Octógono

Un octágono tiene 20 diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para determinar el número de diagonales de un polígono, ${\displaystyle D=n(n-3)/2}$; siendo el número de lados ${\displaystyle n=8}$, se tiene:

${\displaystyle D={\frac {8(8-3)}{2}}=20}$

La suma de todos los ángulos internos de cualquier octógono es 1080 grados o ${\displaystyle 6\pi }$ radianes.

Construcción de un octógono regular con regla y compás

Un octógono regular es un polígono regular de ocho lados, por tanto, tiene sus lados y ángulos iguales (congruentes) y los lados se unen formando un ángulo de 135° o ${\displaystyle 3\pi /4}$ rad. Cada ángulo externo del octógono regular mide 45° o ${\displaystyle \pi /4}$ rad.

Para obtener el perímetro P de un octógono regular, multiplíquese la longitud t de uno de sus lados por ocho (el número de lados n del polígono).

${\displaystyle P=n\cdot t=8\ t}$

pero si solo se conoce la longitud de la apotema del polígono,a, el valor del perímetro será:

${\displaystyle P=16a({\sqrt {2}}-1)}$

La apotema en función del lado del polígono, ${\displaystyle t}$, es[1]

${\displaystyle a={\frac {t}{2}}\cdot {\frac {\sin(67.5^{\circ })}{\sin(22.5^{\circ })}}={\frac {t}{2}}\cdot \cot(\pi /8)}$

El área A de un octógono regular de lado t se calcula mediante la fórmula:

Octógono regular

${\displaystyle A={\frac {8t^{2}}{4\tan({\frac {\pi }{8}})}}\simeq 4.8284\ t^{2},}$

donde ${\displaystyle \pi }$ es la constante pi y ${\displaystyle \tan }$ es la función tangente calculada en radianes.

Si se conoce la longitud del apotema a del polígono, una alternativa para calcular el área es:

${\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}={\frac {8t\cdot a}{2}}=4\cdot t\cdot a}$

Si solo se conoce el lado t, se puede calcular el área con la siguiente fórmula:

${\displaystyle A=2t^{2}(1+{\sqrt {2}})}$

O bien, si solo se conoce la apotema a,[1]

${\displaystyle A=8\cdot a^{2}\cdot {\frac {\sin(22.5^{\circ })}{\sin(67.5^{\circ })}}=8\cdot a^{2}\cdot \tan(\pi /8)\approx a^{2}\cdot 3.31371}$

El símbolo de Schläfli del octógono regular es {8}.[2]

Un octágono irregular es una figura plana de 8 lados con longitudes y ángulos desiguales. Esto significa que hay una enorme variación posible de combinación de longitudes y ángulos, el número de octógonos irregulares posibles es virtualmente infinito. Se calculan las áreas de los ocho triángulos. El área del primer triángulo es:

${\displaystyle A={\frac {L_{1}\cdot h_{1}}{2}}}$

Se utiliza la misma fórmula para calcular el área de los otros siete triángulos.

Se suman las ocho áreas y se obtiene el área del octágono irregular: El octágono irregular tiene algunos o todos sus ángulos interiores desiguales. La fórmula de su perímetro es la suma de la longitud de sus ocho lados:

${\displaystyle P=L_{1}+L_{2}+\ldots +L_{8}}$

donde L₁, L₂, ..., L₈ son los lados del octágono.

• Polígono (geometría)
• Figura geométrica

1. La RAE reconoce la validez de ambas formas, pero prefiere "octógono". Real Academia Española. «octágono». Diccionario de la lengua española (23.ª edición).

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• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre octágono.