Módulo (matemática)

• Si K es un cuerpo, entonces los conceptos "K-espacio vectorial" y K-módulo son idénticos.

• Cada grupo abeliano M es un módulo sobre el anillo de los números enteros Z si se define nx = x + x +... + x (n sumandos) para n > 0, 0 x = 0, y (- n) x = - (nx) para n < 0.

• Si R es cualquier anillo y n un número natural, entonces el producto cartesiano Rⁿ es un módulo izquierdo y derecho sobre R si se utilizan las operaciones componente a componente. El caso n = 0 da el trivial R-módulo {0} que consiste solamente en el elemento identidad (aditiva).

• Si X es una variedad diferenciable, entonces las funciones diferenciables de X a los números reales forman un anillo R. El conjunto de todos los campos vectoriales diferenciables definidos en X forman un módulo sobre R, y lo mismo con los campos tensoriales y las formas diferenciales en X.

• Las matrices cuadradas n-por-n con entradas reales forman un anillo R, y el espacio euclidiano R ⁿ es un módulo izquierdo sobre este anillo si se define la operación de módulo vía la multiplicación de matrices.

• Si R es cualquier anillo e I es cualquier ideal izquierdo en R, entonces I es un módulo izquierdo sobre R. Análogamente, por supuesto, los ideales derechos son módulos derechos.

• Si M_n(R) es el anillo de n × n matrices sobre un anillo R, M es un módulo M_n(R), y e_i es la matriz n × n con 1 en la (i, i)-entrada (y ceros en otros lugares), entonces e_iM es un R-módulo, ya que re_im = e_irm' ∈ e_iM. Así que M se descompone como la suma directa de R-módulos, M = e₁M ⊕ ... ⊕ e_nM. A la inversa, dado un R-módulo M₀, entonces M₀^⊕n es un M_n(R)-módulo.

De hecho, la categoría de R-módulos y la categoría de M_n(R)-módulos son equivalentes. El caso especial es que el módulo M sea simplemente R como módulo sobre sí mismo, entonces Rⁿ es un módulo M_n(R)-.

• Si S es un conjunto no vacío, M es un módulo izquierdo de R, y M^S es la colección de todas las funciones f : S → M, entonces como suma y multiplicación escalar en M^S definidas puntualmente por (f + g)(s) = f(s) + g(s) y (rf)(s) = rf(s), M^S es un módulo R-izquierdo. El caso del módulo R derecho es análogo. En particular, si R es conmutativo entonces la colección de homomorfismos de módulos R h : M → N (véase más adelante) es un módulo R (y de hecho un submódulo de N^M).

• Si X es una variedad diferenciable, entonces las funciones lisas de X a los números reales forman un anillo C^∞(X). El conjunto de todos los campos vectoriales suaves definidos en X forma un módulo sobre C^∞(X), y lo mismo ocurre con los campos tensoriales y las formas diferenciales en X. Más generalmente, las secciones de cualquier haz vectorial forman un módulo proyectivo sobre C^∞(X), y por teorema de Swan, todo módulo proyectivo es isomorfo al módulo de secciones de algún haz; la categoría de módulos de C^∞(X) y la categoría de haces vectoriales sobre X son equivalentes.
• Si R es un anillo cualquiera e I es un ideal izquierdo cualquiera de R, entonces I es un módulo izquierdo de R, y análogamente los ideales derechos de R son módulos derechos de R.
• Si R es un anillo, podemos definir el anillo opuesto R^op que tiene el mismo conjunto subyacente y la misma operación de suma, pero la multiplicación opuesta: si ab = c en R, entonces ba = c en R^op. Cualquier módulo izquierdo de R M puede verse entonces como un módulo derecho sobre R^op, y cualquier módulo derecho sobre R puede considerarse un módulo izquierdo sobre R^op.
• Los módulos sobre un álgebra de Lie son, en álgebra asociativa, módulos sobre su álgebra universal envolvente.
• Si R y S son anillos con un homomorfismo de anillos φ : R → S, entonces todo módulo S M es un módulo R definiendo rm = φ(r)m. En particular, el propio S es un módulo R de este tipo.

Suponga que M es un R-módulo izquierdo y N es un subgrupo de M. Entonces N es un submódulo (o R-submódulo, para ser más explícito) si, para cualquier n en N y cualquier r en R, el producto rn está en N (o el nr para un módulo derecho). Si M y N son R - módulos, entonces una función f: M → N es un homomorfismo de R - módulos si, para cualquier m, n en M y r, s en R,

f (rm + sn) = rf(m) + sf(n).

