Ley de las cotangentes

Usando las notaciones habituales para un triángulo (véase la figura en la parte superior derecha), donde a, b, c son las longitudes de los tres lados, A, B, C son los vértices opuestos a esos tres lados respectivos, α, β, γ son los ángulos correspondientes en esos vértices, y s es el semiperímetro, es decir, s = a + b + c/2, entonces

${\displaystyle {\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{s-a}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}{s-b}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{s-c}}={\frac {1}{r}}\,}$

y además, el inradio viene dado por

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}\,.}$

En la figura superior, los puntos de tangencia del incírculo con los lados del triángulo dividen el perímetro en 6 segmentos, formando 3 pares (uno alrededor de cada vértice). En cada par, los segmentos tienen la misma longitud. Por ejemplo, los dos segmentos adyacentes al vértice A son iguales. Si se elige un segmento de cada par, su suma será el semiperímetro s. Un ejemplo de esto son los segmentos que se muestran en color en la figura. Los dos segmentos que componen la línea roja se suman a a por lo que el segmento de color azul debe ser de longitud s − a. Obviamente, los otros cinco segmentos también deben tener longitudes s − a, s − b o s − c, como se muestra en la figura inferior.

Al inspeccionar la figura, usando la definición de la función cotangente, se tiene que

${\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\frac {s-a}{r}}\,}$

y lo mismo para los otros dos ángulos, lo que demuestra la primera afirmación.

Para la segunda, la fórmula del inradio, se parte de la fórmula general de la suma de ángulos:

${\displaystyle \cot(u+v+w)={\frac {\cot u+\cot v+\cot w-\cot u\cot v\cot w}{1-\cot u\cot v-\cot v\cot w-\cot w\cot u}}.}$

Aplicando cot(α/2 + β/2 + γ/2) = cot π/2 = 0, se obtiene:

${\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right).}$

(fórmula también denominada identidad triple de la cotangente)

Sustituyendo los valores obtenidos en la primera parte, se obtiene:

${\displaystyle {\frac {(s-a)}{r}}{\frac {(s-b)}{r}}{\frac {(s-c)}{r}}={\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}={\frac {3s-2s}{r}}={\frac {s}{r}}.}$

Multiplicando por r³/s, resulta el valor de r², lo que demuestra la segunda afirmación.

Se pueden obtener otros resultados de la ley de las cotangentes.

• Fórmula de Herón. Téngase en cuenta que el área del triángulo ABC también se divide en 6 triángulos más pequeños, así mismo en 3 pares, y los triángulos de cada par tienen la misma área. Por ejemplo, los dos triángulos coincidentes en el vértice A, siendo triángulos rectángulos de base s − a y altura r, cada uno tiene un área de 1/2r(s − a). Entonces, estos dos triángulos juntos tienen un área de r(s − a), y el área S de todo el triángulo es por lo tanto

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)=r{\bigl (}3s-(a+b+c){\bigr )}=r(3s-2s)=rs\\[8pt]\end{aligned}}}$

Esto da el resultado

S = √s(s − a)(s − b)(s − c)

de acuerdo con la fórmula comentada.

• Primera fórmula de Mollweide. A partir de la fórmula de la suma y la ley de las cotangentes, se tiene que

${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\operatorname {sen} \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}}={\frac {a-b}{2s-a-b}}.}$

Esto da el resultado

${\displaystyle {\dfrac {a-b}{c}}={\dfrac {\operatorname {sen} \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}}$

de acuerdo con la fórmula comentada.

• Segunda fórmula de Mollweide. Según la fórmula de la suma y la ley de las cotangentes, se tiene que

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+1}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-1}}\\[6pt]={}&{\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+2\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}}.\end{aligned}}}$

Aquí, se requiere un paso adicional para transformar un producto en una suma, de acuerdo con la fórmula suma/producto.

Esto da el resultado

${\displaystyle {\dfrac {b+a}{c}}={\dfrac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\operatorname {sen} \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}}$

también de acuerdo con la fórmula comentada.

• La ley de las tangentes también se puede deducir a partir de la de las cotangentes (Silvester, 2001, p. 99).

• Ley de los senos
• Ley de los cosenos
• Ley de las tangentes
• Fórmula de Mollweide