Lógica

Una representación del siglo XV del Cuadro de oposición de los juicios , que expresa las dualidades fundamentales de la silogística.

El Organon fue el conjunto de trabajos de Aristóteles sobre lógica, constituyendo los Primeros analíticos el primer trabajo explícito de lógica formal, introduciendo la silogística.[34] Las partes de la lógica silogística, también conocida con el nombre de lógica de términos, son el análisis de los juicios en proposiciones que consisten en dos términos que están relacionados por una de un número fijo de relaciones, y la expresión de inferencias mediante silogismos que consisten en dos proposiciones que comparten un término común como premisa, y una conclusión que es una proposición que involucra los dos términos no relacionados de las premisas.

La obra de Aristóteles fue considerada en la época clásica y a partir de la época medieval en Europa y Oriente Medio como la imagen misma de un sistema totalmente elaborado. Sin embargo, no fue el único: los estoicos propusieron un sistema de lógica proposicional que fue estudiado por los lógicos medievales. También el problema de la generalidad múltiple fue reconocido en la época medieval. No obstante, no se consideraba que los problemas de la lógica silogística necesitaran soluciones revolucionarias.

Hoy en día, algunos académicos afirman que el sistema de Aristóteles es generalmente visto como algo que tiene poco más que valor histórico (aunque hay algún interés actual en la ampliación de la lógica de términos), considerado como obsoleto por el advenimiento de la lógica proposicional y el cálculo de predicados. Otros utilizan a Aristóteles en la teoría de la argumentación para ayudar a desarrollar y cuestionar críticamente los «esquemas de argumentación» que se utilizan en la inteligencia artificial y en los argumentos legales.

Un cálculo o lógica proposicional (también un cálculo sentencial) es un sistema formal en el que las fórmulas que representan proposiciones pueden formarse combinando proposiciones atómicas (normalmente representadas con p, q, etc.) utilizando conectivos lógicos (${\displaystyle And,\rightarrow ,\lor ,\equiv ,\sim ,}$ etc.); estas proposiciones y conectivas son los únicos elementos de un cálculo proposicional estándar.[35] A diferencia de la lógica de predicados o la lógica silogística, donde los sujetos y predicados individuales (que no tienen valores de verdad) son la unidad más pequeña, la lógica proposicional toma proposiciones completas con valores de verdad como su componente más básico. [35] Los cuantificadores (por ejemplo, ${\displaystyle paratodos}$ o ${\displaystyle existe}$) se incluyen en el cálculo proposicional extendido, pero solo cuantifican sobre proposiciones completas, no sobre sujetos o predicados individuales. [35] Una lógica proposicional dada es un sistema de prueba formal con reglas que establecen qué fórmulas bien formadas de un lenguaje dado son "teoremas" demostrándolos a partir de axiomas que se asumen sin prueba.[36]

En el lenguaje, la modalidad se ocupa del fenómeno de que las subpartes de una oración pueden tener su semántica modificada por verbos especiales o partículas modales. Por ejemplo, "Vamos a los juegos puede modificarse para dar "Debemos ir a los juegos', y "Podemos ir a los juegos y quizás "Iremos a los juegos. De forma más abstracta, podríamos decir que la modalidad afecta a las circunstancias en las que damos por satisfecha una afirmación. La confusión de la modalidad se conoce como falacia modal.

La lógica de Aristóteles se ocupa en gran parte de la teoría de la lógica no modalizada. Aunque, hay pasajes en su obra, como el famoso argumento de la batalla naval en Sobre la interpretación § 9, que ahora se ven como anticipaciones de la lógica modal y su conexión con la potencialidad y el tiempo, el primer sistema formal de lógica modal fue desarrollado por Avicena, que finalmente desarrolló una teoría de la "temporal modalizada" silogística.[37]

