Grupo de Coxeter

Formalmente, un grupo de Coxeter se puede definir como un grupo con la presentación

${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$

donde ${\displaystyle m_{ii}=1}$ y ${\displaystyle m_{ij}\geq 2}$ para ${\displaystyle i\neq j}$. La condición ${\displaystyle m_{ij}=\infty }$ significa que no se debe imponer ninguna relación de la forma ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}}$.

El par ${\displaystyle (W,S)}$ donde ${\displaystyle W}$ es un grupo de Coxeter con generadores ${\displaystyle S=\{r_{1},\dots ,r_{n}\}}$ se llama sistema de Coxeter. Téngase en cuenta que, en general, ${\displaystyle S}$ no está determinado únicamente por ${\displaystyle W}$. Por ejemplo, los grupos de Coxeter de tipo ${\displaystyle B_{3}}$ y ${\displaystyle A_{1}\times A_{3}}$ son isomórficos, pero los sistemas de Coxeter no son equivalentes (véanse a continuación una explicación de esta notación).

Se pueden extraer varias conclusiones inmediatamente de la definición anterior:

• La relación ${\displaystyle m_{ii}=1}$ significa que ${\displaystyle (r_{i}r_{i})^{1}=(r_{i})^{2}=1}$ para todos los ${\displaystyle i}$ ; como tales los generadores son involuciones.
• Si ${\displaystyle m_{ij}=2}$, entonces los generadores ${\displaystyle r_{i}}$ y ${\displaystyle r_{j}}$ conmutan. Esto se sigue al observar que

${\displaystyle xx=yy=1}$,

que junto con

${\displaystyle xyxy=1}$

implica que

${\displaystyle xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx}$.

Alternativamente, dado que los generadores son involuciones, ${\displaystyle r_{i}=r_{i}^{-1}}$, entonces ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^{-1}r_{j}^{-1}}$, y por lo tanto es igual a un conmutador.

• Para evitar la redundancia entre las relaciones, es necesario asumir que ${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}}$. Esto se sigue al observar que

${\displaystyle yy=1}$,

que junto con

${\displaystyle (xy)^{m}=1}$

implica que

${\displaystyle (yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m}y=yy=1}$.

Alternativamente, ${\displaystyle (xy)^{k}}$ y ${\displaystyle (yx)^{k}}$ son elementos conjugados, como ${\displaystyle y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}}$.

Matriz de Coxeter y matriz de Schläfli

La matriz de Coxeter es la matriz simétrica de orden ${\displaystyle n\times n}$ con valores ${\displaystyle m_{ij}}$. De hecho, cada matriz simétrica con valores diagonales exclusivamente 1 y valores no diagonales en el conjunto ${\displaystyle \{2,3,\ldots \}\cup \{\infty \}}$ es una matriz de Coxeter.

La matriz de Coxeter se puede codificar convenientemente mediante un diagrama de Coxeter, según las siguientes reglas:

• Los vértices del gráfico están etiquetados por subíndices del generador.
• Los vértices ${\displaystyle i}$ y ${\displaystyle j}$ son adyacentes si y solo si ${\displaystyle m_{ij}\geq 3}$.
• Un lado se etiqueta con el valor de ${\displaystyle m_{ij}}$ siempre que el valor sea ${\displaystyle 4}$ o mayor.

En particular, dos generadores conmutan si y solo si no están conectados por un lado. Además, si un gráfico de Coxeter tiene dos o más componentes conectados, el grupo asociado es el producto directo de los grupos asociados a los componentes individuales. Por lo tanto, la unión disjunta de los gráficos de Coxeter produce un producto directo de los grupos de Coxeter.

La matriz de Coxeter, ${\displaystyle M_{ij}}$, está relacionada con la matriz de Schläfli ${\displaystyle C}$ de orden ${\displaystyle n\times n}$ con valores ${\displaystyle C_{ij}=-2\cos(\pi /M_{ij})}$, pero los elementos se modifican, siendo proporcionales al producto escalar de los generadores por pares. La matriz de Schläfli es útil porque su autovalores determinan si el grupo de Coxeter es de "tipo finito" (todo positivo), "tipo afín" (todo no negativo, al menos un cero) o "tipo indefinido" (en caso contrario). El tipo indefinido a veces se subdivide aún más, por ejemplo, en elementos hiperbólicos y otros grupos de Coxeter. Sin embargo, existen múltiples definiciones no equivalentes para los grupos hiperbólicos de Coxeter.

