Teoría de placas y láminas

Deformación transversal de una placa en la hipótesis de Reissner-Mindlin donde θ_i y dw/dx_i no tienen necesariamente que coincidir.

Las hipótesis de Reissner-Mindlin son un conjunto de hipótesis cinemáticas sobre cómo se deforma una placa o lámina bajo flexión que permiten relacionar los desplazamientos con las deformaciones. Una vez obtenidas las deformaciones la aplicación rutinaria de las ecuaciones de la elasticidad permite encontrar las tensiones, y encontrar la ecuación que relaciona desplazamientos con las fuerzas exteriores.

Las hipótesis de Reissner-Mindlin para el cálculo elástico de placas y láminas son:

1. El material de la placa es elástico lineal.
2. El desplazamiento vertical para los puntos del plano medio no depende de z: u_z(x, y, z) = w(x, y).
3. Los puntos del plano medio solo sufren desplazamiento vertical: u_x(x, y,0) = 0, u_y(x, y,0) = 0.
4. La tensión perpendicular al plano medio se anula: σ_zz= 0.

Como consecuencia los desplazamientos horizontales solo se dan fuera del plano medio y solo se producen por giro del segmento perpendicular al plano medio. Como consecuencia de las hipótesis de Reissner-Mindlin los desplazamientos pueden escribirse como:

${\displaystyle {\begin{cases}u_{x}(x,y,z)=-z\theta _{x}(x,y)\\u_{y}(x,y,z)=-z\theta _{y}(x,y)\\u_{z}(x,y,z)=w(x,y)\end{cases}}}$

En las placas en que se desprecia la deformación por cortante, puede suponerse adecuadamente una hipótesis adicional conocida como hipótesis de Love-Kirchhoff. Esta hipótesis dice que:

5. ${\displaystyle \theta _{x}(x,y)={\frac {\partial w}{\partial x}}\qquad \theta _{y}(x,y)={\frac {\partial w}{\partial y}}}$

Esta hipótesis es análoga a la hipótesis de Navier-Bernoulli para vigas. De hecho existe un paralelo entre los modelos de vigas y de placas. El modelo de placa de Reissner-Mindlin es el equivalente de la viga de Timoshenko, mientras que el modelo de placa de Love-Kirchhoff es el equivalente de la viga de Euler-Bernoulli.

Las hipótesis de Reissner-Mindlin combinada con la hipótesis de Love-Kirchhoff proporcionan una hipótesis cinemática para los desplazamientos. A partir de esos desplazamientos pueden calcularse fácilmente las deformaciones para una placa delgada:

${\displaystyle \varepsilon _{xx}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\qquad \varepsilon _{yy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\qquad \varepsilon _{xy}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}}$

En función de esas deformaciones las tensiones se calculan trivialmente a partir de las ecuaciones de Lamé-Hooke que generalizan la ley de Hooke para sólidos deformables.

Para una placa plana de espesor constante en la que sean válidas las hipótesis de Reissner-Mindlin y Love-Kircchoff el descenso vertical en cada punto bajo la acción de las cargas apoyadas sobre ella viene dada por:

(1)${\displaystyle \Delta \Delta w(x,y)={\frac {q(x,y)}{D}}}$

Donde w(x, y) es la flecha vertical o descenso vertical de la placa en el punto de coordenadas (x, y), q(x, y) es la carga por unidad de área en el mismo punto, el operador laplaciano se define, en coordenadas cartesianas, por la siguiente suma de operadores:

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}},\qquad \qquad \Rightarrow \Delta \Delta w={\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}}$

Y finalmente la constante D es la rigidez flexional de placas y viene dada en función del espesor de la placa (h), el módulo de Young (E), el coeficiente de Poisson (ν):

${\displaystyle D={\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}}$

Es interesante notar que la ecuación (1) es el análogo de la ecuación de la elástica para vigas. Para placas de espesor no constante, análogamente al caso de la ecuación de la elástica para vigas, la flecha y la carga aplicada están relacionadas por la ecuación:

(2)${\displaystyle \Delta \left(D\Delta w(x,y)\right)=q(x,y)}$

Donde ahora la rigidez flexional D es función una D(x, y) que depende del punto concreto de placa.

La resolución de la ecuación (1) en general no es trivial y requiere tanto el uso de coordenadas adecuadas (para placas rectangulares se emplean coordenadas cartesianas, pero para placas circulares se emplean coordenadas cilíndricas) como la elección de algún método adecuado de integración. Entre los más sencillos están el método de Navier-Kirchhof[1] y el método de Levy[2] que se basan en series obtenidas mediante el método de separación de variables.

En una lámina sometida fundamentalmente a flexión en la que se desprecia la deformación por cortante, o lámina de Love-Kirchhof, los esfuerzos internos se caracterizan por dos momentos flectores ${\displaystyle m_{x},m_{y}\;}$ según dos direcciones mutuamente perpendiculares y un esfuerzo de torsión ${\displaystyle m_{xy}}$. Estos esfuerzos están directamente relacionados con la flecha vertical w(x, y) en cada punto por:

${\displaystyle {\begin{cases}m_{x}=-D\left[{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right]&m_{xy}=-D(1-\nu )\left[{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y\partial x}}\right]\\m_{y}=-D\left[\nu {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right]\end{cases}}}$

Donde:

${\displaystyle \nu \,}$, es el coeficiente de Poisson del material de la placa.

${\displaystyle D=Eh^{3}/12(1-\nu ^{2})\;}$, es la rigidez en flexión de la placa, siendo:

${\displaystyle E\;}$ el módulo de Young del material de la placa, y h el espesor de la placa.

