Álgebra conmutativa

En matemáticas, más concretamente en el área del álgebra moderna conocida como teoría de anillos, un anillo noetheriano, llamado así por Emmy Noether, es un anillo en el que todo conjunto no vacío de idealess tiene un elemento maximal. Equivalentemente, un anillo es noetheriano si satisface la condición de cadena ascendente sobre ideales; es decir, dada cualquier cadena:

${\displaystyle I_{1}\subseteq \cdots I_{k-1}\subseteq I_{k}\subseteq I_{k+1}\subseteq \cdots }$

existe un n tal que:

${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=\cdots }$

Para que un anillo conmutativo sea noetheriano basta con que cada ideal primo del anillo esté finitamente generado. (El resultado se debe a I. S. Cohen.)

La noción de anillo noetheriano es de importancia fundamental tanto en la teoría de anillos conmutativos como en la de anillos no conmutativos, debido al papel que desempeña en la simplificación de la estructura ideal de un anillo. Por ejemplo, el anillo de enteros y el anillo de polinomios sobre un campo son anillos noetherianos y, en consecuencia, teoremas como el teorema de Lasker-Noether, el teorema de la intersección de Krull y el teorema de la base de Hilbert son válidos para ellos. Además, si un anillo es noetheriano, entonces satisface la condición de cadena descendente en ideales primos. Esta propiedad sugiere una teoría profunda de la dimensión de los anillos noetherianos que comienza con la noción de dimensión de Krull.

Si R es un anillo noetheriano izquierdo (resp. derecho), entonces el anillo polinómico R[X] es también un anillo noetheriano izquierdo (resp. derecho).

El teorema de la base de Hilbert tiene algunos corolarios inmediatos:

1. Por inducción vemos que ${\displaystyle R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]}$ también será noetheriano.
2. Dado que cualquier variedad afín sobre ${\displaystyle R^{n}}$ (es decir un locus-conjunto de una colección de polinomios) puede escribirse como el locus de un ideal ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]}$ y además como el locus de sus generadores, se deduce que toda variedad afín es el locus de finitamente muchos polinomios - es decir, la intersección de finitamente muchos hipersuperficies.
3. Si ${\displaystyle A}$ es una álgebra ${\displaystyle R}$ finitamente generada, entonces sabemos que ${\displaystyle A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}}$, donde ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ es un ideal. El teorema de la base implica que ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ debe ser finitamente generado, digamos ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})}$, es decir, ${\displaystyle A}$ es finitamente presentada.

Un ideal Q de un anillo se dice que es primario si Q es propio y siempre que xy ∈ Q, o bien x ∈ Q o bien yⁿ ∈ Q para algún entero positivo n. En Z, los ideales primarios son precisamente los ideales de la forma (p^e) donde p es primo y e es un entero positivo. Así, una descomposición primaria de (n) corresponde a representar (n) como la intersección de finitamente muchos ideales primarios.

El teorema de Lasker-Noether', dado aquí, puede verse como una cierta generalización del teorema fundamental de la aritmética:

Teorema de Lasker-Noether:

Sea R un anillo noetheriano conmutativo y sea I un ideal de R. Entonces I puede escribirse como la intersecci'on de finitamente muchos ideales primarios con distintos radicales; es decir:

${\displaystyle I=\bigcap _{i=1}^{t}Q_{i}}$

con Q_i primario para todo i y Rad(Q_i) ≠ Rad(Q_j) para i ≠ j. Además, si:

${\displaystyle I=\bigcap _{i=1}^{k}P_{i}}$

es la descomposición de I con Rad(P_i) ≠ Rad(P_j) para i ≠ j, y ambas descomposiciones de I son irredundantes (lo que significa que ningún subconjunto propio de {Q₁, ... , Q_t} o {P₁, ... P_k} produce una intersección igual a I), t = k y (después de renumerar posiblemente el Q_i) Rad(Q_i) = Rad(P_i) para todo i.

Para cualquier descomposición primaria de I, el conjunto de todos los radicales, es decir, el conjunto {Rad(Q₁), ..., Rad(Q_t)} sigue siendo el mismo por el teorema de Lasker-Noether. De hecho, resulta que (para un anillo noetheriano) el conjunto es precisamente el primo asociado del módulo R/I; es decir, el conjunto de todos los aniquiladores de R/I (visto como un módulo sobre R) que son primos.

La localización es una manera formal de introducir los "denominadores" a un anillo dado o a un módulo. Es decir, introduce un nuevo anillo/módulo a partir de uno ya existente de forma que esté formado por fracciones

${\displaystyle {\frac {m}{s}}}$.

donde los denominadores s oscilan en un subconjunto dado S de R. El ejemplo arquetípico es la construcción del anillo Q' de los números racionales a partir del anillo Z de los números enteros.

Una compleción es cualquiera de los diversos funtores relacionados sobre anillos y módulos que dan lugar a anillos topológicos y módulos completos. La compleción es similar a la localización, y juntas se encuentran entre las herramientas más básicas para analizar anillos conmutativos. Los anillos conmutativos completos tienen una estructura más simple que los generales y se les aplica el lema de Hensel.

La topología de Zariski define una topología sobre el espectro de un anillo (el conjunto de los ideales primos).[4] En esta formulación, los conjuntos cerrados de Zariski son los conjuntos

${\displaystyle V(I)=\{P\in \operatorname {Spec} \,(A)\mid I\subseteq P\}}$

donde A es un anillo conmutativo fijo e I es un ideal. Esto se define por analogía con la topología clásica de Zariski, donde los conjuntos cerrados en el espacio afín son los definidos por ecuaciones polinómicas . Para véase la conexión con la imagen clásica, nótese que para cualquier conjunto S de polinomios (sobre un campo algebraicamente cerrado), se deduce del Teorema de los ceros de Hilbert que los puntos de V(S) (en el sentido antiguo) son exactamente las tuplas (a₁, ..., a_n) tales que (x₁ - a₁, ..., x_n - a_n) contienen S; además, son ideales maximales y por la Nullstellensatz "débil", un ideal de cualquier anillo de coordenadas afín es maximal si y sólo si es de esta forma. Por tanto, V(S) es "lo mismo que" los ideales maximales que contienen a S. La innovación de Grothendieck al definir Spec fue sustituir los ideales maximales por todos los ideales primos; en esta formulación es natural generalizar simplemente esta observación a la definición de un conjunto cerrado en el espectro de un anillo.