Aunque el estudio de la necesidad y la posibilidad siguió siendo importante para los filósofos, apenas se produjeron innovaciones lógicas hasta las históricas investigaciones de C. I. Lewis en 1918, quien formuló una familia de axiomatizaciones rivales de la modalidades aleatorias. Su trabajo desató un torrente de nuevos trabajos sobre el tema, ampliando los tipos de modalidad tratados para incluir la lógica deóntica y la lógica epistémica. El trabajo seminal de Arthur Prior aplicó el mismo lenguaje formal para tratar la lógica temporal y preparó el camino para la unión de los dos temas. Saul Kripke descubrió (contemporáneamente con Prior) su teoría de la semántica de Kripke, que revolucionó la tecnología formal disponible para los lógicos modales y dio una nueva teoría de grafos forma de ver la modalidad que ha impulsado muchas aplicaciones en lingüística computacional y informática, como la lógica dinámica.

Gottlob Frege's Begriffschrift introduced the notion of quantifier in a graphical notation, which here represents the judgement that ${\displaystyle \forall x.F(x)}$ is true.

La lógica de predicados es el término genérico para los sistemas formales simbólicos como la lógica de primer orden, la lógica de segundo orden, la lógica de muchos órdenes y la lógica infinitaria. Proporciona una cuenta de cuantificadores lo suficientemente general para expresar un amplio conjunto de argumentos que ocurren en el lenguaje natural. Por ejemplo, la famosa paradoja del barbero de Bertrand Russell, "hay un hombre que afeita a todos y sólo a los hombres que no se afeitan a sí mismos", puede formalizarse mediante la sentencia ${\displaystyle (\exists x)({\text{hombre}}(x)\wedge (\forall y)({\text{hombre}}(y)\rightarrow ({\text{afeita}}(x,y)\leftrightarrow \neg {\text{afeitan}}(y,y))}$, utilizando el predicado no lógico ${\displaystyle {\text{hombre}}(x)}$ para indicar que x es un hombre, y la relación no lógica ${\displaystyle {\text{afeita}}(x,y)}$ para indicar que x afeita a y; todos los demás símbolos de las fórmulas son lógicos, y expresan el cuantificadores universal y existencial, la conjunción, el implicación, la negación y el bicondicional.

Mientras que la lógica silogística aristotélica especifica un pequeño número de formas que puede adoptar la parte relevante de los juicios implicados, la lógica de predicados permite analizar las oraciones en sujeto y argumento de varias formas adicionales, permitiendo a la lógica de predicados resolver el problema de la generalidad múltiple que había dejado perplejos a los lógicos medievales.

El desarrollo de la lógica de predicados suele atribuirse a Gottlob Frege, a quien también se le atribuye el mérito de ser uno de los fundadores de la filosofía analítica, pero la formulación de la lógica de predicados más utilizada hoy en día es la lógica de primer orden presentada en Principios de lógica matemática por David Hilbert y Wilhelm Ackermann en 1928. La generalidad analítica de la lógica de predicados permitió la formalización de las matemáticas, impulsó la investigación de la teoría de conjuntos y permitió el desarrollo del enfoque de Alfred Tarski sobre la teoría de modelos. Proporciona la base de la lógica matemática moderna.

El sistema original de lógica de predicados de Frege era de segundo orden, en lugar de primer orden. La Lógica de segundo orden es defendida de manera más prominente (contra las críticas de Willard Van Orman Quine y otros) por George Boolos y Stewart Shapiro.

Las lógicas discutidas anteriormente son todas "bivalentes" o "de dos valores"; es decir, se entienden de forma más natural como la división de las proposiciones en verdaderas y falsas. Los sistemas de lógica no clásica son aquellos que rechazan varias reglas de la lógica clásica.