Las tensiones sobre una placa son directamente calculabes a partir de los esfuerzos anteriores:

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma _{xx}={\cfrac {12z}{h^{3}}}m_{y}(x,y)&\sigma _{xy}={\cfrac {12z}{h^{3}}}m_{xy}(x,y)\\\sigma _{yy}={\cfrac {12z}{h^{3}}}m_{x}(x,y)&\sigma _{xz}=\sigma _{yz}=\sigma _{zz}=0\end{cases}}}$

Para una placa rectangular de dimensiones a y b con carga uniforme q (por unidad de superficie) y simplemente apoyada en sus extremos la deflexión vertical ${\displaystyle \scriptstyle w(x,y)}$ de la misma viene dada por:

${\displaystyle w(x,y)={\frac {16q}{\pi ^{6}D}}\sum _{m=1,3,5,\dots }^{\infty }\sum _{n=1,3,5,\dots }^{\infty }{\frac {1}{mn}}{\frac {\sin \left({\frac {m\pi x}{a}}\right)\sin \left({\frac {n\pi y}{b}}\right)}{\left[\left({\frac {m}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n}{b}}\right)^{2}\right]^{2}}}}$

con:

${\displaystyle D=Eh^{3}/[12(1-\nu ^{2})]\,}$, rigidez flexional de placas

${\displaystyle h<<\min(a,b)\,}$, grosor de la placa.

${\displaystyle E,\nu \,}$, módulo de Young y coeficiente de Poisson del material de la placa.

La anterior serie converge muy rápidamente por lo que se obtiene una muy buena aproximación tomando solo los 3 o 6 primeros términos, además puede demostrarse que la flecha máxima cumple:

${\displaystyle w_{\max }={\frac {16q}{\pi ^{6}D}}\sum _{m=1,3,5,\dots }^{\infty }\sum _{n=1,3,5,\dots }^{\infty }{\frac {(-1)^{{\frac {m+n}{2}}-1}}{mn\left[\left({\frac {m}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n}{b}}\right)^{2}\right]^{2}}}\leq {\frac {16q}{\pi ^{6}D}}\left({\frac {a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}={\frac {192}{\pi ^{6}}}{\frac {qa^{4}}{Eh^{3}}}(1-\nu ^{2}){\frac {\lambda ^{2}}{(1+\lambda ^{2})^{2}}}}$

donde ${\displaystyle \lambda =a/b\geq 1\,}$.

Como ejemplo de las anteriores ecuaciones podemos considerar una cúpula en forma de casquete esférico sometida a su propio peso. Cada punto de la cúpula bidimensional se puede parametrizar mediante las coordenadas ${\displaystyle (u,v)\ [=(\theta ,\phi )]\,}$:

${\displaystyle \mathbf {r} =R_{C}(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta ),\qquad \mathbf {p} =(p_{\theta },p_{\phi },p_{\eta })=-p(\sin \theta ,0,\cos \theta )}$

Con lo cual tenemos los factores geométricos siguientes:

${\displaystyle U=\|\mathbf {r} _{\theta }\|=R_{C},\qquad V=\|\mathbf {r} _{\phi }\|=R_{C}\sin \theta }$

Y por tanto las ecuaciones anteriores quedarán reducidas a:

${\displaystyle {\begin{cases}+n_{\phi \phi }\cos \theta +q_{\theta }-(n_{\theta \theta })'_{\theta }-n_{\theta \theta }\tan \theta =-R_{C}p\sin \theta \\-n_{\phi \theta }\cos \theta +{\cfrac {q_{\phi }}{\sin \theta }}-(n_{\theta \phi })'_{\theta }-n_{\theta \phi }\tan \theta =0\\-n_{\theta \theta }-{\cfrac {n_{\phi \phi }}{\sin \theta }}-(q_{\theta })'_{\theta }-q_{\theta }\tan \theta =-R_{C}p\cos \theta \\+m_{\phi \phi }\cos \theta +R_{C}q_{\theta }-(m_{\theta \theta })'_{\theta }-m_{\theta \theta }\tan \theta =0\\-m_{\phi \theta }\cos \theta +R_{C}q_{\phi }-(m_{\theta \phi })'_{\theta }-m_{\theta \phi }\tan \theta =0\end{cases}}}$

El caso general de una lámina general requiere usar coordenadas curvilíneas generales para parametrizar su superficie, eso conduce a ecuaciones de gobierno que son ecuaciones en derivadas parciales cuya integración es complicada. Sin embargo muchos casos de interés involucran láminas con simetría axial o de revolución, con cargas que también respetan la simetría axial. En esos casos la geometría de la superficie puede parametrizarse mediante una coordenada (que da su "perfil" radial), y las ecuaciones de gobierno en ese caso involucran derivadas respecto a una única coordenada, y por tanto son un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Gracias a eso el comportamiento real puede estimarse mediante métodos clásicos, ya que resulta factible integrar en algunos casos las ecuaciones de gobierno. Esto contrata con el caso general para el cual no se conocen las soluciones analíticas de las ecuaciones de gobierno, por lo que en el caso general el comportamiento solo puede investigarse buscando soluciones numéricas aproximadas a las ecuaciones de gobierno.

El caso más simple de teoría de láminas axisimétricas es la teoría estática especial de Cosserat que describe el comportamiento de placas axisimétricas susceptibles de sufrir flexión en su superficie media, extensión de la misma y cortante en el espesor.

• Antman, Stuart S. (1995). «X. Axisymmetric Equilibria of Cosserat Shells». Nonlinear Problems of Elasticity (libro|formato= requiere |url= (ayuda)). Applied Mathematical Sciences (en inglés) 107. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94199-1.
• Langhaar, H. L. (1962). Energy Methods in Applied Mechanics. Wiley. ISBN 978-0-89464-364-4..

• Ecuación de Placas en eFunda
• Advanced Mechanics of Material: Plates