Kernel (teoría de conjuntos)

Para establecer una definición formal, se parte de que X e Y sean conjuntos y que f sea una función de X sobre Y. Los elementos x₁ y x₂ de X son equivalentes si f(x₁) y f(x₂) son iguales, es decir, son el mismo elemento de Y. El núcleo de f es la relación de equivalencia así definida.[1]

Al igual que cualquier relación de equivalencia, el núcleo se puede modificar para formar un conjunto de cocientes, y el conjunto de cocientes es la partición:

${\displaystyle \left\{\,\left\{\,w\in X\mid f(x)=f(w)\,\right\}\mid x\in X\,\right\}.}$

Este conjunto de cocientes X / = _f se denomina coimagen de la función f, y se denota como coim f (o una variación). La imagen es naturalmente isomorfa (en el sentido teórico de una biyección) de la imagen, im f, específicamente, la clase de equivalencia de x en X (que es un elemento de coim f) corresponde a f(x) en Y (que es un elemento de im f).

Al igual que cualquier relación binaria, el núcleo de una función puede considerarse como un subconjunto del producto cartesiano X×X. De esta manera, el núcleo se puede denotar ker f (o una variación) y se puede definir simbólicamente como

${\displaystyle \operatorname {ker} f:=\{(x,x')\mid f(x)=f(x')\}}$.[1]

El estudio de las propiedades de este subconjunto puede arrojar luz sobre f.

Si X e Y son estructuras algebraicas de algún tipo fijo (como grupos, anillos o espacios vectoriales ), y si la función f de X a Y es un homomorfismo, entonces ker f es una relación de congruencia (es decir, una relación de equivalencia que es compatible con la estructura algebraica), y la coimagen de f es un cociente de X.[1] La biyección entre la coimagen y la imagen de f es un isomorfismo en el sentido algebraico. Esta es la forma más general del primer teorema del isomorfismo. (véase también kernel (álgebra)).

Si X e Y son espacios topológicos y f es una función continua entre ellos, entonces las propiedades topológicas de ker f pueden arrojar luz sobre los espacios X e Y. Por ejemplo, si Y es un espacio de Hausdorff, entonces ker f debe ser un conjunto cerrado. Por el contrario, si X es un espacio de Hausdorff y ker f es un conjunto cerrado, entonces la coimagen de f, si se le da la topología del espacio cociente, también debe ser un espacio de Hausdorff.

1. De la palabra alemana "kernel", que significa núcleo

• Awodey, Steve (2010). Category Theory. Oxford Logic Guides 49 (2nd edición). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0. Archivado desde el original el 21 de mayo de 2018. Consultado el 2 de enero de 2020.