conociendo sus propiedades.

${\displaystyle \,y=mx+n}$

En una ecuación de primer grado el número que corresponde a ${\displaystyle \,m}$ corresponde a la tangente del ángulo que forma la recta respecto al eje de abscisas. El valor de ${\displaystyle \,n}$ corresponde al punto que corta el eje de ordenadas.

La representación de una recta es simple: se necesitan dos valores puntos de la función a partir de dónde se va a representar la recta. Esos dos puntos son de manera general ${\displaystyle \,(0,n)}$ y ${\displaystyle \left(-{\frac {n}{m}},0\right)}$.

Ejemplo

Vamos a representar la función polinómica de primer grado. En primer lugar, necesitamos dos puntos de la recta. Para ello vamos a usar los puntos en los que la función corta los ejes. Es decir:

Eje OX: ${\displaystyle \,y=2\rightarrow x=-{\frac {2}{3}}}$

Eje OY: ${\displaystyle \,x=0\rightarrow y=2}$

Para representar una función ${\displaystyle \,f(x)}$ debemos seguir los siguientes pasos:

• El primer paso es encontrar el dominio ${\displaystyle \,D_{f}}$.
• El segundo paso es encontrar los cortes con los ejes ${\displaystyle \,X}$ e ${\displaystyle \,Y}$.
• El tercer paso es encontrar el signo de la función en los intervalos en los que no existe el dominio o hay un corte con el eje ${\displaystyle \,X}$.
• El cuarto paso es calcular las asíntotas que puede tener la función (horizontales, oblicuas y verticales).
• El quinto paso es buscar los posibles extremos igualando la primera derivada a 0.
• El sexto paso es estudiar la monotonía de la función. Es decir, los intervalos en los que crece o decrece.
• El séptimo paso es encontrar los puntos de inflexión igualando la segunda derivada a 0.
• El octavo paso es estudiar la forma (cóncava o convexa) de la función.

Vamos a estudiar la representación gráfica de la función:

${\displaystyle f(x)={\cfrac {x^{2}+4x+3}{x^{2}+5x+6}}}$

Dominio.

Los puntos en los que la función no existe son los que el denominador vale 0. Por lo tanto:

${\displaystyle x^{2}+5x+6=0\;\rightarrow \;{\begin{cases}x=-3\\x=-2\end{cases}}}$

Es decir, el dominio será:

${\displaystyle D_{f}=(-\infty ,-3)\cup (-3,-2)\cup (-2,+\infty )}$

Cortes con los ejes.

Los cortes con el eje ${\displaystyle \,X}$ se encuentran cuando ${\displaystyle \,y=0}$ y el corte con el eje ${\displaystyle \,Y}$ cuando ${\displaystyle \,x=0}$. Por lo tanto:

Cortes eje x es cuando el numerador vale 0:

${\displaystyle x^{2}+4x+3=0\;\rightarrow \;{\begin{cases}x=-3\\x=-1\end{cases}}}$

Cortes eje y es el valor de la función para x= 0:

${\displaystyle y=f(0)={\frac {0^{2}+4\cdot 0+3}{0^{2}+5\cdot 0+6}}\;\rightarrow \;y=f(0)={\frac {1}{2}}}$

Signo.

El signo de un intervalo no cambia a menos que haya una discontinuidad o un corte en el eje ${\displaystyle \,X}$. Por tanto, para estudiar el signo vamos a usar los intervalos dónde tenemos la seguridad que el signo no va a cambiar, que son los siguientes:

${\displaystyle (-\infty ,-3)\rightarrow +}$

${\displaystyle (-3,-2)\rightarrow +}$

${\displaystyle (-2,-1)\rightarrow -}$

${\displaystyle (-1,+\infty )\rightarrow +}$

Asíntotas.

Verticales: Las asíntotas verticales ocurren cuando la función tiende a infinito por un valor real de la variable. Es decir, cuando el denominador es igual a 0. Para encontrarlas debemos hacer el límite cuando ${\displaystyle \,x}$ tiende a esos valores.

${\displaystyle \lim _{x\to -3}\,{\frac {x^{2}+4x+3}{x^{2}+5x+6}}=\lim _{x\to -3}{\frac {(x+1)(x+3)}{(x+2)(x+3)}}=2}$

${\displaystyle \lim _{x\to -2}\,{\frac {x^{2}+4x+3}{x^{2}+5x+6}}=\lim _{x\to -2}{\frac {-1}{0}}=\infty }$

Por lo que hay una asíntota vertical ${\displaystyle \,x=-2}$ y un punto vacío para ${\displaystyle \,x=-3}$.

Horizontales: Si el límite cuando ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ tiende a un número, decimos que hay asíntota horizontal.

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}+4x+3}{x^{2}+5x+6}}=1}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}+4x+3}{x^{2}+5x+6}}=1}$

Por lo que hay asíntota horizontal ${\displaystyle \,y=1}$ tanto por la derecha como por la izquierda. Además, no habrá ninguna asíntota oblicua.

Posibles extremos.

Los extremos relativos se encuentran buscando los valores por los que ${\displaystyle f^{\prime }(x)=0}$. Por lo tanto, primero debemos encontrar la derivada de la función:

${\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{x^{2}+4x+4}}}$

Y ahora buscar los valores por los cuales vale cero:

${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+4x+4}}=0}$

${\displaystyle 1=0\,}$

No tiene solución, por lo que no habrá extremos relativos.

Crecimiento.

Vamos a estudiar los intervalos en los que la primera derivada es positiva o negativa, es decir, los intervalos en los que la función crece o decrece.

${\displaystyle (-\infty ,-2)\rightarrow f^{\prime }(x)=+\rightarrow f(x)\;\mathrm {crece} }$

${\displaystyle (-2,+\infty )\rightarrow f^{\prime }(x)=+\rightarrow f(x)\;\mathrm {crece} }$

Por lo que la función crece en la totalidad de sus puntos.

Puntos de inflexión.

A partir de la segunda derivada ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)}$ vamos a encontrar los puntos de inflexión.

${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=-{\frac {2}{x^{3}+6\,x^{2}+12\,x+8}}}$

Igual que antes, no tiene solución, por lo que no hay puntos de inflexión.

Gráfica

La función está definida para todo x real, excepto para los puntos de discontinuidad: x= -3 y x=-2, en el primer punto presenta una discontinuidad evitable, dándole el valor (-3,2), en el segundo la discontinuidad es asintótica, siendo la recta vertical x= -2 la asintota.

La función corta al eje x en el punto (-1,0) y al eje y en (0, 0’5).

Para valores de x menores de –2 y mayores de –1 la función toma valores positivos, y para valores comprendidos entre –2 y –1, la función toma valores negativos.

La función es creciente y convexa en todo el domino de definición, y tiene una asíntota horizontal y= 1

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