Esto, como cualquier homomorfismo de objetos matemáticos, es precisamente una función que preserva la estructura de los objetos. Un homomorfismo biyectivo de módulos es un isomorfismo de módulos, y los dos módulos se llaman isomorfos. Dos módulos isomorfos son idénticos para todos los propósitos prácticos, diferenciándose solamente en la notación para sus elementos.

El núcleo de un homomorfismo de módulos f: M → N es el submódulo de M que consiste en todos los elementos que son enviados a cero por f. Los teoremas de isomorfía familiares de grupos abelianos y de espacios vectoriales son también válidos para R-módulos.

Los R-módulos izquierdos, junto con sus homomorfismos de módulo, forman una categoría, escrita como _RMod. Esta es una categoría abeliana.

Un homomorfismo biyectivo de módulo f : M → N} se llama un isomorfismo de módulo, y los dos módulos M y N se llaman isomorfos'. Dos módulos isomorfos son idénticos a todos los efectos prácticos, diferenciándose únicamente en la notación de sus elementos.

El núcleo de un homomorfismo de módulo f : M → N es el submódulo de M formado por todos los elementos que son enviados a cero por f, y la image de f es el submódulo de N formado por los valores f(m) para todos los elementos m de M.[1] Los teoremas de isomorfismos conocidos de grupos y espacios vectoriales también son válidos para módulos R.

Dado un anillo R, el conjunto de todos los módulos izquierdos de R junto con sus homomorfismos de módulo forman una categoría abeliana, denotada por R-Mod'.

Finitamente generado. Un módulo M es finitamente generado si existe un número finito de elementos x₁..., x_n en M tales que cada elemento de M es una combinación lineal de esos elementos con coeficientes del anillo escalar R.

Libre. Un módulo libre es un módulo que tiene una base libre, o equivalentemente, uno que es isomorfo a una suma directa de copias del anillo escalar R. Estos son los módulos que se comportan parecido a los espacios vectoriales.

Proyectivo. Los módulos proyectivos son sumandos directos de módulos libres y comparten muchas de sus propiedades deseables.

Inyectivo. Los módulos inyectivos se definen dualmente a los módulos proyectivos.

Simple. Un módulo simple S es un módulo que no es {0} cuyos únicos submódulos son {0} y S. Los módulos simples a veces se llaman irreducibles.

Indescomponible. Un módulo indescomponible es un módulo diferente a cero que no se puede escribir como una suma directa de dos submódulos diferentes a cero. Cada módulo simple es indescomponible.

Fiel. Un módulo fiel M es uno donde la acción de cada r (distinto de cero) en R es no trivial (es decir, existe algún m en M tal que rm ≠ 0). Equivalente, el anulador de M es el ideal cero.

Noetheriano. Un módulo noetheriano es un módulo tal que cada submódulo es finitamente generado. Equivalente, cada cadena creciente de submódulos llega a ser estacionaria en finitos pasos.

Artiniano. Un módulo artiniano es un módulo en el cual cada cadena decreciente de submódulos llega a ser estacionaria en finitos pasos.

Graduado: Un módulo graduado es un módulo con una descomposición como suma directa M = ⨁_x M_x sobre un anillo graduado R = ⨁_x R_x tal que R_xM_y ⊂ M_x+y para todo x e y.

Uniforme: Un módulo uniforme es un módulo en el que todos los pares de submódulos distintos de cero tienen intersección distinta de cero.

Si M es un R-módulo izquierdo, entonces la acción de un elemento r en R se define como la función M → M que envía cada x al rx (o al xr en el caso de un módulo derecho), y es necesariamente un endomorfismo de grupo del grupo abeliano (M, +). El conjunto de todos los endomorfismos de grupo de M es denotado End_Z(M) y forma un anillo bajo la adición y composición, y enviando un elemento r del anillo R a su acción define realmente un homomorfismo de anillo de R a End_Z(M).

Tal del homorfismo R del anillo → End_Z(M) se llama una representación de R en el grupo abeliano M; una manera alternativa y equivalente de definir R-módulos izquierdos es decir que un R-módulo izquierdo es un grupo abeliano M junto con una representación de R en él.

Una representación se llama fiel si y solamente si la función R → End_Z(M) es inyectiva. En términos de módulos, esto significa que si r es un elemento de R tal que rx = 0 para todo x en M, entonces r = 0. Cada grupo abeliano es un módulo fiel sobre los números enteros o sobre una cierta aritmética modular Z/n Z.

• F.W. Anderson y K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2.ª Ed., Springer-Verlag, New York, 1992
• Nathan Jacobson. Structure of rings. Colloquium publications, Vol. 37, 2nd Ed., AMS Bookstore, 1964, ISBN 978-0-8218-1037-8

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Module», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.