Ejemplos

Grupo de Coxeter	A1×A1	A2	B2	H2	G2	${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	A3	B3	D4	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$
Diagrama de Coxeter
Matriz de Coxeter	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&2\\2&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3\\3&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&4\\4&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&5\\5&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&6\\6&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&\infty \\\infty &1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3&2\\3&1&3\\2&3&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&4&2\\4&1&3\\2&3&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3&2&2\\3&1&3&3\\2&3&1&2\\2&3&2&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&3&2&3\\3&1&3&2\\2&3&1&3\\3&2&3&1\end{smallmatrix}}\right]}$
Matriz de Schläfli	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1\\-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-\phi \\-\phi &\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-2\\-2&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0\\-1&\ \,2&-1\\\ \,0&-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,\ \ 2&-{\sqrt {2}}&\ \,0\\-{\sqrt {2}}&\ \,\ \ 2&-1\\\ \,\ \ 0&\ \,-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0&\ \,0\\-1&\ \,2&-1&-1\\\ \,0&-1&\ \,2&\ \,0\\\ \,0&-1&\ \,0&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ \,2&-1&\ \,0&-1\\-1&\ \,2&-1&\ \,0\\\ \,0&-1&\ \,2&-1\\-1&\ \,0&-1&\ \,2\end{smallmatrix}}\right]}$

El gráfico ${\displaystyle A_{n}}$, en el que los vértices desde 1 hasta n se colocan en una fila, con cada vértice conectado por un enlace no marcado con sus vecinos inmediatos, da lugar al grupo simétrico S_n+1; generadores correspondientes a las transposiciones (1 2), (2 3), ..., (n n+1). Dos transposiciones no consecutivas siempre conmutan, mientras que (k k+1) (k+1 k+2) dan lugar al ciclo ternario (k k+2 k+1). Por supuesto, esto solo muestra que S_n+1 es un grupo cociente del grupo de Coxeter descrito por el gráfico, pero no es demasiado difícil verificar que la igualdad se mantiene.

Los grupos de Coxeter están profundamente conectados con el grupo de reflexión. En pocas palabras, los grupos de Coxeter son grupos abstractos (dados a través de una presentación), mientras que los grupos de reflexión son grupos concretos (dados como subgrupos de grupos lineales o varias generalizaciones). Los grupos de Coxeter surgieron del estudio de los grupos de reflexión, siendo una abstracción de los mismos: un grupo de reflexión es un subgrupo de un grupo lineal generado por reflexiones (que tienen un orden 2), mientras que un grupo de Coxeter es un grupo abstracto generado por involuciones (elementos de orden 2, abstracción de reflexiones), y cuyas relaciones tienen una cierta forma (${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}}$, correspondiente a hiperplanos que se encuentran en un ángulo de ${\displaystyle \pi /k}$, con ${\displaystyle r_{i}r_{j}}$ siendo una abstracción de orden k de una rotación según un ángulo de ${\displaystyle 2\pi /k}$).

El grupo abstracto de un grupo de reflexión es un grupo de Coxeter, mientras que, a la inversa, un grupo de reflexión puede verse como una representación lineal de un grupo de Coxeter. Para grupos de reflexión finitos, esto produce una correspondencia exacta: cada grupo de Coxeter finito admite una representación fiel como grupo de reflexión finita de algún espacio euclideo. Sin embargo, para grupos de Coxeter infinitos, un grupo de Coxeter puede no admitir una representación como grupo de reflexión.

Históricamente,(Coxeter, 1934) demostró que cada grupo de reflexión es un grupo de Coxeter (es decir, tiene una presentación donde todas las relaciones son de la forma ${\displaystyle r_{i}^{2}}$ o ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}}$), y de hecho este documento introdujo la noción de grupo de Coxeter, mientras que (Coxeter, 1935) demostró que cada grupo de Coxeter finito posee una representación como grupo de reflexión, y clasificó los grupos de Coxeter finitos.

