Esfuerzo interno

Consideremos la viga o prisma mecánico que se observa en la primera figura y supongamos que se encuentra vinculado al resto de la estructura de forma isoestática. Supondremos también que sobre este prisma actúan fuerzas externas activas en el plano de su eje baricéntrico (o línea recta que uno los baricentros de todas las secciones transversales rectas del prisma).

El primer paso es dividir el rígido en dos bloques más pequeños. Quedan determinados los bloques 1 y 2 de la figura.

Seguidamente estudiaremos el bloque 1, donde aparecen 2 fuerzas externas reactivas actuando (P₁ y P₁). Como se puede ver este bloque ahora no se encuentra vinculado isoestáticamente, así que para que pueda quedar en equilibrio deben existir fuerzas que equilibren al mismo. Estas fuerzas son fuerzas reactivas también y corresponden a la acción del bloque 2 sobre el bloque 1. Las fuerzas reactivas del bloque 2 sobre el 1 pueden ser reducidas a una fuerza y un momento actuando sobre el baricentro de la sección recta A. De hecho estas fuerzas y momentos son la fuerza resultante y el momento resultante de la distribución de tensiones sobre el área recta A.

Como estamos tratando el caso especial de fuerzas externas activas actuando sobre el plano del eje baricéntrico, el momento y la fuerza al que se reducen las fuerzas reactivas del bloque 2 sobre el bloque 1, deben de ser una fuerza contenida en dicho plano y un momento perpendicular a mismo plano.

Llamaremos a la fuerza R_2-1 del bloque 2 sobre el bloque y al momento lo llamaremos M_2-1. La fuerza R_2-1 puede descomponerse en una componente vertical y otra horizontal en el plano que se halla contenida. Llamaremos R_2-1,y a la fuerza descompuesta en sentido vertical y R_2-1,x a la descompuesta en sentido horizontal. Resumiendo tenemos que el sistema de fuerzas en equilibrio que está formado por:

• Las fuerzas activas externas sobre el bloque 1.
• Las fuerzas reactivas P₁ y P₂.
• Las fuerzas reactivas R_2-1,x, R_2-1,y y el momento M_2-1.

A las fuerzas reactivas R_2-1,x, R_2-1,y y al momento M_2-1 se los conocen como esfuerzos internos. Y representan respectivamente el esfuerzo normal (N = R_2-1,x), el esfuerzo de corte (Q = R_2-1,y) y el Momento flector (M_f = M_2-1).

En piezas prismáticas sometidas a flexión compuesta (no esviada y sin torsión), el cálculo de las tensiones resulta sencillo si se conocen los esfuerzos internos, para una pieza simétrica en la que el centro de gravedad esté alineado con el centro de cortante y con un canto total suficientemente pequeño comparado con la longitud de la pieza prismática, de tal manera que se pueda aplicar la teoría de Navier-Bernouilli, el tensor tensión de una viga viene dado en función de los esfuerzos internos por:

${\displaystyle [T]_{xyz}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{y}&\tau _{z}\\\tau _{y}&0&0\\\tau _{z}&0&0\end{bmatrix}}}$

Donde las tensiones normal (σ) y tangencial (τ) pueden determinarse a partir de los esfuerzos internos ${\displaystyle N_{x},M_{y},M_{z},T_{y},T_{z}\;}$. Si se considera un sistema de ejes principales de inercia sobre la viga, considerada como prisma mecánico, las tensiones asociadas a la extensión, flexión y cortante resultan ser:

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {N_{x}}{A}}+{\frac {M_{y}z}{I_{y}}}-{\frac {M_{z}y}{I_{z}}}\qquad \tau _{y}\approx k_{\sec }{\frac {T_{y}}{A}}\qquad \tau _{z}\approx k_{\sec }{\frac {T_{z}}{A}}}$

Donde ${\displaystyle k_{\sec }}$ es el coeficiente que relaciona la Tensión cortante máxima y la tensión cortante promedio de la sección. Un criterio frecuentemente empleado para las vigas metálicas es verificar que en todas las secciones se verifique la siguiente condición:

${\displaystyle \sigma _{\rm {cort}}={\sqrt {\sigma ^{2}+3(\tau _{y}^{2}+\tau _{z}^{2})}}\leq \sigma _{u}}$

Siendo ${\displaystyle \sigma _{u}\;}$ la tensión última o tensión admisible normalmente definida en términos del límite elástico del material. Para piezas prismáticas susceptibles de sufrir pandeo el cálculo anterior no conduce a un diseño seguro, ya que en ese caso se subestima la tensión normal susceptible de desarrollarse en la pieza.

En una lámina sometida fundamentalmente a flexión en la que se desprecia la deformación por cortante y los esfuerzos de membrana se llama lámina de Love-Kirchhof, los esfuerzos internos se carazterizan por dos momentos flectores ${\displaystyle m_{x},m_{y}\;}$ según dos direcciones mutuamente perpendiculares y un esfuerzo torsor ${\displaystyle m_{xy}}$. Estos esfuerzos están directamente relacionados con la flecha vertical w(x, y) en cada punto por:

${\displaystyle {\begin{cases}m_{x}=-D\left[{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right]&m_{xy}=-D(1-\nu )\left[{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y\partial x}}\right]\\m_{y}=-D\left[\nu {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right]\end{cases}}}$

Donde:

${\displaystyle \nu \,}$, es el coeficiente de Poisson del material de la placa.

${\displaystyle D=Eh^{3}/12(1-\nu )\;}$, es la rigidez en flexión de la placa, siendo:

${\displaystyle E\;}$ el módulo de Young del material de la placa.

${\displaystyle h\;}$ es el espesor de la placa.

Las tensiones sobre una placa son directamente calculables a partir de los esfuerzos anteriores:

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma _{xx}={\cfrac {12z}{h^{3}}}m_{y}(x,y)&\sigma _{xy}={\cfrac {12z}{h^{3}}}(1-\nu )^{2}m_{xy}(x,y)\\\sigma _{yy}={\cfrac {12z}{h^{3}}}m_{x}(x,y)&\sigma _{xz}=\sigma _{yz}=\sigma _{zz}=0\end{cases}}}$