Orientabilidad

La mayoría de las superficies que se encuentran en el mundo físico son orientables. Las esferas, los planos y las superficies tóricas son orientables, por ejemplo. Pero la banda de Möbius, el plano proyectivo real y la botella de Klein no son orientables. Estos últimos elementos, tal como se visualizan en 3 dimensiones, todos tienen un solo lado. El plano proyectivo real y la botella de Klein no se pueden incrustar en R³, y solo pueden someterse a inmersión mediante intersecciones.

Debe tenerse en cuenta que, localmente, una superficie sometida a inmersión siempre tiene dos lados, por lo que una hormiga miope que se desplazara sobre una superficie de un solo lado pensaría que hay "otro lado". La esencia de la unilateralidad es que la hormiga puede trasladarse de un lado de la superficie al "otro" sin atravesar la superficie o dar la vuelta sobre un borde, sino simplemente moviéndose lo suficiente.

En general, la propiedad de ser orientable no equivale a ser de dos caras; sin embargo, esto es válido cuando el espacio envolvente (como R³ en los casos anteriores) es orientable. Por ejemplo, una superficie tórica inmersa en

${\displaystyle K^{2}\times S^{1}}$

puede ser de un solo lado, y una botella de Klein en el mismo espacio puede ser de dos lados; aquí ${\displaystyle K^{2}}$ se refiere a la botella de Klein.

Cualquier superficie tiene una triangulación: una descomposición en triángulos tal que cada borde de un triángulo está pegado como máximo a otro borde. Cada triángulo se orienta eligiendo una dirección alrededor del perímetro del triángulo, asociando una dirección a cada borde del triángulo. Si esto se hace de tal manera que, cuando se pegan, los bordes vecinos apuntan en la dirección opuesta, entonces esto determina la orientación de la superficie. Tal elección solo es posible si la superficie es orientable, y en este caso hay exactamente dos orientaciones diferentes.

Si la figura se puede posicionar consistentemente en todos los puntos de la superficie sin convertirse en su imagen especular, esto inducirá una orientación en el sentido anterior en cada uno de los triángulos de la triangulación seleccionando la dirección de cada uno de los triángulos con base en el orden rojo-verde-azul de colores de cualquiera de las figuras en el interior del triángulo.

Este enfoque se generaliza a cualquier variedad de orden n que tenga una triangulación. Sin embargo, algunas variedades de orden 4 no tienen triangulación y, en general, para n > 4, algunas variedades de n tienen triangulaciones que no son equivalentes.

Si H₁(S) denota el primer grupo de homología de una superficie S, entonces S es orientable si y solo si H₁(S ) tiene un subgrupo de torsión trivial. Más precisamente, si S es orientable, entonces H₁(S) es un grupo abeliano libre, y si no, H₁(S) = F + Z/2Z donde F es abeliano libre, y se genera el factor Z/2Z por la curva central en una banda de Möbius inmersa en S.

Las definiciones más intuitivas requieren que M sea una variedad diferenciable. Esto significa que las funciones de transición en el atlas de M son funciones C¹. Tal función admite un determinante jacobiano. Cuando el determinante jacobiano es positivo, se dice que la función de transición conserva la orientación. Un atlas orientado en M es un atlas para el cual todas las funciones de transición conservan la orientación. M es orientable si admite un atlas orientado. Cuando n > 0, una orientación de M es un atlas orientado al máximo (de forma que n= 0, una orientación de M, es una función M → {±1}).

La orientabilidad y las orientaciones también se pueden expresar en términos del haz de tangentes. El haz de tangentes es un fibrado vectorial, por lo que posee una estructura de grupo GL(n, R). Es decir, las funciones de transición de la variedad inducen funciones de transición en el haz tangente que son transformaciones lineales por fibrado. Si el grupo de estructuras se puede reducir al grupo GL⁺(n, R) de matrices determinantes positivas, o de manera equivalente si existe un atlas cuyas funciones de transición determinan una orientación que preserva la transformación lineal en cada espacio tangente, entonces la variedad M es orientable. Por el contrario, M es orientable si y solo si el grupo de estructuras del haz tangente se puede reducir de esta manera. Se pueden hacer observaciones similares para el haz de marcos.

Otra forma de definir orientaciones en una variedad diferenciable es a través de su forma de volumen. Una forma de volumen es una sección omega que no desaparece en parte alguna de ⋀ⁿ T^* M, la potencia exterior superior del haz cotangente de M. Por ejemplo, Rⁿ tiene una forma de volumen estándar dada por dx¹ ∧ ⋯ ∧ dxⁿ. Dada una forma de volumen en M, la colección de todos los gráficos U → Rⁿ para los que la forma de volumen estándar retrocede a un múltiplo positivo de omega; es un atlas orientado. La existencia de una forma de volumen es, por lo tanto, equivalente a la orientabilidad de la variedad.