Diagramas de Coxeter para los grupos de Coxeter afines

Diagrama de Stiefel del sistema de raíces ${\displaystyle G_{2}}$

Los grupos afines de Coxeter forman una segunda serie importante de grupos de Coxeter. No son finitos en sí mismos, pero cada uno contiene un subgrupo abeliano normal tal que el grupo cociente correspondiente es finito. En cada caso, el grupo cociente es en sí mismo un grupo de Coxeter, y el gráfico de Coxeter del grupo de Coxeter afín se obtiene del gráfico de Coxeter del grupo cociente al agregar otro vértice y uno o dos bordes adicionales. Por ejemplo, para n ≥ 2, el gráfico que consiste en n+1 vértices en un círculo se obtiene de A_n de esta manera, y el grupo de Coxeter correspondiente es el grupo afín de Weyl de A_n. Para n = 2, esto puede representarse como un subgrupo del grupo de simetría del teselado estándar del plano mediante triángulos equiláteros.

En general, dado un sistema de raíces, se puede construir el diagrama de Stiefel asociado, que consiste en los hiperplanos ortogonales a las raíces junto con ciertas traslaciones de estos hiperplanos. El grupo afín de Coxeter (o grupo afín de Weyl) es entonces el grupo generado por las reflexiones (afines) sobre todos los hiperplanos en el diagrama.[5] El diagrama de Stiefel divide el plano en infinitos componentes conectados entre sí llamados nichos, y el grupo afín de Coxeter actúa libre y transitivamente en los nichos, así como el grupo de Weyl ordinario actúa libre y transitivamente en las celdas de Weyl. La figura de la derecha ilustra el diagrama de Stiefel para el sistema de raíces ${\displaystyle G_{2}}$.

Supóngase que ${\displaystyle R}$ es un sistema de raíces irreducible de rango ${\displaystyle r>1}$; y sea ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$ una colección de raíces simples. Sea, también, ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$ la raíz más alta. Entonces, el grupo de Coxeter afín es generado por las reflexiones ordinarias (lineales) sobre los hiperplanos perpendiculares a ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$, junto con una reflexión afín sobre una traslación del hiperplano perpendicular a ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$. El gráfico de Coxeter para el grupo de Weyl afín es el diagrama de Coxeter-Dynkin para ${\displaystyle R}$, junto con un nodo adicional asociado a ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$. En este caso, se puede obtener un nicho del diagrama de Stiefel tomando la celda fundamental de Weyl y cortándola mediante una traslación del hiperplano perpendicular a ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$.[6]

A continuación se incluye una lista de los grupos afines de Coxeter:

Símbolo de grupo	Símbolo de Witt	Notación de corchetes	Gráfo de Coxeter	Teselaciones uniformes relacionadas
${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$	${\displaystyle P_{n+1}}$	[3[n]]	... or ...	Panal simpléctico
${\displaystyle {\tilde {B}}_{n}}$	${\displaystyle S_{n+1}}$	[4,3n − 3,31,1]	...	Panal demihipercúbico
${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}}$	${\displaystyle R_{n+1}}$	[4,3n−2,4]	...	Panal hipercúbico
${\displaystyle {\tilde {D}}_{n}}$	${\displaystyle Q_{n+1}}$	[ 31,1,3n−4,31,1]	...	Panal demihipercúbico
${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$	${\displaystyle T_{7}}$	[32,2,2]	o	222
${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$	${\displaystyle T_{8}}$	[33,3,1]	o	331, 133
${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	${\displaystyle T_{9}}$	[35,2,1]		521, 251, 152
${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$	${\displaystyle U_{5}}$	[3,4,3,3]		Panal de 16-celdas Panal de 24-celdas
${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$	${\displaystyle V_{3}}$	[6,3]		Teselado hexagonal y Teselado triangular
${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	${\displaystyle W_{2}}$	[∞]		Apeirógono

El subíndice de símbolo de grupo es uno menos que el número de nodos en cada caso, ya que cada uno de estos grupos se obtuvo agregando un nodo al gráfico de un grupo finito.

Hay infinitos grupos de Coxeter hiperbólicos que describen grupos de reflexión en el espacio hiperbólico, en particular los grupos de triángulos hiperbólicos.

Una elección de generadores de reflexión da lugar a una función longitud ℓ en un grupo de Coxeter, es decir, el número mínimo de usos de generadores necesarios para expresar un elemento de grupo; esta es precisamente la longitud en métrica de palabra en un grafo de Cayley. Una expresión de v usando los generadores ℓ(v) es una palabra reducida. Por ejemplo, la permutación (13) en S₃ tiene dos palabras reducidas, (12) (23) (12) y (23) (12) (23). La función ${\displaystyle v\to (-1)^{\ell (v)}}$ define una aplicación ${\displaystyle G\to \{\pm 1\},}$ generalizando la paridad de una permutación para el grupo simétrico.

