Curvaturas principales

Ejemplo de vectores de curvatura principales sobre un punto de un cilindro

En cada punto p de una superficie diferenciable en un espacio euclídeo tridimensional se puede elegir un vector normal unitario. Un plano normal en p es aquel que contiene el vector normal y, por lo tanto, también contendrá una dirección única tangente a la superficie y cortará a la superficie generando una curva plana, llamada sección normal. En general, esta curva tendrá diferentes curvaturas para diferentes planos normales en p. Las curvaturas principales en p, denominadas k₁ y k₂, son los valores máximo y mínimo de esta curvatura.

Aquí la curvatura de una curva es por definición el recíproco del radio de la circunferencia osculatriz. La curvatura se considera positiva si la curva gira en la misma dirección que la normal elegida para la superficie y, en caso contrario, se considera negativa. Las direcciones en el plano normal donde la curvatura toma sus valores máximo y mínimo son siempre perpendiculares, si k₁ no es igual a k₂, resultado obtenido por Euler (1760), y se llaman direcciones principales. Desde una perspectiva moderna, este teorema se deriva del teorema de descomposición espectral porque estas direcciones son como los ejes principales de un tensor simétrico: su segunda forma fundamental. Jean Gaston Darboux realizó un análisis sistemático de las curvaturas principales y las direcciones principales, utilizando el marco de Darboux.

El producto k₁k₂ de las dos curvaturas principales es la curvatura de Gauss, K; y el promedio (k₁ + k₂)/2 es la curvatura media, H.

Si al menos una de las curvaturas principales es cero en cada punto, entonces la curvatura de Gauss será 0 y la superficie será desarrollable. Para una superficie minimal, la curvatura media es cero en cada punto.

Sea M una superficie en el espacio euclídeo con la segunda forma fundamental ${\displaystyle I\!I(X,Y)}$. A continuación, se fija un punto p ∈ M, y un base ortonormal X₁, X₂ de vectores tangentes en p. Entonces, las curvaturas principales son los valores propios de la matriz simétrica:

${\displaystyle \left[I\!I_{ij}\right]={\begin{bmatrix}I\!I(X_{1},X_{1})&I\!I(X_{1},X_{2})\\I\!I(X_{2},X_{1})&I\!I(X_{2},X_{2})\end{bmatrix}}.}$

Si se seleccionan X₁ y X₂ de modo que la matriz ${\displaystyle \left[I\!I_{ij}\right]}$ sea una matriz diagonal, entonces se denominan direcciones principales. Si la superficie está orientada, entonces a menudo se requiere que el par (X₁, X₂) esté orientado positivamente con respecto a la orientación dada.

Sin hacer referencia a una base ortonormal particular, las curvaturas principales son los autovalores del operador de forma y las direcciones principales son sus autovectores.

• En los puntos elípticos, ambas curvaturas principales tienen el mismo signo y la superficie es localmente convexa.
  • En los puntos umbilicales, ambas curvaturas principales son iguales y cada vector tangente puede considerarse una dirección principal. Este caso suele darse en puntos aislados.
• En los puntos hiperbólicos, las curvaturas principales tienen signos opuestos y la superficie tendrá localmente forma de silla de montar.
• En los puntos parabólicos, una de las curvaturas principales es cero. Los puntos parabólicos generalmente se encuentran en una curva que separa las regiones elípticas e hiperbólicas.
  • En los puntos umbilicales planos ambas curvaturas principales son cero. Una superficie genérica no contendrá puntos umbilicales planos. La silla de mono es una superficie con un plano umbilical aislado.

Las líneas de curvatura son curvas que siempre son tangentes a una dirección principal (son curvas integrales para los campos de dirección principal). Habrá dos líneas de curvatura a través de cada punto no umbilical, que se cruzan en ángulo recto.

En las proximidades de un punto umbilical, las líneas de curvatura suelen formar una de tres configuraciones: estrella, limón y monstar (derivada de lemon-star).[2] Estos puntos también se llaman puntos umbílicos darbouxianos (D₁, D₂, D₃) en honor a Jean Gaston Darboux, el primero en realizar un estudio sistemático en el vol. 4, p 455, de sus Leçons (1896).

• Configuraciones de líneas de curvatura cerca de puntos umbilicales:
• 
  Limón - D₁
• 
  Monstar - D₂
• 
  Estrella - D₃

En estas figuras, las curvas rojas son las líneas de curvatura de una familia de direcciones principales y las curvas azules de la otra.

Cuando una línea de curvatura tiene un extremo local de la misma curvatura principal, entonces la curvatura tiene un punto de cresta. Estos puntos de cresta forman curvas en la superficie llamadas crestas. Las curvas de la cresta pasan por los puntos umbilicales. Para el patrón de estrella, 3 o 1 líneas de cresta pasan a través del punto umbilical, para el patrón de estrella y limón solo pasa una línea de cresta.[3]

Las direcciones de curvatura principales junto con la normal de la superficie definen un marco de orientación 3D en un punto de la superficie. Por ejemplo, en el caso de una superficie cilíndrica, al tocar físicamente o al observarla visualmente, se sabe que en una dirección específica la superficie es plana (paralela al eje del cilindro) y, por lo tanto, se puede fijar la orientación de la superficie. La implicación de dicho marco de orientación en cada punto de la superficie significa que cualquier rotación de las superficies en el tiempo puede determinarse simplemente considerando el cambio en los marcos de orientación correspondientes. Esto ha dado como resultado algoritmos de estimación de movimiento y segmentación de puntos de superficie única en visión por computadora.[4]

• Radio terrestre
• Teorema de Euler (geometría diferencial)

• Darboux, Gaston (1896) [1887]. Leçons sur la théorie génerale des surfaces. Gauthier-Villars.
• Guggenheimer, Heinrich (1977). «Chapter 10. Surfaces». Differential Geometry. Dover. ISBN 0-486-63433-7.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996). Foundations of Differential Geometry, Vol. 2 (New edición). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15732-5.
• Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. ISBN 0-914098-72-1.
• Sotomayor, J. (1993). O elipsóide de Monge= Revista Matemática Universitária 15. pp. 33-47.
• Sotomayor, J. (2007). «El elipsoide de Monge y las líneas de curvatura». Materials Matemàtics 01: 1-25.

• Comentarios históricos sobre el elipsoide de Monge y la configuración de líneas de curvatura en superficies inmersas en 'R³