Polinomio matricial

En matemáticas, un polinomio matricial es un polinomio con matrices cuadradas como sus variables. Dado polinomio normal y cualuado en escalares

P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},

este polinomio evaluado en la matriz A es

P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},

donde $I$ es la matriz de identidad .[1]

Una ecuación polinómica matricial es una igualdad entre dos polinomios matriciales, el cual cumple para las matrices concretas en cuestión. Una identidad polinómica matricial es una ecuación polinómica matricial que cumple para todas las matrices A en cierto anillo matricial especificado M_n(R).

Polinomio característico y polinomio mínimo

El polinomio característico de una matriz A es un polinomio valuado en escalares, definido por $p_{A}(t)=\det \left(tI-A\right)$ . El teorema de Cayley–Hamilton declara que si este polinomio está visto como polinomio matricial y evaluado en la matriz A, el resultado es la matriz cero : $p_{A}(A)=0$ . El polinomio característico es entonces un polinómico que aniquila a A.

Existe un único polinomio mónico de grado mínimo qué aniquila a A; este polinomio de llama el polinomio mínimo. Cualquier polinomio que aniquila a A (por ejemplo, el polinomio característico) es múltiplo del polinomio mínimo.[2]

Sigue que dados dos polinomios P y Q, tenemos que $P(A)=Q(A)$ si y sólo si

P^{(j)}(\lambda _{i})=Q^{(j)}(\lambda _{i})\qquad {\text{para toda }}j\in \{0,\ldots ,n_{i}-1\}{\text{ e }}i\in \{1,\ldots ,s\},

donde $P^{(j)}$ denota la derivada j-ésima de P y $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{s}$ son los eigenvalores de A con índices correspondientes $n_{1},\dots ,n_{s}$ (el índice de un eigenvalor es la medida de su bloque de Jordan más grande).[3]

Serie geométrica matricial

Los polinomios matriciales pueden ser usados para sumar una serie geométrica matricial como uno lo haría con una serie geométrica usual,

S=I+A+A^{2}+\cdots +A^{n}

AS=A+A^{2}+A^{3}+\cdots +A^{n+1}

(I-A)S=S-AS=I-A^{n+1}

S=(I-A)^{-1}(I-A^{n+1})

Si $I-A$ no es singular, uno puede evaluar la expresión para la suma S.

Véase también

Teorema de Latimer–MacDuffee
Exponencial Matricial
Función matricial

Notas

Horn y Johnson, 1990, p. 36.
Horn y Johnson, 1990, Thm 3.3.1.
Higham, 2000, Thm 1.3.

Referencias

Gohberg, Israel; Lancaster, Peter; Rodman, Leiba (2009). Matrix Polynomials. Classics in Applied Mathematics 58. Lancaster, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0-898716-81-8.
Higham, Nicholas J. (2000). Functions of Matrices: Theory and Computation. SIAM. ISBN 089-871-777-9..
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6..

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[FOOTNOTEHornJohnson199036-1] Horn y Johnson, 1990, p. 36.

[FOOTNOTEHornJohnson1990Thm_3.3.1-2] Horn y Johnson, 1990, Thm 3.3.1.

[FOOTNOTEHigham2000Thm_1.3-3] Higham, 2000, Thm 1.3.