Podaria

Tómese P como el origen de coordenadas. Para una curva dada por la ecuación F (x, y) = 0, si la ecuación de la tangente en R = (x₀, y₀) se escribe en la forma

${\displaystyle \cos \alpha x+\sin \alpha y=p}$

entonces el vector (cos α, sen α) es paralelo al segmento PX, y la longitud de PX, que es la distancia desde la línea tangente al origen, es p. Entonces X se representa en coordenadas polares (p, α) reemplazando (p, α) por (r, θ), lo que produce la ecuación polar de la curva podaria.[2]

Podaria (rojo) de una elipse (negro). Aquí a=2 y b=1 y la ecuación de la podaria toma la forma 4x²+y²=(x²+y²)²

Por ejemplo,[3] para la elipse

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

la línea tangente en R = (x₀, y₀) es

${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$

y escribir esto en la forma dada arriba requiere que

${\displaystyle {\frac {x_{0}}{a^{2}}}={\frac {\cos \alpha }{p}},\,{\frac {y_{0}}{b^{2}}}={\frac {\sin \alpha }{p}}.}$

La ecuación para la elipse se puede usar para eliminar x₀ e y₀ dando

${\displaystyle a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha =p^{2},\,}$

y la conversión a (r, θ) da

${\displaystyle a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta =r^{2},\,}$

como la ecuación polar de la podaria. Esto se convierte fácilmente en una ecuación cartesiana como

${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}.\,}$

Sea P el origen y esté la curva C dada en coordenadas polares mediante r = f(θ). Sea R = (r, θ) un punto de la curva y sea X = (p, α) el punto correspondiente en la curva podaria. Si ψ denota el ángulo entre la línea tangente y el vector del radio, también conocido como ángulo polar tangencial. Está dado por

${\displaystyle r={\frac {dr}{d\theta }}\tan \psi .}$

Entonces

${\displaystyle p=r\sin \psi }$  y  ${\displaystyle \alpha =\theta +\psi -{\frac {\pi }{2}}.}$

Estas ecuaciones se pueden usar para producir una ecuación en p y α que, cuando se traduce a r y θ da una ecuación polar para la curva podaria.[4]

Por ejemplo,[5] siendo la coordenada x de la circunferencia dada por r = a cos θ, entonces

${\displaystyle a\cos \theta =-a\sin \theta \tan \psi }$

así que

${\displaystyle \tan \psi =-\cot \theta ,\,\psi ={\frac {\pi }{2}}+\theta ,\alpha =2\theta .}$

y también

${\displaystyle p=r\sin \psi \ =r\cos \theta =a\cos ^{2}\theta =a\cos ^{2}{\alpha \over 2}.}$

Entonces la ecuación polar de la podaria es

${\displaystyle r=a\cos ^{2}{\theta \over 2}.}$

Los ecuación podal de una curva y su podaria están estrechamente relacionadas. Si se toma P como punto podal y el origen de coordenadas, entonces se puede demostrar que el ángulo ψ entre la curva y el vector del radio en un punto R es igual al ángulo correspondiente para la curva de la podaria en el punto X. Si p es la longitud de la perpendicular trazada desde P a la tangente de la curva (es decir, PX) y q es la longitud de la perpendicular correspondiente extraída de P a la tangente a la podaria, entoncws, por triángulos similares

${\displaystyle {\frac {p}{r}}={\frac {q}{p}}.}$

Se deduce inmediatamente que si la ecuación podal de la curva es f (p, r) = 0, entonces la ecuación podal para la curva podarua es [6]

${\displaystyle f(r,{\frac {r^{2}}{p}})=0}$

A partir de esta igualdad, todas las podarias positivas y negativas se pueden calcular fácilmente si se conoce la ecuación podal de la curva.

Contrapodaria de la elipse anterior

Podaria de la evoluta de la elipse: coincide con la contrapodaria de la elipse inicial

Sea ${\displaystyle {\vec {v}}=P-R}$ el vector de R a P y sean

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{\parallel }+{\vec {v}}_{\perp }}$,

las componentes tangencial y normal de ${\displaystyle {\vec {v}}}$ con respecto a la curva. Entonces ${\displaystyle {\vec {v}}_{\parallel }}$ es el vector de R a X desde el que se puede calcular la posición de X.

Específicamente, si c es una parametrización de la curva, entonces

${\displaystyle t\mapsto c(t)+{c'(t)\cdot (P-c(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)}$

parametriza la curva podaria (sin tener en cuenta los puntos donde c' es cero o indefinido).

Para una curva definida paramétricamente, su curva podaria con el punto podal (0; 0) se define como

${\displaystyle X[x,y]={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}}$

${\displaystyle Y[x,y]={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}.}$

La curva contrapodaria viene dada por:

${\displaystyle t\mapsto P-{c'(t)\cdot (P-c(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)}$

Con el mismo punto podal, la curva contrapodaria es la curva podaria de la evoluta de la curva dada.

Caracol de Pascal — curva podaria de una circunferencia

Cuando C es una circunferencia, la discusión anterior muestra que las siguientes definiciones de un caracol de Pascal son equivalentes:

• Es la podaria de una circunferencia.
• Es la envolvente de circunferencias cuyos diámetros tienen un punto final en un punto fijo y otro punto final que sigue una circunferencia.
• Es la envolvente de circunferencias a través de un punto fijo cuyos centros siguen una circunferencia.
• Es la ruleta formada por una circunferencia que rueda alrededor de otra circunferencia con el mismo radio.

También se ha demostrado que la catacáustica de una circunferencia es la evoluta de una curva conocida como caracol de Pascal.