Hegel desarrolló su propia lógica dialéctica que amplió la lógica trascendental de Kant pero también la devolvió a la tierra asegurando que ni en el cielo ni en la tierra, ni en el mundo de la mente ni en el de la naturaleza, existe en ninguna parte un "o" abstracto como el que sostiene el entendimiento. Todo lo que existe es concreto, con diferencia y oposición en sí mismo.[38]

En 1910, Nicolai A. Vasiliev amplió la ley del medio excluido y la ley de la contradicción y propuso la ley del cuarto excluido y la lógica tolerante a la contradicción.[39] A principios del siglo XX, Jan Łukasiewicz investigó la ampliación de los valores tradicionales de verdadero/falso para incluir un tercer valor, "posible" (o indeterminado, una hipótesis) inventando así la lógica ternaria, la primera lógica plurivalente de la tradición occidental. [40] Una modificación menor de la lógica ternaria fue introducida posteriormente en un modelo de lógica ternaria de hermanos propuesto por Stephen Cole Kleene. El sistema de Kleene difiere de la lógica de Łukasiewicz con respecto a un resultado de la implicación. El primero supone que el operador de implicación entre dos hipótesis produce una hipótesis.

Desde entonces se han ideado lógicas como la lógica difusa con un número infinito de "grados de verdad", representados por un número real entre 0 y 1. [41]

La Lógica intuicionista fue propuesta por L.E.J. Brouwer como la lógica correcta para razonar sobre las matemáticas, basándose en su rechazo del principio del tercero excluido como parte de su intuicionismo. Brouwer rechazó la formalización en matemáticas, pero su alumno Arend Heyting estudió la lógica intuicionista formalmente, al igual que Gerhard Gentzen. La lógica intuicionista es de gran interés para los informáticos, ya que es una lógica intuicionista y ve muchas aplicaciones, como la extracción de programas verificados a partir de pruebas y la influencia en el diseño de lenguajes de programación a través de la correspondencia fórmula-como-tipos.

La lógica modal no es condicional de verdad, por lo que a menudo se ha propuesto como una lógica no clásica. Sin embargo, la lógica modal se formaliza normalmente con el principio del medio excluido, y su semántica relacional es bivalente, por lo que esta inclusión es discutible.

¿Cuál es el estatus epistemológico de la leyes de la lógica? ¿Qué tipo de argumento es apropiado para criticar los supuestos principios de la lógica? En un influyente artículo titulado "¿Es empírica la lógica?"[45] Hilary Putnam, basándose en una sugerencia de W. V. Quine, argumentó que en general los hechos de la lógica proposicional tienen un estatus epistemológico similar al de los hechos sobre el universo físico, por ejemplo como las leyes de la mecánica o de la relatividad general, y en particular que lo que los físicos han aprendido sobre la mecánica cuántica proporciona un caso convincente para abandonar ciertos principios familiares de la lógica clásica: si queremos ser realistas sobre los fenómenos físicos descritos por la teoría cuántica, entonces debemos abandonar el principio de distributividad, sustituyendo la lógica clásica por la lógica cuántica propuesta por Garrett Birkhoff y John von Neumann. [46]

Otro trabajo del mismo nombre de Michael Dummett sostiene que el deseo de realismo de Putnam exige la ley de la distributividad.[47] La distributividad de la lógica es esencial para que el realista entienda cómo las proposiciones son verdaderas del mundo de la misma manera que ha argumentado que lo es el principio de bivalencia. De este modo, la pregunta "¿Es la lógica empírica?" puede verse como una respuesta natural a la controversia fundamental en metafísica sobre realismo versus antirrealismo.

La noción de implicación formalizada en la lógica clásica no se traduce cómodamente al lenguaje natural por medio de "si ... entonces ...", debido a una serie de problemas denominados paradojas de la implicación material.

La primera clase de paradojas involucra contrafactuales, tales como Si la luna está hecha de queso verde, entonces 2+2=5, que son desconcertantes porque el lenguaje natural no soporta el principio de explosión. La eliminación de esta clase de paradojas fue la razón de la formulación de C. I. Lewis de la implicación estricta, que finalmente condujo a lógicas más radicalmente revisionistas como la lógica relevante.