Las formas de volumen y los vectores tangentes se pueden combinar para dar otra descripción de la orientabilidad. Si X₁, …, X_n es una base de vectores tangentes en un punto p, entonces se dice que la base es destrógira si ω(X₁, …, X_n) > 0. Una función de transición conserva la orientación si y solo si envía bases destrógiras a bases destrógiras. La existencia de una forma de volumen implica una reducción del grupo estructural del haz tangente o del haz de marcos a GL⁺(n, R). Como antes, esto implica la orientabilidad de M. Por el contrario, si M es orientable, entonces las formas de volumen local pueden unirse para crear una forma de volumen global, siendo necesaria la orientabilidad para garantizar que la forma global no desaparezca.

En el corazón de todas las definiciones anteriores de orientabilidad de una variedad diferenciable está la noción de una función de transición que preserva la orientación. Esto plantea la cuestión de qué preservan exactamente tales funciones de transición. No pueden preservar una orientación de la variedad porque una orientación de la variedad es un atlas, y no tiene sentido decir que una función de transición conserva o no conserva un atlas del cual es miembro.

Esta cuestión se puede resolver definiendo orientaciones locales. En una variedad unidimensional, una orientación local alrededor de un punto p corresponde a la elección del sentido a la izquierda o a la derecha cerca de ese punto. En una variedad bidimensional, corresponde a una elección de sentido horario y antihorario. Estas dos situaciones comparten la característica común de que se describen en términos de comportamiento de dimensión superior cerca de p pero no en p. Para el caso general, sea M una variedad topológica n. Una orientación local de M alrededor de un punto p es una elección de generador del grupo

${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right).}$

Para ver el significado geométrico de este grupo, elíjase un gráfico alrededor de p. En ese gráfico hay una vecindad de p que es una bola abierta B alrededor del origen O. Por el teorema de escisión, ${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)}$ es isomorfo a ${\displaystyle H_{n}\left(B,B\setminus \{O\};\mathbf {Z} \right)}$. La bola B es contráctil, por lo que sus grupos de homología desaparecen excepto en el grado cero, y el espacio B \ O es una esfera (n − 1), por lo que sus grupos de homología desaparecen excepto en los grados n − 1 y 0. Un cálculo con sucesión exacta mediante una homología relativa muestra que el grupo de homología anterior es isomorfo a ${\displaystyle H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbf {Z} \right)\cong \mathbf {Z} }$. Por lo tanto, la elección del generador corresponde a la decisión de si, en el grafo dado, una esfera alrededor de p es positiva o negativa. Un reflejo de Rⁿ a través del origen actúa por negación sobre ${\displaystyle H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbf {Z} \right)}$, por lo que el significado geométrico de la elección del generador es que distingue los grafos de sus imágenes reflejadas.

En una variedad topológica, una función de transición conserva la orientación si, en cada punto p de su dominio, fija los generadores de ${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)}$. A partir de aquí, las definiciones relevantes son las mismas que en el caso diferenciable. Un atlas orientado es aquel para el que todas las funciones de transición conservan la orientación, M es orientable si admite un atlas orientado, y cuando n > 0, una orientación de M es un atlas orientado al máximo.

Intuitivamente, una orientación de M debería definir una única orientación local de M en cada punto. Esto se precisa al notar que cualquier gráfico en el atlas orientado alrededor de p puede usarse para determinar una esfera alrededor de p, y esta esfera determina un generador de ${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)}$. Además, cualquier otro gráfico alrededor de p está relacionado con el primer gráfico mediante una función de transición que preserva la orientación, y esto implica que los dos gráficos producen el mismo generador, por lo que el generador es único.

También son posibles definiciones puramente homológicas. Asumiendo que M es cerrado y conexo, M es orientable si y solo si el n grupo de homología ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbf {Z} )}$ es isomorfo a los enteros Z. Una orientación de M es una elección del generador α de este grupo. Este generador determina una carta orientada fijando un generador del grupo cíclico infinito ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbf {Z} )}$ y tomando las cartas orientadas como aquellas para las que α avanza hacia el generador fijo. Por el contrario, un atlas orientado determina un generador de este tipo, ya que las orientaciones locales compatibles se pueden unir para dar un generador para el grupo de homología ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbf {Z} )}$.[4]

Una variedad M es orientable si y solo si la primera clase de Stiefel-Whitney ${\displaystyle w_{1}(M)\in H^{1}(M;\mathbf {Z} /2)}$ desaparece. En particular, si el primer grupo de cohomología con coeficientes Z/2 es cero, entonces la variedad es orientable. Además, si M es orientable y w₁ desaparece, entonces ${\displaystyle H^{0}(M;\mathbf {Z} /2)}$ parametriza las opciones de orientación.[5] Esta caracterización de la orientabilidad se extiende a la orientabilidad de haces vectoriales generales sobre M, no solo al haz tangente.

