Reflexión (matemática)

El punto Q es la reflexión del punto P a través de la línea AB.

En una geometría planar (o, respectivamente, 3-dimensional), para encontrar la reflexión de un punto se tiende una línea perpendicular del punto a la línea (plano) usado para la reflexión y se extiende la misma distancia del otro lado de ésta. Para encontrar la reflexión de una figura, se reflejan todos los puntos de la misma.

Para reflejar el punto P a través de la línea AB usando una regla y compás, se procede de la siguiente forma (véase la figura):

1. (En rojo) Se construye un círculo con centro en P y un radio fijo r para crear los puntos A' y B' sobre la línea AB, que serán equidistantes a P.
2. (En verde) Se construyen círculos con centro en A' y B' con radio r. P y Q serán los puntos de intersección de estos dos círculos.

El punto Q es entonces la reflexión del punto P a través de la línea AB

Una reflexión a través de un eje seguida de una reflexión en un segundo eje no paralelo al primero resulta en un movimiento total que es equivalente a un movimiento de rotación alrededor del punto de intersección de los ejes.

La matriz de una reflexión es ortogonal con determinante de -1 y valores propios de -1, 1, 1, ..., 1. El producto de dichas matrices es una matriz especial ortogonal que representa una rotación. Cada rotación es el resultado de reflejar un número par de reflexiones en hiperplanos a través del origen, y cada rotación impropia es el resultado de reflejar un número impar de veces. De esta forma, las reflexiones general al grupo ortogonal, y este resultado es conocido como el Teorema de Cartan–Dieudonné.

De forma similar, el grupo euclídeo, que consiste en todas las isometrías del espacio euclídeo, es generado por reflexiones en hiperplanos afines. En general, un grupo generado por reflexiones en hiperplanos afines es conocido como un grupo de reflexión. Los grupos finitos generados de esta forma son ejemplos de grupos de Coxeter.^{[cita requerida]}

La reflexión a través de una línea que pasa por el origen en 2 dimensiones puede ser descrita con la siguiente fórmula

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{l}(v)=2{\frac {v\cdot l}{l\cdot l}}l-v,}$

donde v denota al vector que será reflejado, l denota cualquier vector en la línea en la que será reflejada, y v·l denota el producto escalar de v con l. Nótese que la fórmula también puede ser escrita de la forma

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{l}(v)=2\operatorname {Proy} _{l}(v)-v,}$

donde la reflexión de la línea l sobre v es igual a dos veces la proyección de v en la línea l menos v. Las reflexiones en una línea tienen los valores propios 1 y -1.

Dado un vector a en un espacio euclídeo Rⁿ, la fórmula para la reflexión en el hiperplano a través del origen, ortogonal a a, está dado por

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=v-2{\frac {v\cdot a}{a\cdot a}}a,}$

donde v ⋅ a denota al producto escalar de v con a. Nótese que el segundo término en la ecuación superior es justamente el doble de la proyección de v sobre a. Es posible verificar que

• Ref_a(v) = −v, si v es paralelo a a, y
• Ref_a(v) = v, si v es perpendicular a a.

Usando el producto geométrico, la fórmula es

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=-{\frac {ava}{a^{2}}}.}$

Ya que estas reflexiones son isometrías del espacio euclídeo en el que el origen se queda fijo, pueden ser representadas por matrices ortogonales. La matriz ortogonal correspondiente a la reflexión arriba escrita es la matriz cuyas entradas son

${\displaystyle R_{ij}=\delta _{ij}-2{\frac {a_{i}a_{j}}{\left\|a\right\|^{2}}},}$

donde δ_ij es la delta de Kronecker.

La fórmula para la reflexión en el hiperplano afín ${\displaystyle v\cdot a=c}$ no a través del origen, es

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a,c}(v)=v-2{\frac {v\cdot a-c}{a\cdot a}}a.}$

• Transformación de Householder
• Inversión (geometría)
• Imagen especular

• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd edición), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 123930.
• Popov, V.L. (2001), «Reflection», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
• Weisstein, Eric W. «Reflection». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

• Demostración interactiva de reflexión 2D y Demostración interactiva de reflexión 3D por Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project (en inglés)