Endomorfismo de Frobenius

Sea R un anillo conmutativo de característica un número primo p (la característica de un dominio de integridad R es siempre un número primo). El endomorfismo de Frobenius F se define como

${\displaystyle F(r)=r^{p}}$

para todo r de R. Se puede ver como esta aplicación respeta la multiplicación de elementos de R:

${\displaystyle F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F(s)\ ,}$

además es claro que F(1)=1. Usando el teorema del binomio y el hecho de que p es primo, se puede ver que los coeficientes de todos los términos de la expansión de r^p+s^p excepto r^p y s^p son divisibles por p, la característica de R, por lo que son iguales a cero, por lo tanto

${\displaystyle F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s)\ .}$

Esto demuestra que F es un homomorfismo de anillos.

Si φ : R → S es un homomorfismo de anillos de característica p, entonces

${\displaystyle \phi (x^{p})=\phi (x)^{p}.}$

Si F_R y F_S son los endomorfismos de Frobenius de R y S respectivamente, entonces podemos escribir esto como:

${\displaystyle \phi \circ F_{R}=F_{S}\circ \phi .}$

Esto significa que el endomorfismo de Frobenius es una transformación natural del funtor identidad en la categoría de los anillos de característica p en sí misma.

En general, F no es un automorfismo. Ya que este puede no ser inyectivo o sobreyectivo.

Si el anillo R no tiene elementos nilpotentes, entonces F es inyectivo: ${\displaystyle F(r)=0}$ significa ${\displaystyle r^{p}=0}$, que por definición implica que r es nilpotente de orden menor o igual a p. En particular, si R es un cuerpo entonces el endomorfismo de Frobenius es inyectivo.

El endomorfismo de Frobenius tampoco es necesariamente sobreyectivo. Por ejemplo, sea K el cuerpo F_p(t), es decir, un cuerpo finito con p elementos junto con un solo elemento trascendente. Podemos afirmar que la imagen de F no contiene t. Demostraremos este hecho por contradicción: Suponemos que existe un elemento de K cuya imagen al aplicarle F es t. Dicho elemento es una función racional q(t)/r(t) cuya potencia p-esima (q(t)/r(t))^p es igual a t. Esto implica que p(deg q - deg r) = 1, lo cual es imposible. Por lo que F no es sobreyectiva y por tanto no es un automorfismo.

Un cuerpo K es llamado perfecto si su característica es 0 o si tiene característica positiva y el endomorfismo de Frobenius es un automorfismo, esto equivale a decir que todo elemento de K es una raíz p-ésima de un elemento de K. Por ejemplo, todos los cuerpos finitos son perfectos.

Sea R un dominio de integridad. La aplicación de Frobenius deja fijos todos los elementos de R que satisfacen la ecuación x^p = x. Estas son todas las raíces de la ecuación x^p - x, y como esta ecuación tiene grado p, hay como mucho p raíces. Estas son exactamente los elementos 0, 1, 2, ..., p - 1, así que el conjunto de puntos fijos de F definen un cuerpo primo.

Iterando la aplicación de Frobenius obtenemos una secuencia de elementos de R:

${\displaystyle x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\ldots }$

Aplicando iterativamente e veces F a un anillo que contenga un cuerpo K de p^e elementos se obtiene un conjunto de puntos fijos igual a K, similar al ejemplo anterior. Los iterados de la aplicación de Frobenius se usan para definir la clausura de Frobenius y la clausura estricta de un ideal.

Para cuerpos finitos el endomorfismo de Frobenius es un automorfismo, ya que es inyectivo (por tratarse de cuerpos) y toda aplicación inyectiva entre conjuntos finitos es una permutación. Resulta que el grupo de Galois de una extensión de cuerpos finitos es generado iterando el automorfismo de Frobenius, es decir es un grupo cíclico generado por el Frobenius.

Consideremos el caso cuando el cuerpo de base es F_p el cuerpo con un número primo p de elementos. Sea F_q el campo finito de q elementos, con ${\displaystyle q=p^{e}}$. El automorfismo de Frobenius F de F_q fija F_p, por lo que es un elemento del grupo de Galois Gal(F_q/F_p). De hecho, como F_q^× es cíclico con q-1 elementos, sabemos que el grupo de Galois es cíclico y F es un generador. El orden de F es e ya que F^e actúa en un elemento x mandándolo a x^q, y esto corresponde a la identidad en F_q. Todo automorfismo de F_q es una potencia de F, y los generadores son potencias de Fⁱ con i coprimo a e.

Cuando el cuerpo base F_q es una extensión no trivial del cuerpo con un número primo de elementos F_p, con q=p^e, y consideramos una extensión F_q^f, el automorfismo de Frobenius F de F_q^f no fija el cuerpo F_q (de hecho fija F), por lo que necesitamos considerar el e-iésimo iterado F^e. El grupo de Galois Gal(F_q^f/F_q) es cíclico de orden f y es generado por F^e. Los generadores, entonces son potencias F^ei con i coprimo a f.

El automorfismo de Frobenius no es un generador del grupo de Galois absoluto

${\displaystyle \operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbf {F} _{q}}}/\mathbf {F} _{q}\right),}$

ya que este grupo es isomorfo a

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {Z} }}=\textstyle \varprojlim _{n}\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ,}$

que no es cíclico. Sin embargo, como el automorfismo de Frobenius es un generador del grupo de Galois de toda extensión finita de F_q, es un generador de todo cociente finito del grupo de Galois absoluto. Por lo tanto, es un generador topológico del grupo de Galois absoluto en el sentido de la topología de Krull.

Existen diversas maneras de definir el morfismo de Frobenius para un esquema. La más fundamental es el morfismo absoluto de Frobenius. No obstante, el morfismo absoluto de Frobenius tiene propiedades débiles en la situación relativa porque neglige el esquema de base. Existen varias alternativas para adaptar el morfismo de Frobenius para la situación relativa, su utilidad depende claramente de la situación que se quiere considerar.

• Ferdinand Georg Frobenius

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Frobenius automorphism», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Frobenius endomorphism», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.