Alrededor de cada punto de M hay dos orientaciones locales. Intuitivamente, existe una forma de pasar de una orientación local en un punto p a una orientación local en un punto cercano p′: cuando los dos puntos se encuentran en el mismo gráfico de coordenadas U → Rⁿ, ese gráfico de coordenadas define orientaciones locales compatibles en p y p′. Por lo tanto, al conjunto de orientaciones locales se le puede dar una topología, y esta topología lo convierte en una variedad.

Más precisamente, sea O el conjunto de todas las orientaciones locales de M. Para topologizar O se especifica una subbase para establecer su topología. Sea U un subconjunto abierto de M elegido de manera que ${\displaystyle H_{n}(M,M\setminus U;\mathbf {Z} )}$ sea isomorfo a Z. Supóngase que α es un generador de este grupo. Para cada p en U, existe una función que avanza de manera que ${\displaystyle H_{n}(M,M\setminus U;\mathbf {Z} )\to H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)}$. El codominio de este grupo tiene dos generadores, y α se aplica sobre uno de ellos. La topología en O se define de modo que

${\displaystyle \{{\text{Image of }}\alpha {\text{in }}H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)\colon p\in U\}}$

es abierto.

Existe una aplicación canónica π : O → M que envía una orientación local en p a p. Está claro que cada punto de M tiene precisamente dos preimágenes bajo π. De hecho, π es incluso un homeomorfismo local, porque las preimágenes de los conjuntos abiertos U mencionados anteriormente son homeomorfas a la unión disjunta de dos copias de U. Si M es orientable, entonces M en sí mismo es uno de estos conjuntos abiertos, por lo que O es la unión disjunta de dos copias de M. Sin embargo, si M no es orientable, entonces O es conexo y orientable. El colector O se denomina doble recubrimiento de orientación.

Si M es una variedad con borde, entonces una orientación de M se define como una orientación de su interior. Una orientación ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ de M induce una orientación del borde ∂M: sea ${\displaystyle \phi :U\to R_{+}^{n}}$ una carta de M que, cuando se restringe al interior, produce la orientación ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$. La restricción de esta carta a ∂M es una carta ${\displaystyle \phi _{|\partial M}}$ de ∂M. El conjunto de todas las cartas que se pueden construir así forma un atlas orientado para ∂M.

Cuando M es suave, en cada punto p de ∂M, la restricción del fibrado tangente de M a ∂M es isomorfa a T_p∂M ⊕ R, donde el factor de R se describe mediante el vector normal que apunta hacia adentro. La orientación canónica de T_p∂M está definida por la condición de que una base de T_p∂M esté orientada positivamente si y solo si cuando se precede por el vector normal exterior define una base orientada positivamente de T_pM.

En geometría lorentziana, hay dos tipos de orientabilidad: la orientabilidad espacial y la orientabilidad temporal. Estos conceptos juegan un importante papel en la estructura causal del espacio-tiempo.[6] En el contexto de la relatividad general, una variedad espacio-tiempo es orientable en el espacio si, cada vez que dos observadores diestros inician un recorrido en naves espaciales partiendo del mismo punto del espacio-tiempo y luego se encuentran de nuevo en otro punto, siguen siendo diestros uno con respecto al otro. Si un espacio-tiempo es orientable en el tiempo, entonces los dos observadores siempre estarán de acuerdo en la dirección del tiempo en ambos puntos de su encuentro. De hecho, un espacio-tiempo es orientable en el tiempo si y solo si dos observadores cualesquiera pueden ponerse de acuerdo sobre cuál de los dos encuentros precedió al otro.[7]

Formalmente, el grupo pseudo-ortogonal O(p,q) tiene un par de caracteres: el carácter de orientación espacial σ₊ y el carácter de orientación temporal σ₋,

${\displaystyle \sigma _{\pm }:\operatorname {O} (p,q)\to \{-1,+1\}.}$

Su producto sigma; = σ₊σ₋ es el determinante, que da el carácter de orientación. Una orientación espacial de una variedad pseudo-riemanniana se identifica con una sección del fibrado asociado

${\displaystyle \operatorname {O} (M)\times _{\sigma _{+}}\{-1,+1\}}$

donde O(M) es el paquete de marcos pseudo-ortogonales. De manera similar, una orientación temporal es una sección del haz asociado

${\displaystyle \operatorname {O} (M)\times _{\sigma _{-}}\{-1,+1\}.}$