Al usar palabras reducidas, se pueden definir tres conjuntos parcialmente ordenados en el grupo de Coxeter, el orden débil (derecho), el orden absoluto y el orden de Bruhat (nombrado así por François Bruhat). Un elemento v excede a un elemento u en el orden Bruhat si algún (o equivalente, cualquier) palabra reducida de v contiene una palabra reducida de u como una subcadena, donde se eliminan algunas letras (en cualquier posición). En el orden débil, v ≥ u si alguna palabra reducida para v contiene una palabra reducida para u como segmento inicial. De hecho, la longitud de la palabra convierte esta condición en un conjunto parcialmente ordenado graduado. Los diagramas de Hasse correspondientes a estas relaciones de orden son objetos de estudio y están relacionados con el grafo de Cayley determinado por los generadores. El orden absoluto se define de manera análoga al orden débil, pero con un conjunto generador/alfabeto que consiste en todos los conjugados de los generadores Coxeter.

Por ejemplo, la permutación (1 2 3) en S₃ tiene solo una palabra reducida, (12) (23), por lo que cubre (12) y (23) en el orden de Bruhat pero solo cubre (12) en el orden débil.

Dado que un grupo de Coxeter ${\displaystyle W}$ se genera mediante elementos finitos de orden 2, su subgrupo conmutador es un grupo abeliano elemental de orden 2, es decir, es isomorfo a la suma directa de varias copias del grupo cíclico ${\displaystyle Z_{2}}$. Esto puede reexpresarse en términos del primer grupo de homología de ${\displaystyle W}$.

El multiplicador de Schur ${\displaystyle M(W)}$, igual al segundo grupo de homología de ${\displaystyle W}$, se calculó en (Ihara y Yokonuma, 1965) para grupos de reflexión finitos y en (Yokonuma, 1965) para grupos de reflexión afines, con una relación más unificada dada en (Howlett, 1988). En todos los casos, el multiplicador de Schur también es un grupo abeliano elemental de grupos de orden 2. Para cada familia ${\displaystyle \{W_{n}\}}$ infinita de grupos de Weyl finitos o afines, el rango de ${\displaystyle M(W_{n})}$ se estabiliza a medida que ${\displaystyle n}$ tiende a infinito.

• Grupo de Artin-Tits
• Teorema de Chevalley-Shephard-Todd
• Grupo de reflexión complejo
• Elemento de Coxeter
• Álgebra de Iwahori-Hecke, una deformación cuántica del anillo monoide
• Polinomio de Kazhdan-Lusztig
• Mayor elemento de un grupo de Coxeter
• Disposición superresoluble

• Björner, Anders; Brenti, Francesco (2005), Combinatorics of Coxeter Groups, Graduate Texts in Mathematics 231, Springer, ISBN 978-3-540-27596-1, Zbl 1110.05001.
• Bourbaki, Nicolas (2002), Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4–6, Elements of Mathematics, Springer, ISBN 978-3-540-42650-9, Zbl 0983.17001.
• Coxeter, H. S. M. (1934), «Discrete groups generated by reflections», Annals of Mathematics 35 (3): 588-621, JSTOR 1968753, doi:10.2307/1968753, «cita eseerx 10.1.1.128.471 ».
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• Davis, Michael W. (2007), The Geometry and Topology of Coxeter Groups, ISBN 978-0-691-13138-2, Zbl 1142.20020.
• Grove, Larry C.; Benson, Clark T. (1985), Finite Reflection Groups, Graduate texts in mathematics 99, Springer, ISBN 978-0-387-96082-1.
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• Hiller, Howard (1982), Geometry of Coxeter groups, Research Notes in Mathematics 54, Pitman, ISBN 978-0-273-08517-1, Zbl 0483.57002.

• Ihara, S.; Yokonuma, Takeo (1965), «On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of finite reflection groups», Jour. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. 1 11: 155-171, Zbl 0136.28802, archivado desde el original el 23 de octubre de 2013.
• Howlett, Robert B. (1988), «On the Schur Multipliers of Coxeter Groups», J. London Math. Soc., 2 38 (2): 263-276, Zbl 0627.20019, doi:10.1112/jlms/s2-38.2.263.

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• Jenn software for visualizing the Cayley graphs of finite Coxeter groups on up to four generators.