Punto umbilical

La clasificación de los puntos umbilicales está estrechamente ligada a la clasificación de las formas cúbicas reales ${\displaystyle ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3}}$. Una forma cúbica tendrá un número de líneas raíz ${\displaystyle \lambda (x,y)}$ tal que la forma cúbica sea cero para todo ${\displaystyle \lambda }$ real. Hay una serie de posibilidades que incluyen:

• Tres líneas distintas: una forma cúbica elíptica, modelo estándar ${\displaystyle x^{2}y-y^{3}}$.
• Tres líneas, dos de las cuales coinciden: una forma cúbica parabólica, modelo estándar ${\displaystyle x^{2}y}$.
• Una sola recta real: una forma cúbica hiperbólica, modelo estándar ${\displaystyle x^{2}y+y^{3}}$.
• Tres líneas coincidentes, modelo estándar ${\displaystyle x^{3}}$.[4]

Las clases de equivalencia de tales cúbicas bajo escala uniforme forman un espacio proyectivo real tridimensional y el subconjunto de formas parabólicas definen una superficie, llamada brazalete umbilical por Christopher Zeeman.[4] Al tomar clases de equivalencia bajo la rotación del sistema de coordenadas se elimina un parámetro adicional y las formas cúbicas se pueden representar mediante la forma cúbica compleja ${\displaystyle z^{3}+3{\overline {\beta }}z^{2}{\overline {z}}+3\beta z{\overline {z}}^{2}+{\overline {z}}^{3}}$ con un único parámetro complejo ${\displaystyle \beta }$. Se generan formas parabólicas cuando ${\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{3}}(2e^{i\theta }+e^{-2i\theta })}$, el deltoide interior, de forma que las formas elípticas quedan dentro del deltoide y las hiperbólicas fuera. Si ${\displaystyle \left|\beta \right|=1}$ y ${\displaystyle \beta }$ no son una raíz cúbica de la unidad, entonces la forma cúbica es una forma cúbica en ángulo recto que desempeña un papel especial para los puntos umbilicales. Si ${\displaystyle \left|\beta \right|={\tfrac {1}{3}}}$ entonces dos de las líneas raíz son ortogonales.[5]

Una segunda forma cúbica, la jacobiana, se forma tomando el determinante jacobiano de la función vectorial ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$, ${\displaystyle F(x,y)=(x^{2}+y^{2},ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3})}$. Prescindiendo de la multiplicación por alguna constante, esta es la forma cúbica ${\displaystyle bx^{3}+(2c-a)x^{2}y+(d-2b)xy^{2}-cy^{3}}$. Usando números complejos, el jacobiano es una forma cúbica parabólica cuando ${\displaystyle \beta =-2e^{i\theta }-e^{-2i\theta }}$, el deltoide externo en el diagrama de clasificación.[5]

Clasificación de puntos umbilicales, el ${\displaystyle \beta }$-plano. El deltoide interno genera puntos umbilicales parabólicos, y separa los puntos umbilicales elípticos e hiperbólicos. Cúspides en el deltoide interno: puntos umbilicales cúbicos. Círculo exterior, el nacimiento de los puntos umbilicales separa las configuraciones de estrella y limón-estrella. Deltoide externo, separa la configuración de limón-estrella y limón. Diagonales y línea horizontal: puntos umbilicales simétricos con simetría especular

Cualquier superficie con un punto umbilical aislado en el origen se puede expresar como una parametrización de la forma de Monge ${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}\kappa (x^{2}+y^{2})+{\tfrac {1}{3}}(ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3})+\ldots }$, donde ${\displaystyle \kappa }$ es la curvatura principal única. El tipo de punto umbilical se clasifica por la forma cúbica a partir de la parte cúbica y de la correspondiente forma cúbica jacobiana. Si bien las direcciones principales no están definidas únicamente en un punto umbilical, se pueden encontrar los límites de las direcciones principales cuando se sigue una cresta en la superficie y éstas corresponden a las líneas de raíz de la forma cúbica. El patrón de líneas de curvatura está determinado por el jacobiano.[5]

La clasificación de los puntos umbilicales es la siguiente:[5]

• Dentro del deltoide interno - puntos umbilicales elípticos
  • En el círculo interior - dos líneas de cresta tangentes
• En el deltoide interior - puntos umbilicales parabólicos
• Fuera del deltoide interior - puntos umbilicales hiperbólicos.
  • Dentro del círculo exterior - patrón de estrella
  • En el círculo exterior - nacimiento de los puntos umbilicales
  • Entre el círculo exterior y el deltoide exterior - patrón de limón-estrella
  • En el exterior del deltoide exterior - patrón de limón
• Cúspides del deltoide interno - puntos umbilicales cúbicos (simbólicos)
• En las diagonales y en la línea horizontal - puntos umbilicales simétricos con simetría especular.

En una familia genérica de superficies los puntos umbilicales pueden aparecer o desaparecer en parejas: la transición del nacimiento de los puntos umbilicales. Ambos puntos umbilicales serán hiperbólicos, uno con un patrón de estrella y otro con un patrón de limón-estrella. El círculo exterior del diagrama, una forma cúbica en ángulo recto, muestra estos casos de transición. Un caso especial son los puntos umbilicales simbólicos.[5]