La segunda clase de paradojas involucra premisas redundantes, sugiriendo falsamente que conocemos el sucesor debido al antecedente: así, "si ese hombre es elegido, la abuelita morirá" es materialmente verdadero ya que la abuelita es mortal, independientemente de las perspectivas de elección del hombre. Tales oraciones violan la máxima griceana de relevancia, y pueden ser modeladas por lógicas que rechazan el principio de Monotonicidad de la implicación, como la lógica de la relevancia.

Georg Wilhelm Friedrich Hegel fue profundamente crítico con cualquier noción simplificada del Principio de no contradicción. Se basó en la idea de Gottfried Wilhelm Leibniz de que esta ley de la lógica requiere también un fundamento suficiente para especificar desde qué punto de vista (o tiempo) se dice que algo no puede contradecirse. Un edificio, por ejemplo, se mueve y no se mueve; el terreno para lo primero es nuestro sistema solar y para lo segundo la tierra. En la dialéctica hegeliana, la ley de la no-contradicción, de la identidad, se apoya ella misma en la diferencia y, por tanto, no es afirmable de forma independiente.

En estrecha relación con las cuestiones que surgen de las paradojas de la implicación está la sugerencia de que la lógica debe tolerar la inconsistencia. La Lógica relevante y la Lógica paraconsistente son los enfoques más importantes aquí, aunque las preocupaciones son diferentes: una consecuencia clave de la Lógica clásica y de algunos de sus rivales, como la Lógica intuicionista, es que respetan el principio de explosión, lo que significa que la lógica colapsa si es capaz de derivar una contradicción. Graham Priest, el principal defensor del dialeteismo, ha argumentado a favor de la paraconsistencia sobre la base de que existen, de hecho, contradicciones verdaderas.[48]

La vena filosófica de varios tipos de escepticismo contiene muchos tipos de duda y rechazo de las diversas bases sobre las que descansa la lógica, como la idea de forma lógica, la inferencia correcta o el significado, lo que a veces lleva a la conclusión de que no hay verdades lógicas. Esto contrasta con los puntos de vista habituales en el escepticismo filosófico, donde la lógica dirige la indagación escéptica para dudar de los saberes recibidos, como en la obra de Sexto Empírico.

Friedrich Nietzsche proporciona un fuerte ejemplo del rechazo de la base habitual de la lógica: su rechazo radical de la idealización le llevó a rechazar la verdad como un "... ejército móvil de metáforas, metonimias y antropomorfismos-en resumen ... metáforas que están desgastadas y sin poder sensual; monedas que han perdido sus imágenes y ahora importan sólo como metal, ya no como monedas". [49] Su rechazo de la verdad no le llevó a rechazar por completo la idea de la inferencia o la lógica, sino que sugirió que "la lógica [llegó] a existir en la cabeza del hombre [a partir] de la ilógica, cuyo reino originalmente debe haber sido inmenso. Innumerables seres que hicieron inferencias de una manera diferente a la nuestra perecieron".[50] Así, existe la idea de que la inferencia lógica tiene una utilidad como herramienta para la supervivencia humana, pero que su existencia no respalda la existencia de la verdad, ni tiene una realidad más allá de lo instrumental: "También la lógica se apoya en supuestos que no se corresponden con nada del mundo real".[51]

Esta posición sostenida por Nietzsche, sin embargo, ha sido sometida a un escrutinio extremo por varias razones. Algunos filósofos, como Jürgen Habermas, afirman que su posición es autorrefutante y acusan a Nietzsche de no tener siquiera una perspectiva coherente, y mucho menos una teoría del conocimiento. [52] Georg Lukács, en su libro La destrucción de la razón, afirma que, "Si estudiáramos las afirmaciones de Nietzsche en este ámbito desde un ángulo lógico-filosófico, nos encontraríamos con un caos vertiginoso de las afirmaciones más escabrosas, arbitrarias y violentamente incompatibles. "[53] Bertrand Russell describió las afirmaciones irracionales de Nietzsche con "Es aficionado a expresarse de forma paradójica y con vistas a escandalizar a los lectores convencionales" en su libro A History of Western Philosophy.[54]